2019-2020年高一数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教案

平面与平面垂直的性质

无为二中 胡婷婷

一、教学目标
1、知识与技能
　（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；
　（2）了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。
2、过程与方法
　（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
　（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
　　通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点
对性质定理的理解

三、教学难点

性质定理的引入和证明

四、学法与用具

（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明；
　（2）用具：两个互相垂直的平面，一根直的细棍；

（3）多媒体课件。

五、教学设计
（一）复习回顾

1、面面垂直的定义；

2、面面垂直的判定。

（二）探究新知

面面垂直的定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质。应用判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线，由线面垂直推出面面垂直。那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？面面垂直具有哪些性质呢？这就是我们这节课所要探究的内容。

问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

1、 探究

取出平面与平面垂直的模型，并拿细棍在其中一个面上移动。让学生观察

模型，探究细棍移动时，细棍与另一个平面的位置关系。

2、 猜想

在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明
　　下面我们一起来完成这个命题的证明.先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知、求证。

已知：α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.

求证：CD⊥β.

引导：这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪种方法最适合.

证明：在平面β内，过D作DE⊥AB，

因为 CD⊥AB，CDα，

所以 ∠CDE是α-AB-β的平面角，

又 α⊥β，所以 ∠CDE=90°

即CD⊥DE.

又ABβ，DEβ，

故 CD⊥β.

此命题就是面面垂直的性质定理。

定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；

（2）为判定和作出线面垂直提供依据。

（三）概念巩固
练习：判断下列命题的真假

1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。

2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。

3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。

4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面。

关键点：①线在平面内；

②线垂直于交线。

（四）巩固深化、发展思维

思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线CD与平面α具有什么位置关系？

猜想：直线CD必在平面α内。

推理证明

（引导）要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策?

证明： 过点C在平面α内作CE⊥AB于E.

因为 α⊥β， 所以 CE⊥β.

又因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，

所以直线CE和直线CD重合，

所以 CDα.

注：（1）此题运用了“同一法”来证明；

（2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.

用语言叙述就是:

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

（五）应用巩固　　

上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。

（拿出教具，把两个相交平面直立的放在桌面上，观察交线与桌面的关系）

猜想：交线与桌面垂直，即垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.

推理证明

已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。

求证:a⊥γ.

（引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.

证明：设α∩γ=b,β∩γ=c,

在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.

因为 α⊥γ，β⊥γ，所以 PM⊥α，PN⊥β.

因为 α∩β=a，所以 PM⊥a，PN⊥a,

所以 a⊥γ.

此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。

（六）课堂总结

1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？

2．空间垂直关系有哪些？如何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直关系转化的依据？

线线垂直 线面垂直 面面垂直

（七）课堂作业

课本82页 习题B组第3题

六、教后记

课后反思

各位老师你们好!这次观摩活动终于结束了,应该说这节观摩课经过本人及全组共同努力上得还是相当成功的.此课得到了我县数学教研员石老师、我校数学组组长钱老师及校内外众多同行的一致肯定,在此对他们给予我工作上的肯定和支持表示感谢!

面面垂直的性质这节课是立体几何初步的最后一节课,重点在于学生对性质定理的理解,难点是性质定理的引入及证明,为了突出重点、突破难点,整节课按照“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明”的方式进行，为了加深学生对性质定理的理解，教学中设置了四个辨析题对概念进行巩固，每介绍一个性质定理或结论前，让学生观察模型，自己猜想结论，然后引导学生对猜想结论进行证明，引导过程中巧设问题，及时组织学生思考，交流，讨论。通过模型演示激发学生探索新知的欲望，通过“探究”、“猜想”等活动多维度构建学生“自主参与、自主探究”的实践活动，通过学生思考、交流、讨论、发言多形式提供学生“展示自我、发展自我”的教学平台，在突破重难点的同时，注重培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力，使不同层次学生有所收获。

当然这节课还存在着很多不足之处，如教学中所选例题开放性较大，课堂时间不足，导致该问题学生难以消化，未达到预期效果，教案中也出现丢词和错词的现象，等等，在这里就不再赘述。

通过这次观摩活动，我觉得自己在教学上收获很大，特别是很多老师给我提出了许多宝贵意见，让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教师展示自我的平台、提高教学水平的机会！

胡婷婷老师公开课点评意见

无为二中 钱光学

本节课是立体几何初步的最后一节课内容，也是高考中文科学生的最后一节新课，如何使本节课成为立体几何的点睛之笔，胡老师作了一些有益的探究，教师通过“模型演示、直观感知、操作确认、推理证明”培养了学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力，较好地揭示了知识、规律发生、发展过程，较好地体现出高中数学新课程标准所倡导的教学理念，教师语言流畅，亲切，课堂气氛活跃，学生积极参与。主要特色如下：

1． 教学思路清晰，教学重点突出

整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨，本节课的主线就是面面垂直的性质及应用，课堂上的每一个环节和片段都是围绕这个主线展开，每一个知识点，每一个结论的发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生动手，动脑，相互讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。

2． 设问合乎情理，探究活动自然

一位哲人说过“问题构成了一切科学探索活动（包括数学活动）的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人动脑筋，积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的探究问题围绕面面垂直性质而进行，引导学生充分经历“模型演示——直观感知——操作确认——推理证明”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识产生的合理性，是大自然赋予数学的和谐美、自然美。

3． 注重方法引导，揭示研究方法

无论是面面垂直的定义，面面垂直的判定的复习，还是研究面面垂直的性质，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问“你是怎样想的”、“为什么这样做”、“还可以怎样做”等问题，问思路，问道理，问方法，及时组织学生思考，交流，讨论，遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正，对待学生大胆的尝试，给予充分的肯定，借此引导学生学会必要的思维策略，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，注重数学思想方法的渗透。

4． 整合教材资源，巧用信息技术

如何把握新课标，新教材，教育对象三者关系是考验教师教学水平的重要尺子，我们既要使一部分学生通过高中阶段数学学习有一定的数学素养，又要为另一部分学生继续深造打下扎实的数学基础，为了体现这点，本节课教师对教材的内容作了必要的整合，通过观察感知，猜想得出结论，同时对有些结论进行必要的证明，如本课的例题就选用了课本上的一道习题，虽然这道题有点难度，但恰好和本节课面面垂直的两个性质相呼应，较好地培养了学生思维的严谨性，也反映出教师对教学内容的深入思考；另外，本节课信息技术的运用也较得法，不是通过电教来灌学生，而是通过信息技术来辅助教学，使师生有时间对重点、难点内容进行突破。

作为刚走上讲台三个来月的年轻教师，本节课还存在很多不足和值得商榷的地方，这里不再赘述。

2006年12月29日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5525624c7e192279168884868762caaedd33ba82.html