2015-2016学年河南省信阳市年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是( )
A．两角和一边 B．两边及夹角 C．三个角 D．三条边
2．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
3．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是( )
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
4．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )
A．线段 B．角 C．直角三角形 D．等腰三角形
5．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BECD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD需要添加一个条件是( )
A．AB=AC B．∠A=∠O C．OB=OC D．BD=CE
6．已知不平行的两条线段AB、A′B′关于直线L对称，AB和A′B′所在直线交于点P，下列结论：①AB∥A′B′；②点P在直线L上；③若点A′、A是对称点，则直线L垂直平分线段AA′；④若B、B′是对称点，则PB=PB′．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空（共9题，每题3分，共27分）
7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________．
8．已知△ABC≌△DEF，∠A=52°，∠B=57°，则∠F=__________．
9．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为__________．
10．点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是__________．
11．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为__________cm．
12．如图：沿AM折叠，使D点落在BC上，如果AD=7cm，DM=5cm，则AN=__________cm．
13．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是__________cm．
14．如图：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要补充条件：__________（写一个即可）．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是__________cm．
三、解答题（共7题，共75分）
16．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
17．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标．
18．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求证：点A在CD的垂直平分线上．
19．如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．
20．如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）如果GF=4，求GC的长．
21．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．
22．（13分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
2015-2016学年河南省信阳市八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是( )
A．两角和一边 B．两边及夹角 C．三个角 D．三条边
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，可根据全等三角形的判定定理进行求解，常用的方法有：SSS、SAS、SSA、AAS、HL．
【解答】解：判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此C选项是错误的．
A选项，运用的是全等三角形判定定理中的AAS或ASA，因此结论正确；
B选项，运用的是全等三角形判定定理中的SAS，因此结论正确；
D选项，运用的是全等三角形判定定理中的SSS，因此结论正确；
故选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【考点】角平分线的性质．
【专题】应用题．
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选D．
【点评】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
3．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是( )
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【考点】镜面对称．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51．
故选C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
4．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )
A．线段 B．角 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线与线段本身所在的直线，故本选项错误；
B、角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故本选项错误；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项正确；
D、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BECD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD需要添加一个条件是( )
A．AB=AC B．∠A=∠O C．OB=OC D．BD=CE
【考点】全等三角形的判定．
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在△ABE和△ACD中，已知了AE=AD，公共角∠A，因此只需添加一组对应角相等或AC=AB即可判定两三角形全等．
【解答】解：添加条件可以是：AB=AC或∠AEB=∠ADC或∠B=∠C．
故选A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．已知不平行的两条线段AB、A′B′关于直线L对称，AB和A′B′所在直线交于点P，下列结论：①AB∥A′B′；②点P在直线L上；③若点A′、A是对称点，则直线L垂直平分线段AA′；④若B、B′是对称点，则PB=PB′．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【解答】解：①AB∥A′B′；根据不平行的两条线段AB、A′B′关于直线L对称故此选项错误；
②点P在直线L上；如图所示，故选项正确；
③若点A′、A是对称点，则直线L垂直平分线段AA′；利用图形对称性得出，此选项正确；
④若B、B′是对称点，则PB=PB′，利用图形对称性得出，此选项正确；
其中正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
二、填空（共9题，每题3分，共27分）
7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的中垂线．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的中垂线．
【点评】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
8．已知△ABC≌△DEF，∠A=52°，∠B=57°，则∠F=71°．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D=∠A=52°，∠E=∠B=57°，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=52°，∠B=57°，
∴∠D=∠A=52°，∠E=∠B=57°，
∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=71°，
故答案为：71°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质得出∠D=∠A，∠E=∠B是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为19．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是（3，2）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是（3，2）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为9cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB﹣BE=AB﹣BC，则△AED的周长为AD+DE+AE=AC+AE．
【解答】解：DE=CD，BE=BC=7cm，
∴AE=AB﹣BE=3cm，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．
【点评】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12．如图：沿AM折叠，使D点落在BC上，如果AD=7cm，DM=5cm，则AN=7cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质直接解答．
【解答】解：根据折叠的性质，有AN=AD=7cm．
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
13．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是6cm．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴S△DEF=S△ABC=18cm
设EF边上的高为h，则•EF•h=18
即×6×h=18
h=6
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的面积相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边．
14．如图：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要补充条件：AC=BD（答案不唯一）．（写一个即可）．
【考点】全等三角形的判定；平行线的性质．
【专题】开放型．
【分析】要判定△AEC≌△DFB，已知AE=DF、∠A=∠D，要加线段相等，只能是AC=DB，而AB=CD即可得．
【解答】解：∵AB=CD
∴AC=DB
又AE=DF、∠A=∠D
∴△AEC≌△DFB
故答案为AC=BD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是20cm．
【考点】角平分线的性质．
【分析】由已知条件，结合已知在图形上的位置，根据角平分线的性质可得M到AB的距离等于CM．
【解答】解：∵∠C=90°，AM平分∠CAB，
∴M到AB的距离等于CM=20cm．
故填20．
【点评】本题考查了角平分线的性质；注意题中隐含的条件：MC⊥AC的运用．本题比较简单，属于基础题．
三、解答题（共7题，共75分）
16．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】作图题．
【分析】作A关于街道的对称点A'，连接A'B，交街道所在直线于C，点C即为所求．
【解答】解：作图如右图：
牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．
【点评】此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握．
17．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．
【解答】解：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）；
所画图形如下所示，
其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
【点评】本题考查了轴对称作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
18．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求证：点A在CD的垂直平分线上．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质求得AB=AC，进而求得AC=AD，根据垂直平分线性质定理的逆定理即可证得结论．
【解答】证明：连接AC，
∵MN垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵AB=AD，
∴AC=AD，
∴点A在CD的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，作出辅助线构建等腰三角形是本题的关键．
19．如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法通过SAS证明△ABD≌△CBD，得∠ADB=∠CBD，从而根据角平分线的性质即可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB．
又PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．三角形全等的证明是解题的关键．
20．如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）如果GF=4，求GC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）要证明三角形ABC和DEF全等．这两个三角形中已知的条件有一组直角，AB=DE，那么只需证得BC=EF即可得出两三角形全等的结论，已知了BF=CE，等式两边都加上FC后，就可得出BC=EF，那么这两三角形也就全等了（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴GC=GF=4．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质．利用全等三角形来得出角相等或线段相等是解此类题的关键．
21．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．
【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．
∴∠AOB=∠COD．
在△AOB和△COD中，．
∴△AOB≌△COD．
∴AB=CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．
22．（13分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/58754347250c844769eae009581b6bd97f19bcf4.html
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