广东六校2020届高三上学期数学（理）第二次联考试题（含答案）

2020届广东六校高三第二次联考试题

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

分析】

化简集合，即可得结果.

【详解】,

。

故选:C

【点睛】本题考查集合间的运算，准确化简是解题的关键，属于基础题.

2.“”是“”成立的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 不充分不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分、必要条件的判断方法，即可得正确答案.

【详解】若，则成立；

若，则同号，所以不成立，

“”是“”成立的的充分不必要条件.

故选:A

【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.

3.已知，则( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案.

【详解】，

，.

故选:B

【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.

4.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，

且俯视图应为对称图形

故俯视图为

故选A.

点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．

5.函数在的图像大致为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先证明的奇偶性，判断图像的对称性，对时的函数值正负，以及和1的大小，即可得到正确答案.

【详解】是奇函数，

图像关于原点对称；故D不正确；

，

，故B不正确，

而，故C不正确.

故选:A

【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

6.已知非零向量满足且，则与的夹角为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出，即可求出结论.

【详解】

，

与的夹角为.

故选:D

【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及向量垂直的判定，属于基础题.

7.已知函数的最小正周期为，　且，则( )

A. 在单调递增 B. 在单调递增

C. 在单调递减 D. 在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

化简，再根据已知条件求出，逐项验证各选项.

【详解】，所以，

又知为奇函数，

，

，没有单调性，

选项A，C不正确，

，单调递减，

选项B不正确.

故选:D

【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，涉及三角函数的单调性、奇偶性、周期性，属于中档题.

8.记等差数列的前项和为，若已知，则( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，求出，然后求出公差，最后求得.

【详解】设的公差为，，

，∴，

.

故选:C

【点睛】本题考查等差数列量之间的运算，涉及等差数列的通项、前项和、性质，属于中档题.

9.关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：

① f(x)是偶函数; ② f(x)在区间上单调递减;

③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于对称

其中所有正确结论的编号是( )

A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ③④

【答案】C

【解析】

【分析】

①用奇偶性定义证明为正确；

②化简去绝对值，可证为正确；

③ ④作出图像，可判断为不正确.

【详解】

为偶函数，①为正确;

单调递减，②为正确；

作出函数在的图像如下图：

可判断③ ④不正确.

故选:C

【点睛】本题考查有关三角函数的性质，考查了正切函数的图象及应用，属于中档题.

10.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】由，得

因为，

所以，

即，

解得，

所以

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．

11.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点 分别是的中点，，则球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件可得，两两互相垂直，三棱锥的四个顶点所在球为以为棱的长方体外接球，球的直径径为长方体对角线长，即可求出球的表面积.

【详解】

，

平面平面，

点 分别是的中点，，

设球半径为

，

故选:C

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，等价转化是解题的关键，属于中档题.

12.己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.

【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，

则方程在上有解，

即在上有解，

令，

则，

所以当时，0' altImg='fb896f2cd237a2ff94052b38bef41621.png' w='78' h='21' class='_3'>，当时，，

所以函数上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最大值，

所以的值域为，

所以的取值范围是，

故选C.

【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ．

【答案】1

【解析】

试题分析：．

考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．

14.已知的内角的对边分别为，，，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知等式结合余弦定理，求出角，进而求出的值.

【详解】，

，

则.

故答案为:

【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.

15.数列满足，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知得设，则是公比为的等比数列，求出其通项，再用累加法求出，即可得结果.

【详解】设，若则与矛盾，

是公比为的等比数列，

，

.

故答案为:

【点睛】本题考查等比数列的通项，以及累加法求通项，合理引进辅助数列是解题的关键，属于中档题.

16.已知不等式恒成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

设，，不等式恒成立，转化为函数的图像不在直线的下方，求出的单调区间以及极值、最值，作出函数的图像，用数形结合方法，即可求出的取值范围；或分离出参数，构造新函数，转化为与新函数的最值的大小关系.

【详解】直线l:是斜率为且过点的直线，

时单调递减；

时，0,f(x)' altImg='d560bb117efa1e2f3e1ab36de09b33c2.png' w='122' h='21' class='_4'>单调递增.

，

当

所以时，不符合条件

所以时，符合条件

时，若，则

所以只需再考虑的情况：

法一：

如图示设时直线l与相切，

则当且仅当时符合条件.

设直线l与相切于点，

则,

,

所以

注0, ' altImg='07c15dc40959f03f5353e6cea4209b15.png' w='405' h='22' class='_4'>

递增，且.

法二：时：

0 (x>0),' altImg='6331724d94b93c2e7575a7d1c409846d.png' w='351' h='90' class='_4'>

在上单调递增，又

1,f'(x)>0;' altImg='7a0ab90dcae067bd2f3d6becb4816950.png' w='291' h='21' class='_4'>

时，

【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调区间、极值最值，考查等价转换、数形结合、分类讨论等数学思想，是一道综合题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量 设函数.

(1) 求的最小正周期.

(2) 求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为.

【解析】

【分析】

（1）求出化简，即可得出结论；

（2）根据整体思想，结合图像特征，即可求出答案.

【详解】(1) ,

.

.

所以, 所以最小正周期为.

(2) 当 时，

.

所以在上的最大值和最小值分别为.

【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题.

18.已知数列的前项和为，且 .

(1) 求数列的通项公式；

(2) 记，数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）由与的关系，可求出的通项公式；

（2）求出的通项，接着求出的前项和，用裂项相消法求出，不等式即可得证.

【详解】(1) 由得

当时，

当时，.

数列是首项且公比的等比数列.

.

(2),.

数列是等差数列，

【点睛】本题考查已知前项和求通项，考查等比数列的通项、等差数列的通项以及前项和，考查用裂项相消法求数列的和，是一道综合题.

19.如图，菱形的对角线与交于点O，，点分别在上，，交于点. 将沿折到△的位置，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据折叠前后关系可证，再用勾股定理证，即可证得结论；

（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，找出平面的法向量，即可求出结果.

【详解】（I）由已知得，，

又由得，故.

因此，从而

由,，

得.

由得.

所以，.

于是，故.

又，而，

所以平面.

（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则，，

，，，

，.

设是平面的法向量，

则，即，

所以可以取

因菱形ABCD中有，

又由（1）知

所以是平面的法向量，

设二面角为，由于为锐角，

于是 .

因此二面角的余弦值是.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查用空间向量法求空间角，考查推理、计算能力，是中档题.

20.的内角，，所对边分别为，，.已知.

(1) 求；

(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。

【答案】（1）B=60°；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；

（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.

【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．

又因为中可得，

,所以，

因为中sinA0，故．

因为，故，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，

故0°<A<90°，0°<C<90°，

由（1）知A+C=180°B＝120°，

所以30°<C<90°，故 .

所以，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题.

21.两县城和相距，现计划在两县城外位于线段上选择一点建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和. 记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为 ；且当垃圾处理厂与城距离为时对城和城的总影响度为0.029.

(1) 将表示成的函数；

(2) 讨论⑴中函数单调性，并判断在线段上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）函数在内单调递减，在内单调递增；在线段AB上存在点符合题意，该点与城的距离.

【解析】

【分析】

（1）先求出垃圾处理厂对城的影响度比例系数，然后根据题意求与的函数关系；

（2）应用导数求解.

【详解】⑴据题意，，，

且建在处的垃圾处理厂对城的影响度为，

对城的影响度为，

因此总影响度．

又因为当垃圾处理厂与城距离为时

对城和城的总影响度为0.029.

所以．

所以．

(2)　因．

由解得．

由解得

由0' altImg='8fe83a8d09ecd1eb1f68f914ede82ccc.png' w='47' h='20' class='_7'>解得

所以，随的变化情况如下表：

由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增，

当时，，

故在线段AB上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小，

该点与城的距离．

【点睛】本题考查函数在实际生活中应用问题.涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题，关键点在于把实际问题转化为数学关系式.

22.已知函数．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若在上单调递增，求的取值范围；

(3) 若， 求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求出，再用求导的方法求出单调区间，极值，从而求出最值；

（2）问题转化为在恒成立，方法有二：

解法一：对分类讨论，求出；

解法二：分离出参数，构造函数，转化为与函数的最值关系；

（3）应用二次求导，先确定，要证，转为证，利用函数的单调性证转为证的大小关系，构造函数，通过研究函数的最值，从而得到结论.

【详解】解：(1)函数的定义域为，

，

若，记，则

0\end{pmatrix}' altImg='ccc28d400adabcf9bda4ab1420b7bf92.png' w='256' h='43' class='_7'>

2,g'(x)>0' altImg='28b85b4dabd21c6fcde986c0c536c830.png' w='288' h='21' class='_7'>

的单调减区间为，单调增区间为.

的最小值为

（2）在上单调递增,

当且仅当在区间恒成立，

即在区间恒成立，

(I) 若，由（1）知

0' altImg='c71eb964c7f3cb96180e61c2068f7388.png' w='522' h='43' class='_7'>

在定义域上单调递增，满足条件

(II)若，

令，

所以取有，不合题意

综上所述，若在上单调递增，则的取值范围是

(2)法二：0)⇔−2a≤\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x^{2}}(x>0)' altImg='7e042b8e5282d1c94826b5879a7f1feb.png' w='467' h='43' class='_7'>

记，则

0)' altImg='059a45a15c1cd56a167b31bf9b942bbb.png' w='344' h='43' class='_7'>

记,则0)' altImg='72a8011feaa1eb01b1efd4d2e646e94f.png' w='289' h='21' class='_7'>

0,x>1,t'(x)<0' altImg='0aed085bd702f8ca68e5752db2e8bd00.png' w='284' h='21' class='_7'>

在上单调递减

(根据洛比塔法则)

.

（3） 若，，

0), f'(1)=0' altImg='58aa7664e644384abd7b93b33b1dc292.png' w='339' h='43' class='_7'>

0), ' altImg='a49b75a2a0a3ada70b047845c0ceedeb.png' w='462' h='44' class='_7'>∴ 在上单减，

当 时，f(1)=0,f(x)' altImg='21885fadaf26b930a52b521bc6c07576.png' w='178' h='21' class='_7'>在（0，1）上单增；

当时，在（1，+）上单减；

令，则

其中令

当时，在单减，

0∴d(x)' altImg='58810276c7577ee6ead923f1fab37aa9.png' w='145' h='21' class='_8'>在（0，1）上单增，

又在上单调递减

【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查分类讨论数学思想，合理构造函数是解题的关键，属于难题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/558584b3fac75fbfc77da26925c52cc58bd690a6.html