高中数学第7章复数 复数的三角表示式新人教A版必修第二册

课时作业20　复数的三角表示式

知识点一 复数的三角表示　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.下列复数中已用三角形式表示的是(　　)

A．2(cosα－isinα)

B．2(sinα＋icosα)

C．－2(cosα＋isinα)

D．2[cos(－α)＋isin(－α)]

答案　D

解析　复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：

①r≥0.

②加号连接．

③cosα在前，sinα在后．

④α前后一致，可取任意值．

A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．

2．复数z＝－336106bc74f7c40646a48b388eb423d38.png(i是虚数单位)的三角形式是(　　)

A．35138d445993293fc7b6d037bc4814937.png

B．3973fc30a029d00419ad6793b48c05c25.png

C．3ddfd615192696511416e51890a41f33b.png

D．3fcfd8636b44aa95ae8c991196d6071cd.png

答案　C

解析　由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，

z＝－336106bc74f7c40646a48b388eb423d38.png＝3527bb6969de41b9715acfbf8064e0cbe.png

＝3ddfd615192696511416e51890a41f33b.png.故选C．

知识点二 复数的辐角与复数的模

3.复数z＝sinθ－icosθ809d643dc6718eaf47e1c46019629c41.png的辐角主值是(　　)

A．θ－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png B．π－θ

C．2π－θ D．θ＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png

答案　A

解析　复数z＝sinθ－icosθ809d643dc6718eaf47e1c46019629c41.png＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cos916bb3fb980e0e6b43bef9a9a166c88d.png＋isin916bb3fb980e0e6b43bef9a9a166c88d.png＝cos6088c26c2c5d37fb272faa5d426c6327.png＋isin6088c26c2c5d37fb272faa5d426c6327.png，由cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png<θ<π，得0<θ－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png<cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，故此复数的辐角主值为θ－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png.故选A．

4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为(　　)

A．2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png B．－2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png

C．2sinf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png D．－2sinf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png

答案　B

解析　解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋96248209ee7b9ac59ef39e8851a1bd6c.png＋i·2sinf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.pngcosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png＝2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.pnga8987debe03f8afdf96bb782f2927969.png，

∵π<α<2π，∴cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png<f5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png<π，cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png<0，

∴|z|＝5e51e41881ce01bfe9092bc5b021ce60.png

＝21cf2ada4c8fedb325cb1a4931da7411d.png＝－2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png.

∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png.

解法二：∵|z|＝4fdb5251894711b4479311434b5448d9.png＝8d7f3b63f9c694ce546a3538e97acbce.png

＝ 1369da720d7e9ebe02b0faa6e711940d.png＝ 60faaa3537c3e5065c725889ef4ab391.png＝692f6f6e6be78dc8acba625f547d5da2.png，

∵π<α<2π，∴cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png<f5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png<π，∴cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png<0，

∴|z|＝－2cosf5cd7f6b88a8490325eb1830ab0d85f6.png.故选B．

5．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．

解　z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin21493947a99920833cf98bd45b5a72b53.png＋i·2sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.pngcoscbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png

＝2sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.pnge565268a5648bf643ffdf6357f733cf8.png.

∵2π<θ<3π，∴π<cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png<52b84cc47232834378729c825b2f667b.png，∴sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png<0.

从而z＝－2sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png5a9fffb7e20702a5e4f2d3acbf1db252.png

＝－2sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png58018da4059b860233b782f8f19a4755.png

∵π<cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png<52b84cc47232834378729c825b2f667b.png，∴0<52b84cc47232834378729c825b2f667b.png－cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png<cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png.

故|z|＝－2sincbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png，argz＝52b84cc47232834378729c825b2f667b.png－cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png.

知识点三 复数相等

6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.

答案　kπ－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png(k∈Z)

解析　解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png(k∈Z)．

解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，

则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，

z2＝cosc4ca8b4f86dae6621bba513572ce4be2.png＋isin07ee1c82a744c20c018f0476c9565110.png，

∵z1＝z2，则e369c7aa7852598fba82423365551baf.png＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，

故θ＝kπ－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png(k∈Z)．

知识点四 复数的三角表示与向量

7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设99ac018251b46119b798adb14ab14adc.png对应的复数是z.

(1)求复数z；

(2)若复数z对应的点P在直线y＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngx上，求θ的值．

解　(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，

z2＝－cos2θ＋icos2θ，

∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，

∴1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．

∴1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.

(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx，得－2sin2θ＝－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png，即sin2θ＝0495c943adeef64d4e2ed7db21a0c83e.png，∴sinθ＝±df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴θ＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png或40e0e164a635c508463915d501d1f617.png.

一、选择题

1．复数z＝cbe5cd32f06bd634132b6149f6aaa10a.png的辐角主值是(　　)

A．6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png B．aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png

C．fc1b1c86323f41fe78750967e1c742e8.png D．e400af9cf80ec15c700833cbfc1e9d07.png

答案　D

解析　z＝cbe5cd32f06bd634132b6149f6aaa10a.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngi＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png402141179d43e41b04a9ac25253bd1ff.png

所以辐角主值是e400af9cf80ec15c700833cbfc1e9d07.png.故选D．

2．2i的三角形式是(　　)

A．2(cos0＋isin0) B．1553867a52c684e18d473467563ea33b.png855d830c976291a9fd8a0d4450498246.png

C．2855d830c976291a9fd8a0d4450498246.png D．2(cosπ＋isinπ)

答案　C

解析　∵2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴2i的三角形式是2855d830c976291a9fd8a0d4450498246.png.故选C．

3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r>0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，则7c055f9b1ceae06f5465017ce1b239c1.png＝(　　)

A．9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋i B．9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－i

C．1－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngi D．1＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngi

答案　A

解析　由已知可得z＝2ff689c78eafa6889b2a0b85534e0018a.png＝－1＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngi，所以7c055f9b1ceae06f5465017ce1b239c1.png＝8fb3822afe40d781353e5bea2f194177.png＝21e6690104de56b6e1efc47417ae5706.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋i.故选A．

4．下列复数用三角形式表示的是(　　)

A．3(sin40°＋isin40°) B．3(cos40°－isin40°)

C．－3(cos40°＋isin40°) D．3(cos40°＋isin40°)

答案　D

解析　复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D．

5．复数1－5i和－3－2i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于(　　)

A．aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png B．e400af9cf80ec15c700833cbfc1e9d07.png

C．63623d25b215689e8b3162a6284b9b48.png D．cf617baa1092beb755b5c24b01cff352.png

答案　C

解析　∵arg(1－5i)＝α，

又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴f52f845de8306642809488f801caeb1f.png<α<2π.

∵arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，

∴π<β<52b84cc47232834378729c825b2f667b.png.则8e0c4bcf3562e068447777b90f9f4e3e.png<α＋β<985dc771a724aae2692dbc357ae0c546.png，即0d2c5f31ce985459bd0adb7c869d28de.png<α＋β<38455afc7e78a4cba6546c11166f29cb.png.故选C．

二、填空题

6．复数2196cf20490fae024d810efef1dfe1038.png的代数形式为________．

答案　－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngi

解析　2196cf20490fae024d810efef1dfe1038.png＝2d1b20f79084e2b6d6ee81c383d8d0785.png＝－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngi.

7．复数z＝log1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png1＋|1＋i|i的三角形式是________．

答案　1553867a52c684e18d473467563ea33b.png855d830c976291a9fd8a0d4450498246.png

解析　∵|1＋i|＝af0ee6f1f9de2c4192dd03c04e094d38.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

∴z＝log1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png1＋|1＋i|i＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngi.

∵z在复平面对应点的坐标为(0，1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，

∴z的辐角主值为cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴z的三角形式是1553867a52c684e18d473467563ea33b.png855d830c976291a9fd8a0d4450498246.png.

8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝90485743a4efdeb07c9391a582eb5706.png的辐角主值为________．

答案　e400af9cf80ec15c700833cbfc1e9d07.png

解析　将z1＝1＋i代入式中化简整理：

z＝343e8977fcf97c2aa05b1318a5109759.png＝2f0ab5b1c088a673f9068a179d2d5e52.png＝1－i，

显然argz＝e400af9cf80ec15c700833cbfc1e9d07.png.

三、解答题

9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．

(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngi.

解　(1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示，

则r1＝db2c40088d24f28fa06cb20836de629d.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

cosθ＝－bf28ae6e67befcd7514eb5353b4b6703.png＝－193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，则argz1＝dedb4eb06692609f6c4f9fddb5383d0e.png.

故z1＝－1＋i＝27b27a075f28548bc2b72002fca2223a.png196cf20490fae024d810efef1dfe1038.png.

(2)复数z2＝－71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngi对应的向量如图2所示，

则r2＝b330def1921e4ae07ad16510738d1d04.png＝1，

cosθ＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

∵与z2＝－71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngi对应的点位于第三象限，则argz2＝5494179b835aa00b551d0ef25fb9dbc6.png，故z2＝－71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngi＝cos82be1288fab1939c79019c6c8fd80151.png＋isin82be1288fab1939c79019c6c8fd80151.png.

10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角．

解　∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，

∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2)

＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2)

＝2cos5cfcc0e33891663e206b6babf1e88966.pngcosc659f12200eea4a79711b263ae7c8fb2.png＋i·2sin5cfcc0e33891663e206b6babf1e88966.pngcosc659f12200eea4a79711b263ae7c8fb2.png

＝2cosc659f12200eea4a79711b263ae7c8fb2.pngdb1cda3f7d9ea16d15ef89568f1268c1.png.

∵0<θ1<π，0<θ2<π，

∴－π<－θ2<0，－π<θ1－θ2<π，－e369c7aa7852598fba82423365551baf.png<c659f12200eea4a79711b263ae7c8fb2.png<cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

则cosc659f12200eea4a79711b263ae7c8fb2.png>0.

∴|z1＋z2|＝2cosb092237e45b9ed9d35b9849ff0b91111.png.

z1＋z2的辐角是2kπ＋6ccf54b5e442598529acd693fae183e0.png(k∈Z)．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/58ca7b51031ca300a6c30c22590102020640f260.html