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用圆锥曲线的定义求解一类绝对值不等式-

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用圆锥曲线的定义求解一类绝对值不等式
广州市花都区第二中学 510800 杨伟达
xyx2y2（x0,y0）我们知道，点在椭圆221内，则有02021，其中abab22x2y2ax0a，by0b.简称为“夹中间”（x0,y0）；点在椭圆221外，则有abx0y01，其中x0a或x0a，y0b或y0b.简称为“两边开”； 同样，点22abxyx2y2（x0,y0）在双曲线221内，则有02021，其中x0a或x0a，abab2222x2y2y0b或y0b.简称为“两边开”（x0,y0）；点在双曲线221外，则有abx0y01，其中ax0a，by0b.简称为“夹中间”. a2b2 同理，类似的椭圆类不等式xcxc2a（ac）的解为axa或22x-cxc2a（ac）的解为xa或xa；类似的双曲线类不等式xcxc2a（ac）的解为xa或xa或xcxc2a（ac）的解为axa .问题的核心都在于求出圆锥曲线的中心、顶点的坐标. 一、椭圆类不等式
1 .形如(如图1A： MF1MF22a （F1F22a）表示椭圆类不等式，它的的解集


XA F O F2 X 1 B

图1 A

xxAxxB.简称为“夹中间”. 2 .形如(如图1B： MF1MF22a
（F1F22a）表示椭圆类不等式，它的的解集 ． xxx或xx.简称为“两边开”AB XA F O FX 1 2 B

图1B

例1．(2014·广东高考9不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
【分析】此题为椭圆类不等式．问题关键：用椭圆的定义求出它的中心、顶点即可． 解：根据椭圆类不等式2a=5,2c=1-(-2=3，中心为x
1（-2）1- 22
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解得：a53,c 22

XA F 1



FX12 B -2图2

如图2所示：F1-2，F21
1515xA--3，xB-（--）2
2222∴ 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为xx-3或x2．
3 .特别地（如下图3），当F1F2m，MF1MF2m(常数不再表示椭圆，而动点M是线段F1F2内的任一点，简称为“夹中间”.在涉及到不等式MF1MF2m表示三边不能构成三角形，所以不等式的解集为；


F1

O F2 图3 MF1MF2m表示三边可构成三角形，用三角形
两边之和大于第三边推导，所以不等式的解集为R．
例2．(2013·新课标全国卷Ⅰ已知函数f(x＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x＝x＋3. (1当a＝－2时，求不等式f(x的解集；
a1(2设a>－1，且当x∈－，时，f(x≤g(x，求a的取值范围．
22【分析】第一问：若采用分类讨论比较复杂、易错，若把它看成椭圆类不等式，简单易懂；第二问：化简后，在某区间内满足含参绝对值不等式，并发现其区间端点恰好为函数f(x＝|2x－1|＋|2x＋a|的零点.因此，此题属于椭圆类不等式的特殊情况，根据椭圆类不等式的特殊情况可知：焦距等于常数. 解：(1依题可知：当a＝－2时，原不等式转化为：|2x－1|＋|2x-2|≤x＋3 111|＋|x-1|≤(x3，把(x3看成2a,则此题看作椭圆类不等式 2221111123 2a(x3,2c1，中心为x22224x31解得：a，c
441如图4所示：F11，F2 2XA F 3F2 X 1 B

即：|x－3x3x3a3x6 xA-，xB444444∴ 不等式|x－4

图4

11xx6|＋|x-1|≤(x3的解为x 2244∴|2x－1|＋|2x-2|≤x＋3的解集为x0x2.

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a1(2依题可知：原不等式转化为： 当a>－1，当x∈－，时， 22|2x－1|＋|2x＋a|≤x＋3成立
1a1a1即：当x∈－，时， |x－|＋|x＋|≤(x3成立
22222经检验a1,分别是函数f(x＝|2x－1|＋|2x＋a|的零点 221axm，如右图5 22

F1

我们不妨设绝对值xa1a1F1,F2 ，绝对值等式的解为x∈－2，2
22∴ 绝对值等式不再表示椭圆，而是线段F1F2内的任一点 ∴ F1F21-a

2

图5

F2

1a1a(m 222又∵ a>－1 ∴ 1am
21a1(x3可化为：1ax3. 22又∵不等式f(x≤g(x即有：a1∴xa2对x∈－，都成立
22a4∴ －≥a－2，即a≤. 23例3．(2013·辽宁高考已知函数f(x＝|x－a|，其中a＞1. (1 当a＝2时，求不等式f(x≥4－|x－4|的解集；(2略. 【分析】化简后此题属于椭圆类不等式.根据椭圆的定义可求中心、顶点将问题解决. 解：(1当a＝2时，函数f(x＝|x－2| ∴ 原不等式f(x≥4－|x－4|转化为|x－2|≥4－|x－4| 即有：|x－2|+|x－4|≥4
根据椭圆类不等式2a=4,2c=4-2=2，中心为x如图6所示：F12，F24
243.解得：a2,c1
2xA321，xB325
∴ 不等式f(x≥4－|x－4|的解集为xx1或x5. 二、双曲线类不等式
XA FF2 XB 1 3
图6


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1 .形如(如图7A：MF1MF22a （F1F22a）表示双曲线类不等式，它的解集为
xxAxxB.简称为“夹中间”. 2 .形如(如图7B： MF1MF22a


F1 X A O XB F 2

图7A

（F1F22a）表示双曲线类不等式，它的解集为
xxx或xx.简称为“两边开”. AB F1 XA O XB F2

图7B

例4．(2013·辽宁高考已知函数f(x＝|x－a|，其中a＞1. (1 略.(2已知关于x的不等式|f(2x＋a－2f(x|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值． 【分析】这是一道关于绝对值得函数题.变形后变为含参数的绝对值不等式，观察到此题是双曲线类不等式，不妨找中心、找顶点，与已知解集采用数形结合可将问题解决. 解：(1略.(2 ∵ f(x＝|x－a|，其中a＞1. ∴ 将不等式|f(2x＋a－2f(x|≤2转化为︱|x|-|x－a|︱≤1 根据双曲线类不等式2a=1,2c=a-0，中心为x解得：a0aa 221a,c 22

F1 X X A aB F 2

2
图8

如图8所示：F10，F2a
xAa1a1a1a1，xB 222222∴ 原不等式的解集为xa1a1x 22由题的条件可知：不等式的解集为{x|1≤x≤2} ∴ a1a11，2 22∴ a3．
3 .形如(如图9A，9B：MF1MF22a或MF1MF22a（F1F22a）表示双曲线类不等式的右支，它的解集分别为xxxB或xxxB．



F1 XA 0



图9A

XB F 2

F1 X A O XB F 2

图9B


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例5．（2012·广东9）不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
【分析】此类绝对值不等式是双曲线类不等式．因式子|x＋2|长度较长，-2<0, 因此可判断双曲线类不等式的右支．解题的关键是求中心、顶点．
解：因左焦点-2在先，|x＋2|长度比较长，因此本题属于双曲线类不等式的右支． 根据双曲线类不等式2a=1,2c=0-（-2）=2，中心为x解得：a0（-2）-1 21,c1
2 F1 XA - 1 XB F 2

图10

如图10所示：F1-2，F20
1311xA-1--，xB-1-
2222∴ 不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为xx-. 12例6．（2013·山东14在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
【分析】此题是关于长度的几何概型的概率题．该事件所包含总长度为6，满足条件事件是一个绝对值不等式，需要先求绝对值不等式的解．
解：因左焦点-1在先，|x＋1|长度比较长，因此不等式|x＋1|－|x－2|≥1属于双曲线类不等式的右支．根据双曲线类不等式2a=1,2c=2-（-1）=3，中心为x解得：a-121 2213,c 22
F1 X A 1XB F 2

2

如图11所示：F1-1，F22
xA1111-0，xB1 2222∴ 不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为xx1 ∴ 在区间[－3,3]解得：1≤x≤3 根据几何概型原理：故所求的概率为图11

3-11. 3（--3）34 .形如(如图12A，12B：MF2MF12a或MF2MF12a（F1F22a）表示双曲线类不等式的左支，它的解集分别为xxxA或xxxA.




F1 X A O XB F 2

图12A



XA F F2 XB 1
O图12B


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5 .特别地（如下图13），当F1F2m，MF1-MF2m(常数不再表示双曲线，而动点M表示以F1，F2为顶点的射线，简称为“两边开”.在涉及到不等式MF1-MF2m表示三边可构成三角形，用三角形两边之差小于第三边推导，所以不等式的解集为R ； 不等式MF1-MF2m表示三边不能构成三角形， 所以不等式的解集为． 三、抛物线类不等式
F1 O F2

图13

形如：MFd或MFd表示抛物线类不等式.由于抛物线只有一个顶点，所以不等式的解集显得简单些，结果要么左边开要么右边开. 形如：xmxn(mn解集为xxmn；xmxn(mn解集为2mnxx. 2总之，对于圆锥曲线类不等式，通过圆锥曲线的定义求得它的中心、顶点，再画图、用图，求解简单、易懂.它一方面绕开了分类讨论，另一方面避免运算繁杂造成的错误，不但加深了圆锥曲线定义的理解，而且对绝对值不等式有了新的认识.



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5b5282917f21af45b307e87101f69e314232fa5e.html

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