2016江西建设职业技术学院数学单招测试题（附答案解析）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1．设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )

A．若m∥,n∥,则m∥n B. 若m,n,m∥,n∥,则∥

C．若，m,则m D．若，m，m,则m∥

3．若实数满足则的最小值是（ ）

A．0 B．1 C． D．9

4．已知上是单调增函数，则a的最大值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为 (k＞0),

离心率,则双曲线方程为（ ）

A ．－=1 B．

C． D．

6．定义行列式运算=. 将函数的图象向左

平移（）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ( )

A． B． C． D．

7．长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=, AA1=1,

则顶点A、B间的球面距离是（ ）

A.．2 B.． C ． D．

8.若定义在R上的函数满足：对任意，有(),

则下列说法一定正确的是（ ）

A．为奇函数 B ． 为偶函数

C ． 为奇函数 D ． 为偶函数

9．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，与所成角的余弦值为( )

A．B．C．D．

10．若直线和⊙:没有交点,则过点（的直线

与椭圆的交点个数为（ 　）

A．至多一个 B．.2个 C．1个 D．0个

11．如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，

且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（ ）

A． B．

C． D．

12．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点

在上且，则的面积为( )

Ａ ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．如图，到的距离分别是和，

与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，

则与的大小关系及m与n的大小关系分别为

14．已知向量，，

且，则= _____

15．已知函数(x)=,等差数列{ax}的公差为2，若 (a2+a4+a6+a8+a10)=,则

log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]=.

16．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：

第棵树种植在点处，其中，，当时，

表示非负实数的整数部分，例如，．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的

坐标应为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内）

17（本小题12分）已知中内角的对边分别为，且，

向量, 且∥

（Ⅰ）求锐角的大小，

（Ⅱ）求的面积的取值范围.

18.（本小题12分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

19.（本小题12分）在数列中，，。

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和。

（Ⅲ）求数列的前项和。

20. (本小题12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

21．（本小题12分）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题10分）选修4－1：几何证明选讲

从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

23．（本小题10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：，曲线C2：。

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数。

（Ⅰ）作出函数的图像；（Ⅱ）解不等式。

答案

一、选择题:1-5 :A D B D C 6-10: C C C D B 11-12: B B

二、填空题:13, 14. 3 15. 16.（1，2），（3，402）

三、解答题

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（12分）

解：（1）∥ 2分

4分

又为锐角 6分

（Ⅱ） 由 得

又代入上式得：（当且仅当时等号成立。） 9分

（当且仅当时等号成立。） 11分

的面积的取值范围为. 12分

18．（12分）

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，．

，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ），，

．

又，．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．二面角的余弦值为

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．平面，

．

在中，，，．．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，．

又，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．设．

，，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．二面角的余弦值为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，点的坐标为．

．点到平面的距离为．

19.（12分）

解：（Ⅰ）由条件得，又时，，

　　　故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．

（Ⅱ）由得，

，

两式相减得 ： ， 所以 ．

（Ⅲ）由得

　　　所以．

20.（12分）

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(－t2+14t－40)

化简得t2－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,

化简得（t－10）（3t－41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

当t变化时，V′(t)与V (t)的变化情况如下表：

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50－108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21.（12分）

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

22.（10分）解：从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

【分析1】构造两个全等△。

连结ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

←

23.（10分）解：（Ⅰ）是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）；：（t为参数）．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．

24.（10分）解：

（Ⅰ）

图像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．由函数图像可知，原不等式的解集为．

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