河南省实验中学2016-2017学年九年级（上）期末数学模拟试卷

2016-2017学年九年级（上）期末数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．下列各等式成立的是（　　）

A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20

2．如图由圆形组成的四个图形中，可以看做是中心对称图形的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

4．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）

A．10 B．14 C．16 D．40

5．已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（　　）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定

6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）

A．60° B．70° C．120° D．140°

7．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个

8．下列事件中是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从西边升起

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．实心铁球投入水中会沉入水底

D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上

9．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（　　）

A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

11．若使二次根式有意义，则x的取值范围是　　．

12．一元二次方程9（x﹣1）2﹣4=0的解是　　．

13．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系为　　．

14．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　．

15．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=　　．

16．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是　　．

17．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=　　米．

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为　　 cm．

19．若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x﹣h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k=　　．

20．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：

①abc＜0，②4a+b=0，③抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），④若点（﹣2，y1），（5，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2，

请将正确选项的序号都填在横线上　　．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

21．（5分）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．

四、解答题（本大题共6小题，共45分）

22．若x、y为实数，且y=++3，求yx的值．

23．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．

（1）求⊙O的半径OA的长；

（2）计算阴影部分的面积．

24．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

25．锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是　　．

（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是　　．

（3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．

26．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

27．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；

（2）求FG的长．

五、综合题（本大题共1小题，共10分）

28．（10分）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

九年级（上）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．下列各等式成立的是（　　）

A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】根据二次根式乘法法则： •=（a≥0，b≥0），分别计算即可．

【解答】解：A、4×2=8×5=40，故选项错误；

B、5×4=20=20，故选项错误；

C、4×3=12=12，故选项错误；

D、5×4=20=20，故选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，正确理解法则是关键．

2．如图由圆形组成的四个图形中，可以看做是中心对称图形的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

【解答】解：第一、二、四个图形是中心对称图形，共3个，

故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】同类二次根式．

【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．

【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；

B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；

C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；

D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

4．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）

A．10 B．14 C．16 D．40

【考点】利用频率估计概率．

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，

∴=0.4，

解得：n=10．

故选A．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．

5．已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（　　）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定

【考点】点与圆的位置关系．

【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，求出点A与圆的位置关系．

【解答】解：∵OP=10，A是线段OP的中点，

∴OA=5，小于圆的半径6，

∴点A在圆内．

故选C．

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=5，小于圆的半径，可以确定点A的位置．

6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）

A．60° B．70° C．120° D．140°

【考点】圆周角定理．

【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．

【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；

在△OAB中，OA=OB，

则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，

同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，

故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．

故选D

【点评】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．

7．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个

【考点】正多边形和圆．

【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．

【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，

即，有6个直角三角形，

AB是斜边时，点C共有4个位置，

即有4个直角三角形，

综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．

故选：D．

【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

8．下列事件中是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从西边升起

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．实心铁球投入水中会沉入水底

D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上

【考点】随机事件．

【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：A．是不可能事件，故A选项不符合题意；

B．是随机事件，故B选项不符合题意；

C．是必然事件，故C选项符合题意；

D．是随机事件，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点评】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

【考点】弧长的计算．

【分析】根据弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．

【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，

由L=，

∴2.5π=，

解得：r=6，

故选：A．

【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L=才能准确的解题．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（　　）

A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2

【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．

【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=2OA=2OB=AC=2，

∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，

∴BA′=AB，

∴BA′=2OB，

∴∠OA′B=30°，

∴∠A′BA=60°，

即旋转角为60°，

S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，

=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，

=﹣，

=π﹣π，

=π．

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

11．若使二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥2　．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵二次根式有意义，

∴2x﹣4≥0，

解得x≥2．

故答案为：x≥2．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

12．一元二次方程9（x﹣1）2﹣4=0的解是　x1=，x2=　．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】先把方程变形为（x﹣1）2=，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：（x﹣1）2=，

x﹣1=±

所以x1=，x2=．

故答案为x1=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

13．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系为　y=﹣2x+4　．

【考点】函数关系式．

【分析】根据计算的图示即可列出函数解析式．

【解答】解：y与x之间的函数关系为：y=﹣2x+4．

故答案是：y=﹣2x+4．

【点评】本题考查了列函数解析式，正确理解图示是关键．

14．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　．

【考点】正多边形和圆．

【分析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．

【解答】解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．

∵等边三角形的内心和外心重合，

∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；

∵OD⊥BC，OB=1，

∴OD=．

故答案为：．

【点评】考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．

15．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=　1　．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a+（﹣4）=0且3+b=0，从而得出a，b，推理得出结论．

【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

∴a+（﹣4）=0，3+b=0，

即：a=4且b=﹣3，

∴a+b=1．

【点评】本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．

16．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤9，且k≠0　．

【考点】根的判别式．

【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

【解答】解：∵方程有两个实数根，

∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，

即k≤9，且k≠0

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

17．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=　25　米．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．

【解答】解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．

设圆的半径是r，根据勾股定理，

得R2=202+（R﹣10）2，

解得R=25（米）．

故答案为25．

【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为　4　 cm．

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．

【解答】解：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=4cm，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=22.5°，

∵∠COE为△AOC的外角，

∴∠COE=45°，

∴△COE为等腰直角三角形，

∴OC=CE=4cm，

故答案为：4

【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

19．若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x﹣h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k=　﹣10　．

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值，进而求出h+k的值．

【解答】解：∵y=x2+6x+2=x2+6x+9﹣9+2=（x+3）2﹣7，

∴h=﹣3，k=﹣7，

h+k=﹣3﹣7=﹣10．

【点评】考查二次函数的解析式的三种形式．

20．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：

①abc＜0，②4a+b=0，③抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），④若点（﹣2，y1），（5，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2，

请将正确选项的序号都填在横线上　②③　．

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，

∴abc＞0，故①错误；

∵抛物线的对称轴为x=2，

∴﹣=2，b=﹣4a，

∴4a+b=0，故②正确；

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故③正确；

∵对称轴方程为 x=2，

∴（﹣2，y1）可得（6，y1）

∵（5，y2）在抛物线上，

∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故④错误；

综上所述②③正确．

故答案为：②③．

【点评】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

21．计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．

【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、解答题（本大题共6小题，共45分）

22．（2016秋•安徽期末）若x、y为实数，且y=++3，求yx的值．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可得y的值，然后可得答案．

【解答】解：由题意得：，

解得：x=2，

则y=3，

yx=32=9．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

23．（2016•新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．

（1）求⊙O的半径OA的长；

（2）计算阴影部分的面积．

【考点】扇形面积的计算；垂径定理．

【分析】（1）首先证明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．

（2）根据S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE计算即可．

【解答】解；（1）连接OD，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∵CD∥OB，

∴∠OCD=90°，

在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，

∴OD=2CO，设OC=x，

∴x2+（）2=（2x）2，

∴x=1，

∴OD=2，

∴⊙O的半径为2．

（2）∵sin∠CDO==，

∴∠CDO=30°，

∵FD∥OB，

∴∠DOB=∠ODC=30°，

∴S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE

=×+﹣

=+．

【点评】本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．

24．（2016•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

【考点】矩形的性质；菱形的判定．

【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；

（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．

【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO=∠CEO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四边形AECF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=，

在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，

∴CF==2，

∵四边形AECF是菱形，

∴CE=CF=2，

∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．

【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．

25．（2016•菏泽）锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是　　．

（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是　　．

（3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，第一道肯定能对，第二道对的概率为，即可得出结果；

（2）由题意得出第一道题对的概率为，第二道题对的概率为，即可得出结果；

（3）用树状图得出共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，即可得出结果．

【解答】解：（1）第一道肯定能对，第二道对的概率为，

所以锐锐通关的概率为；

故答案为：；

（2）锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，

则第一道题对的概率为，第二道题对的概率为，

所以锐锐能通关的概率为×=；

故答案为：；

（3）锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A，B表示剩下的第一道单选题的2个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，

树状图如图所示：

共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，

∴锐锐顺利通关的概率为：．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

26．（2014•白云区三模）贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设求平均每次下调的百分率为x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；

（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论．

【解答】（1）解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得

6000（1﹣x）2=4860，

解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）

答：平均每次下调的百分率为10%；

（2）由题意，得

方案①优惠：4860×100×（1﹣0.98）=9720元，

方案②优惠：80×100=8000元．

∵9720＞8000

∴方案①更优惠．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点．

27．（2016•本溪二模）已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；

（2）求FG的长．

【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理．

【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．

（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，

∴∠B=∠C=∠ODB=60°，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，

∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，

∴DF是圆O的切线；

（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，

∴BD=OB=OD=6，

∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，

∵在Rt△CFD中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF=CD=×6=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

∵FG⊥AB，

∴∠FGA=90°，

∵∠FAG=60°，

∴FG=AFsin60°=．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．

五、综合题（本大题共1小题，共10分）

28．（10分）（2009•常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．

【分析】（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．

（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．

【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）

∵△ABC和△ADE为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，

∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

∴△DAC≌△EAB（SAS），

∴CD=BE．（4分）

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM=BE=CD=CN，

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，

∴△AMN是等边三角形．（7分）

设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC，

∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形，

∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，

∴∠EDC=∠ECD=30°，

∴∠ADC=90°．（8分）

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，

∴CD=a．

∵N为DC中点，

∴DN=，

∴AN=．（9分）

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4： =4：16：7（10分）

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）

∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，

∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，

∴△ABM≌△ACN，

∴∠MAB=∠NAC，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，

∴△AMN是等边三角形，（7分）

设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，

易证BE⊥AC，

∴BE=，

∴EM=，

∴AM=，

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4： =4：16：7．（10分）

【点评】此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/59b5690cf342336c1eb91a37f111f18582d00c4d.html