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2019-2020学年洛阳市高考数学监测试题

发布时间：2020-09-21 17:20:24 来源：文档文库

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2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）

A．word/media/image2_1.png B． C．word/media/image4_1.png D．word/media/image5_1.png

2．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，word/media/image7_1.png，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，word/media/image7_1.png，的概率为（）

A．word/media/image9_1.png B． C．word/media/image11_1.png D．word/media/image12_1.png

3．已知非零向量word/media/image13_1.png、word/media/image14_1.png，若且word/media/image16_1.png，则向量word/media/image14_1.png在向量word/media/image13_1.png方向上的投影为（）

A． B．word/media/image18_1.png C． D．word/media/image20_1.png

4．如果直线与圆word/media/image22_1.png相交，则点word/media/image23_1.png与圆C的位置关系是（）

A．点M在圆C上 B．点M在圆C外

C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能

5．已知等差数列word/media/image24_1.png的前word/media/image25_1.png项和为，若word/media/image27_1.png，，则数列word/media/image24_1.png的公差为（）

A．word/media/image29_1.png B． C．word/media/image31_1.png D．word/media/image32_1.png

6．如图示，三棱锥word/media/image33_1.png的底面word/media/image34_1.png是等腰直角三角形，word/media/image35_1.png，且word/media/image36_1.png，，则word/media/image38_1.png与面所成角的正弦值等于（）

A． B．word/media/image42_1.png C．word/media/image43_1.png D．word/media/image44_1.png

7．word/media/image45_1.png的图象如图所示，，若将word/media/image47_1.png的图象向左平移个单位长度后所得图象与word/media/image49_1.png的图象重合，则可取的值的是（）

A． B．word/media/image53_1.png C．word/media/image54_1.png D．word/media/image55_1.png

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A． B．word/media/image58_1.png

C． D．word/media/image60_1.png

9．已知是空间中两个不同的平面，word/media/image62_1.png是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A．若word/media/image63_1.png，且word/media/image64_1.png，则word/media/image65_1.png

B．若word/media/image66_1.png，且word/media/image67_1.png，则

C．若word/media/image69_1.png，且word/media/image64_1.png，则word/media/image65_1.png

D．若word/media/image69_1.png，且，则

10．函数word/media/image71_1.png的图像大致为（）

A． B．

C． D．

11．设全集word/media/image76_1.png，集合，word/media/image78_1.png，则集合（）

A．word/media/image80_1.png B． C．word/media/image82_1.png D．

12．已知双曲线word/media/image84_1.png的左、右焦点分别为word/media/image85_1.png、word/media/image86_1.png，抛物线word/media/image87_1.png与双曲线有相同的焦点.设word/media/image88_1.png为抛物线与双曲线的一个交点，且word/media/image89_1.png，则双曲线的离心率为（）

A．或word/media/image91_1.png B．或 C．word/media/image93_1.png或word/media/image91_1.png D．word/media/image93_1.png或

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在直角坐标系中，已知点和点word/media/image96_1.png，若点在word/media/image97_1.png的平分线上，且word/media/image98_1.png，则向量word/media/image99_1.png的坐标为___________.

14．已知直线被圆word/media/image101_1.png截得的弦长为2，则的值为__

15．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为word/media/image103_1.png三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是word/media/image105_1.png，则该部门员工总人数为__________.

16．函数的单调增区间为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数word/media/image107_1.png.

（1）当word/media/image108_1.png时，求不等式word/media/image109_1.png的解集；

（2）若不等式word/media/image110_1.png恒成立，求实数a的取值范围.

18．设的内角word/media/image112_1.png的对边分别为，已知word/media/image114_1.png.

（1）求word/media/image7_1.png；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

19．（6分）如图，在正四棱锥word/media/image116_1.png中，，点word/media/image118_1.png、word/media/image119_1.png分别在线段word/media/image120_1.png、word/media/image121_1.png上，．

word/media/image123.gif

（1）若，求证：word/media/image125_1.png⊥；

（2）若二面角word/media/image127_1.png的大小为word/media/image128_1.png，求线段word/media/image129_1.png的长．

20．（6分）已知函数word/media/image130_1.png.

（1）解不等式word/media/image131_1.png；

（2）记函数word/media/image132_1.png的最大值为word/media/image133_1.png，若word/media/image134_1.png，证明：.

21．（6分）已知函数word/media/image136_1.png.

（1）解不等式；

（2）若函数word/media/image138_1.png最小值为word/media/image139_1.png，且word/media/image140_1.png，求word/media/image141_1.png的最小值.

22．（8分）已知，且word/media/image143_1.png的解集为.

（1）求实数，的值；

（2）若word/media/image132_1.png的图像与直线word/media/image145_1.png及围成的四边形的面积不小于14，求实数word/media/image147_1.png取值范围.

23．（8分）记为数列word/media/image24_1.png的前word/media/image25_1.png项和，word/media/image149_1.pngNword/media/image150_1.png.

（1）求word/media/image151_1.png；

（2）令word/media/image152_1.png，证明数列是等比数列，并求其前word/media/image25_1.png项和word/media/image154_1.png.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

【分析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.

【详解】

已知函数f（x）＝sin2x+sin2（xword/media/image156_1.png），

=，

=word/media/image158_1.png，

因为，

所以f（x）的最小值为word/media/image160_1.png.

故选：A

【点睛】

本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．B

【解析】

【分析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，word/media/image7_1.png，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，word/media/image7_1.png，”，记事件“恰好不同时包含字母，word/media/image7_1.png，”为word/media/image161_1.png，利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为word/media/image162_1.png（个），

则事件“恰好不同时包含字母，word/media/image7_1.png，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，word/media/image7_1.png，”

记事件“恰好不同时包含字母，word/media/image7_1.png，”为word/media/image161_1.png，则word/media/image163_1.png.

故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．

3．D

【解析】

【分析】

设非零向量word/media/image13_1.png与word/media/image14_1.png的夹角为word/media/image164_1.png，在等式word/media/image16_1.png两边平方，求出word/media/image165_1.png的值，进而可求得向量word/media/image14_1.png在向量word/media/image13_1.png方向上的投影为，即可得解.

【详解】

word/media/image167_1.png，由word/media/image16_1.png得，整理得word/media/image169_1.png，

word/media/image170_1.png，解得word/media/image171_1.png，

因此，向量word/media/image14_1.png在向量word/media/image13_1.png方向上的投影为word/media/image172_1.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

4．B

【解析】

【分析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得word/media/image173_1.png满足的条件，利用word/media/image23_1.png与圆心的距离判断即可.

【详解】

word/media/image174_1.png直线与圆word/media/image22_1.png相交，

word/media/image175_1.png圆心word/media/image176_1.png到直线的距离，

即word/media/image178_1.png．

也就是点到圆的圆心的距离大于半径．

即点与圆的位置关系是点word/media/image139_1.png在圆外．

故选：word/media/image7_1.png

【点睛】

本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．

5．D

【解析】

【分析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.

【详解】

依题意，word/media/image180_1.png，故word/media/image181_1.png，故word/media/image182_1.png，故word/media/image183_1.png，故选：D．

【点睛】

本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

6．A

【解析】

【分析】

首先找出word/media/image38_1.png与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知是等腰直角三角形且word/media/image35_1.png，是等边三角形，

设中点为word/media/image187_1.png，连接，word/media/image189_1.png，可知，word/media/image191_1.png，

同时易知word/media/image192_1.png，word/media/image193_1.png，

所以word/media/image194_1.png面word/media/image195_1.png，故word/media/image196_1.png即为word/media/image38_1.png与面所成角，

有word/media/image197_1.png，

故.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

7．B

【解析】

【分析】

根据图象求得函数word/media/image47_1.png的解析式，即可得出函数word/media/image49_1.png的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.

【详解】

由图象可得word/media/image199_1.png，函数word/media/image47_1.png的最小正周期为，word/media/image201_1.png，

，

则word/media/image203_1.png，，取word/media/image205_1.png，

word/media/image206_1.png，则word/media/image207_1.png，

word/media/image208_1.png，，可得word/media/image210_1.png，

当时，word/media/image212_1.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.

8．B

【解析】

【分析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为边长为word/media/image93_1.png正方体挖去一个以word/media/image7_1.png为球心以word/media/image93_1.png为半径球体的word/media/image214_1.png，

如图，故其表面积为，

故选：B.

【点睛】

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

9．D

【解析】

【分析】

利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.

【详解】

解：对于，当word/media/image63_1.png，且word/media/image64_1.png，则word/media/image147_1.png与word/media/image25_1.png的位置关系不定，故错；

对于word/media/image7_1.png，当word/media/image217_1.png时，不能判定，故错；

对于，若word/media/image69_1.png，且word/media/image64_1.png，则word/media/image147_1.png与word/media/image25_1.png的位置关系不定，故错；

对于word/media/image218_1.png，由word/media/image219_1.png可得，又word/media/image221_1.png，则故正确．

故选：word/media/image218_1.png．

【点睛】

本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．

10．A

【解析】

【分析】

根据排除，word/media/image218_1.png，利用极限思想进行排除即可．

【详解】

解：函数的定义域为word/media/image223_1.png，恒成立，排除，word/media/image218_1.png，

当时，word/media/image225_1.png，当，word/media/image227_1.png，排除word/media/image7_1.png，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．

11．C

【解析】

∵集合word/media/image228_1.png，word/media/image229_1.png，

∴word/media/image230_1.png

点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.

12．D

【解析】

【分析】

设word/media/image232_1.png，，根据word/media/image89_1.png和抛物线性质得出word/media/image234_1.png，再根据双曲线性质得出，word/media/image236_1.png，最后根据余弦定理列方程得出、word/media/image237_1.png间的关系，从而可得出离心率．

【详解】

过word/media/image88_1.png分别向word/media/image238_1.png轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为word/media/image139_1.png、word/media/image239_1.png，不妨设word/media/image232_1.png，，

则word/media/image241_1.png，

为双曲线上的点，则，即，得，word/media/image245_1.png，

又，在word/media/image247_1.png中，由余弦定理可得word/media/image248_1.png，

整理得word/media/image249_1.png，即word/media/image250_1.png，，解得word/media/image252_1.png或.

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．word/media/image254_1.png

【解析】

【分析】

点在word/media/image97_1.png的平分线可知word/media/image99_1.png与向量共线，利用线性运算求解即可.

【详解】

因为点在word/media/image97_1.png的平线上，

所以存在word/media/image256_1.png使，

而word/media/image258_1.png，

可解得word/media/image259_1.png，

所以word/media/image260_1.png，

故答案为：word/media/image254_1.png

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.

14．1

【解析】

【分析】

根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．

【详解】

解：圆word/media/image101_1.png的圆心为（1，1），半径word/media/image261_1.png，
因为直线被圆word/media/image101_1.png截得的弦长为2，
所以直线经过圆心（1，1），
word/media/image263_1.png，解得．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．

15．60

【解析】

【分析】

根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是word/media/image105_1.png可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

word/media/image103_1.png三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，

则word/media/image103_1.png三组抽取人数分别word/media/image265_1.png.

设组有word/media/image25_1.png人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，

∴解得word/media/image267_1.png.

∴该部门员工总共有人.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

16．word/media/image269_1.png

【解析】

【分析】

先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的word/media/image238_1.png的集合，从而可得函数的单调增区间.

【详解】

函数的定义域为word/media/image270_1.png.

word/media/image271_1.png，

令word/media/image272_1.png，则，故函数的单调增区间为：word/media/image269_1.png.

故答案为：word/media/image269_1.png.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）word/media/image274_1.png（2）

【解析】

【分析】

(1) 利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式word/media/image109_1.png的解集;

(2) 求出函数word/media/image132_1.png的最小值,把问题化为word/media/image276_1.png,从而求得的取值范围.

【详解】

（1）当word/media/image108_1.png时，

则

所以不等式word/media/image109_1.png的解集为word/media/image274_1.png.

（2）word/media/image110_1.png等价于word/media/image279_1.png，

而word/media/image280_1.png，

故word/media/image110_1.png等价于word/media/image281_1.png，

所以或word/media/image283_1.png，

即或word/media/image285_1.png，

所以实数a的取值范围为.

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

18．（1）（2）word/media/image287_1.png

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得word/media/image7_1.png的大小.

（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.

【详解】

（1）由题设知，word/media/image289_1.png，

即word/media/image290_1.png，

所以word/media/image291_1.png，

即word/media/image292_1.png，又

所以.

（2）由题设知，word/media/image294_1.png，

即word/media/image295_1.png，

又为锐角三角形，所以word/media/image296_1.png，即word/media/image297_1.png

所以，即word/media/image299_1.png，

所以的取值范围是word/media/image287_1.png.

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.

19．（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明word/media/image301_1.png＝0即可证明垂直；（2）设＝λword/media/image303_1.png，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量word/media/image304_1.png，而平面ABD的法向量为word/media/image305_1.png，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得word/media/image306_1.png．

试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．

因为PA＝AB＝，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

由word/media/image308_1.png＝，得Nword/media/image310_1.png，

由＝word/media/image312_1.png，得M，

所以word/media/image314_1.png，word/media/image315_1.png＝(－1，－1，0)．

因为word/media/image316_1.png＝0，所以MN⊥AD

(2) 解：因为M在PA上，可设word/media/image317_1.png＝λ，得M(λ，0，1－λ)．

所以word/media/image319_1.png＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．

设平面MBD的法向量word/media/image304_1.png＝(x，y，z)，

由word/media/image321_1.png，得

其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取word/media/image304_1.png＝(λ－1，0，λ)．

因为平面ABD的法向量为word/media/image323_1.png＝(0，0，1)，

所以cos＝word/media/image325_1.png，即word/media/image326_1.png＝word/media/image327_1.png，解得λ＝word/media/image328_1.png，

从而M，Nword/media/image330_1.png，

所以MN＝＝word/media/image332_1.png．

考点：用空间向量法证垂直、求二面角．

20．（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；

（2）先利用绝对值不等式的性质得到word/media/image132_1.png的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

【详解】

（1）word/media/image174_1.pngword/media/image130_1.png

①当word/media/image334_1.png时，word/media/image335_1.png恒成立，

word/media/image175_1.pngword/media/image334_1.png；

②当word/media/image336_1.png时，word/media/image337_1.png，即word/media/image338_1.png，

word/media/image175_1.pngword/media/image339_1.png；

③当时，word/media/image341_1.png显然不成立，不合题意；

综上所述，不等式的解集为.

（2）由（1）知，

于是word/media/image343_1.png

由基本不等式可得（当且仅当word/media/image345_1.png时取等号）

word/media/image346_1.png （当且仅当word/media/image347_1.png时取等号）

word/media/image348_1.png（当且仅当时取等号）

上述三式相加可得

word/media/image350_1.png（当且仅当时取等号）

word/media/image174_1.pngword/media/image343_1.png，

word/media/image175_1.png，故得证.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

21．（1）word/media/image352_1.png（2）

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.

（2）先求得word/media/image354_1.png，即，再根据“word/media/image356_1.png的代换”的方法，结合基本不等式，求得word/media/image141_1.png的最小值.

【详解】

（1）当word/media/image357_1.png时，word/media/image358_1.png，即word/media/image359_1.png，无解；

当时，word/media/image361_1.png，即，得word/media/image363_1.png；

当时，word/media/image365_1.png，即，得.

故所求不等式的解集为word/media/image352_1.png.

（2）因为word/media/image367_1.png，

所以，则word/media/image368_1.png，

word/media/image369_1.png.

当且仅当word/media/image370_1.png即时取等号.

故word/media/image141_1.png的最小值为.

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22．（1）word/media/image372_1.png，；（2）

【解析】

【分析】

（1）解绝对值不等式得word/media/image374_1.png，根据不等式的解集为列出方程组，解出即可；（2）求出word/media/image132_1.png的图像与直线word/media/image145_1.png及交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.

【详解】

（1）由word/media/image143_1.png得：，word/media/image374_1.png，

即word/media/image376_1.png，解得word/media/image372_1.png，.

（2）word/media/image377_1.png的图像与直线word/media/image145_1.png及word/media/image378_1.png围成的四边形word/media/image379_1.png，，word/media/image381_1.png，，word/media/image383_1.png.

过点向word/media/image378_1.png引垂线，垂足为，则word/media/image385_1.png.

化简得：word/media/image387_1.png，word/media/image388_1.png（舍）或word/media/image389_1.png.

故word/media/image147_1.png的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.

23．（1）word/media/image390_1.png；（2）证明见详解，

【解析】

【分析】

（1）根据，可得word/media/image392_1.png，然后作差，可得结果.

（2）根据（1）的结论，用取代word/media/image25_1.png，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前word/media/image25_1.png项和公式，可得结果.

【详解】

（1）由①，则word/media/image392_1.png②

②-①可得：word/media/image394_1.png

所以word/media/image390_1.png

（2）由（1）可知：word/media/image390_1.png③

则word/media/image395_1.png④

④-③可得：

则word/media/image397_1.png，且

令word/media/image399_1.png，则，word/media/image401_1.png

所以数列是首项为word/media/image402_1.png，公比为word/media/image160_1.png的等比数列

所以word/media/image403_1.png

【点睛】

本题主要考查递推公式以及word/media/image404_1.png之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．tan570°=（）

A． B．- C．word/media/image406_1.png D．

2．设双曲线word/media/image84_1.png的左右焦点分别为word/media/image408_1.png，点.已知动点word/media/image88_1.png在双曲线的右支上，且点word/media/image410_1.png不共线.若的周长的最小值为word/media/image412_1.png，则双曲线的离心率word/media/image413_1.png的取值范围是（）

A．word/media/image414_1.png B．word/media/image415_1.png C． D．word/media/image417_1.png

3．设函数，则使得word/media/image419_1.png成立的word/media/image238_1.png的取值范围是（）．

A． B．word/media/image421_1.png

C． D．word/media/image423_1.png

4．在word/media/image424_1.png展开式中的常数项为word/media/image425_1.png　　word/media/image426_1.png

A．1 B．2 C．3 D．7

5．已知直线与圆word/media/image428_1.png有公共点，则的最大值为（）

A．4 B．word/media/image430_1.png C． D．word/media/image432_1.png

6．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）

A．8 B．7 C．6 D．4

7．如图网格纸上小正方形的边长为word/media/image356_1.png，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A．word/media/image93_1.png B．word/media/image435_1.png C．word/media/image436_1.png D．word/media/image356_1.png

8．若word/media/image437_1.png,,word/media/image439_1.png,则下列结论正确的是( )

A． B．word/media/image441_1.png C． D．word/media/image443_1.png

9．从集合word/media/image444_1.png中随机选取一个数记为word/media/image147_1.png，从集合word/media/image445_1.png中随机选取一个数记为word/media/image25_1.png，则在方程word/media/image446_1.png表示双曲线的条件下，方程word/media/image446_1.png表示焦点在word/media/image447_1.png轴上的双曲线的概率为（）

A．word/media/image448_1.png B． C． D．

10．若向量word/media/image452_1.png，，则与word/media/image454_1.png共线的向量可以是（　　）

A．word/media/image455_1.png B．word/media/image456_1.png C．word/media/image457_1.png D．

11．将函数word/media/image459_1.png的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数word/media/image461_1.png的图像，若word/media/image461_1.png为奇函数，则word/media/image147_1.png的最小值为（）

A． B．word/media/image463_1.png C． D．word/media/image465_1.png

12．若不等式word/media/image466_1.png对于一切word/media/image467_1.png恒成立，则的最小值是（）

A．0 B．word/media/image468_1.png C． D．word/media/image470_1.png

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知点是抛物线word/media/image472_1.png的焦点，word/media/image139_1.png，word/media/image239_1.png是该抛物线上的两点，若，则线段word/media/image474_1.png中点的纵坐标为__________．

14．在平面直角坐标系中，圆word/media/image475_1.png.已知过原点word/media/image187_1.png且相互垂直的两条直线word/media/image476_1.png和word/media/image477_1.png，其中word/media/image476_1.png与圆相交于，word/media/image7_1.png两点，word/media/image477_1.png与圆相切于点word/media/image218_1.png.若word/media/image478_1.png，则直线word/media/image476_1.png的斜率为_____________.

15．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数word/media/image139_1.png，若把word/media/image139_1.png当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为word/media/image239_1.png，则word/media/image479_1.png_________．

16．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合word/media/image481_1.png，集合，word/media/image483_1.png.

（1）求集合B；

（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.

18．已知函数word/media/image485_1.png,word/media/image486_1.png word/media/image487_1.png．

（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；

（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；

（3）求证：word/media/image488_1.png（参考数据：ln1.1≈0.0953）．

19．（6分）如图为某大江的一段支流，岸线word/media/image476_1.png与word/media/image477_1.png近似满足word/media/image476_1.png∥word/media/image477_1.png，宽度为．圆word/media/image187_1.png为江中的一个半径为word/media/image490_1.png的小岛，小镇位于岸线word/media/image476_1.png上，且满足岸线，word/media/image492_1.png．现计划建造一条自小镇经小岛word/media/image187_1.png至对岸word/media/image477_1.png的水上通道word/media/image34_1.png（图中粗线部分折线段，word/media/image7_1.png在右侧），为保护小岛，段设计成与圆word/media/image187_1.png相切．设word/media/image494_1.png．

（1）试将通道word/media/image34_1.png的长表示成word/media/image164_1.png的函数，并指出定义域；

（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为word/media/image497_1.png；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若点P的极坐标为word/media/image499_1.png，word/media/image500_1.png，求的值.

21．（6分）底面word/media/image379_1.png为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若word/media/image501_1.png，word/media/image502_1.png.

（1）求证：word/media/image504_1.png；

（2）求二面角的正弦值.

22．（8分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：

若用表中数据所得频率代替概率.

（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；word/media/image7_1.png类是其他市民.现对类与word/media/image7_1.png类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为word/media/image7_1.png类市民的概率是多少？

23．（8分）已知正项数列word/media/image24_1.png的前word/media/image25_1.png项和word/media/image506_1.png.

（1）若数列word/media/image24_1.png为等比数列，求数列word/media/image24_1.png的公比的值；

（2）设正项数列的前word/media/image25_1.png项和为word/media/image154_1.png，若word/media/image508_1.png，且.

①求数列的通项公式；

②求证：word/media/image510_1.png.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式化简求解即可．

【详解】

tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=word/media/image43_1.png．

故选：A．

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

依题意可得word/media/image511_1.pngword/media/image512_1.png

即可得到word/media/image513_1.png，从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，word/media/image511_1.png

word/media/image512_1.png

word/media/image515_1.png

所以

则word/media/image517_1.png

所以

所以word/media/image519_1.png

所以，即word/media/image521_1.png

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

3．B

【解析】

【分析】

由奇偶性定义可判断出word/media/image132_1.png为偶函数，由单调性的性质可知word/media/image132_1.png在word/media/image523_1.png上单调递增，由此知word/media/image132_1.png在word/media/image524_1.png上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：word/media/image132_1.png定义域为word/media/image526_1.png，

，word/media/image528_1.png为偶函数，

当时，word/media/image530_1.png，

word/media/image531_1.png在word/media/image523_1.png上单调递增，word/media/image532_1.png在word/media/image523_1.png上单调递减，

word/media/image528_1.png在word/media/image523_1.png上单调递增，则word/media/image132_1.png在word/media/image524_1.png上单调递减，

由word/media/image419_1.png得：，解得：word/media/image533_1.png或word/media/image534_1.png，

word/media/image535_1.png的取值范围为word/media/image421_1.png.

故选：word/media/image7_1.png.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

4．D

【解析】

【分析】

求出展开项中的常数项及含word/media/image537_1.png的项，问题得解。

【详解】

展开项中的常数项及含word/media/image537_1.png的项分别为：

,word/media/image539_1.png，

所以展开式中的常数项为：word/media/image541_1.png.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

5．C

【解析】

【分析】

根据word/media/image428_1.png表示圆和直线与圆word/media/image428_1.png有公共点，得到word/media/image542_1.png，再利用二次函数的性质求解.

【详解】

因为word/media/image428_1.png表示圆，

所以word/media/image543_1.png，解得word/media/image544_1.png，

因为直线与圆word/media/image428_1.png有公共点，

所以圆心到直线的距离word/media/image545_1.png，

即 word/media/image546_1.png，

解得word/media/image542_1.png，

此时word/media/image542_1.png，

因为，在word/media/image548_1.png递增，

所以的最大值.

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

6．A

【解析】

【分析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：word/media/image550_1.png，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：word/media/image552_1.png，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.

【详解】

最底层正方体的棱长为8，

则从下往上第二层正方体的棱长为：word/media/image550_1.png，

从下往上第三层正方体的棱长为：，

从下往上第四层正方体的棱长为：word/media/image552_1.png，

从下往上第五层正方体的棱长为：word/media/image553_1.png，

从下往上第六层正方体的棱长为：word/media/image554_1.png，

从下往上第七层正方体的棱长为：word/media/image555_1.png，

从下往上第八层正方体的棱长为：，

∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

7．C

【解析】

【分析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为word/media/image557_1.png

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

8．D

【解析】

【分析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由指数函数的性质，可得word/media/image559_1.png，即，

又由word/media/image561_1.png，所以word/media/image443_1.png.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

9．A

【解析】

【分析】

设事件A为“方程word/media/image446_1.png表示双曲线”，事件B为“方程word/media/image446_1.png表示焦点在word/media/image447_1.png轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式word/media/image563_1.png计算即可.

【详解】

设事件A为“方程word/media/image446_1.png表示双曲线”，事件B为“方程word/media/image446_1.png表示焦点在word/media/image447_1.png轴上

的双曲线”，由题意，word/media/image564_1.png，word/media/image565_1.png，则所求的概率为

word/media/image566_1.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

10．B

【解析】

【分析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.

【详解】

word/media/image568_1.png

word/media/image570_1.png

故选B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.

11．C

【解析】

【分析】

根据三角函数的变换规则表示出word/media/image461_1.png，根据word/media/image461_1.png是奇函数，可得word/media/image147_1.png的取值，再求其最小值.

【详解】

解：由题意知，将函数word/media/image459_1.png的图像向右平移个单位长度，得，再将word/media/image572_1.png图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数word/media/image461_1.png的图像，word/media/image573_1.png，

因为word/media/image461_1.png是奇函数，

所以word/media/image574_1.png，解得word/media/image575_1.png，

因为word/media/image576_1.png，所以word/media/image147_1.png的最小值为.

故选：

【点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.

12．C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．

解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，word/media/image160_1.png]成立，等价于a≥-x-word/media/image577_1.png对于一切word/media/image467_1.png成立，

∵y=-x-word/media/image577_1.png在区间上是增函数

∴word/media/image579_1.png

∴a≥-

∴a的最小值为-故答案为C．

考点：不等式的应用

点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2

【解析】

【分析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.

【详解】

抛物线word/media/image472_1.png的标准方程为：word/media/image581_1.png，则抛物线的准线方程为，设word/media/image583_1.png，word/media/image584_1.png，则word/media/image585_1.png，所以word/media/image586_1.png，则线段word/media/image474_1.png中点的纵坐标为.

故答案为：word/media/image93_1.png

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.

14．word/media/image588_1.png

【解析】

【分析】

设word/media/image476_1.png：，word/media/image477_1.png：word/media/image590_1.png，利用点到直线的距离，列出式子

，求出word/media/image592_1.png的值即可.

【详解】

解：由圆word/media/image475_1.png，可知圆心，半径为word/media/image594_1.png.

设直线word/media/image476_1.png：，则word/media/image477_1.png：word/media/image590_1.png，

圆心到直线word/media/image476_1.png的距离为word/media/image595_1.png，

，word/media/image174_1.pngword/media/image478_1.png

word/media/image175_1.pngword/media/image597_1.png.

圆心到直线word/media/image477_1.png的距离为半径，即word/media/image598_1.png，

并根据垂径定理的应用，可列式得到，

解得word/media/image599_1.png.

故答案为：word/media/image588_1.png.

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.

15．1

【解析】

【分析】

根据均值的定义计算．

【详解】

由题意word/media/image600_1.png，∴．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查均值的概念，属于基础题．

16．word/media/image356_1.png

【解析】

【分析】

由题意得出展开式中共有11项，word/media/image602_1.png；再令求得展开式中各项的系数和．

【详解】

由的展开式中只有第六项的二项式系数最大，

所以展开式中共有11项，所以word/media/image602_1.png；

令，可求得展开式中各项的系数和是：

word/media/image604_1.png．

故答案为：1．

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）（2）word/media/image606_1.png

【解析】

【分析】

（1）由不等式可得word/media/image608_1.png,讨论word/media/image609_1.png与word/media/image610_1.png的关系,即可得到结果；

（2）先解得不等式word/media/image611_1.png,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为word/media/image470_1.png；当word/media/image613_1.png时,则M中仅有的整数为word/media/image468_1.png,进而求解即可.

【详解】

解:（1）因为,所以word/media/image608_1.png,

当,即时,word/media/image615_1.png；

当,即word/media/image617_1.png时,；

当word/media/image613_1.png,即word/media/image619_1.png时,.

（2）由word/media/image611_1.png得word/media/image620_1.png,

当,即时,M中仅有的整数为word/media/image470_1.png,

所以word/media/image621_1.png,即word/media/image622_1.png；

当word/media/image613_1.png,即word/media/image619_1.png时,M中仅有的整数为word/media/image468_1.png,

所以,即word/media/image624_1.png；

综上,满足题意的k的范围为word/media/image606_1.png

【点睛】

本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.

18．（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，word/media/image626_1.png对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．

【详解】

（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），

则，

①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，

H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；

②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，

且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），

使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，

即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．

（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，

则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，

故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，

进而F（x）在递减，在递增，，

且x→﹣∞时，，

F（x）在上有一个零点，在无零点，

故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．

综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，

令，则即；

由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，

令，则，所以；

故有．

【点睛】

本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．

19．（1），定义域是word/media/image648_1.png．（2）百万

【解析】

【分析】

（1）以为原点，直线word/media/image476_1.png为word/media/image238_1.png轴建立如图所示的直角坐标系，设word/media/image650_1.png，利用直线与圆相切得到word/media/image651_1.png，再代入word/media/image652_1.png这一关系中，即可得答案；

（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；

【详解】

以为原点，直线word/media/image476_1.png为word/media/image238_1.png轴建立如图所示的直角坐标系．

设word/media/image650_1.png，则，word/media/image655_1.png，．

因为word/media/image494_1.png，

所以直线的方程为，

即，

因为圆word/media/image187_1.png与相切，所以word/media/image659_1.png，

即，从而得word/media/image651_1.png，

在直线的方程中，令word/media/image661_1.png，得word/media/image662_1.png，

所以word/media/image663_1.png，

所以word/media/image664_1.png

当时，word/media/image666_1.png，设锐角满足word/media/image668_1.png，则，

所以关于word/media/image164_1.png的函数是，定义域是word/media/image648_1.png．

（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．

word/media/image670_1.png

令，得word/media/image672_1.png，设锐角word/media/image673_1.png，满足word/media/image674_1.png，得word/media/image675_1.png．

列表：

所以word/media/image682_1.png时，word/media/image683_1.png，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．

【点睛】

本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

20．（1）word/media/image684_1.png，word/media/image685_1.png；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）由word/media/image686_1.png得，求出曲线的直角坐标方程.由直线word/media/image688_1.png的参数方程消去参数，即求直线word/media/image688_1.png的普通方程；

（2）将直线word/media/image688_1.png的参数方程化为标准式word/media/image690_1.png（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得word/media/image692_1.png，点word/media/image88_1.png在直线word/media/image688_1.png上，则word/media/image693_1.png，即可求出的值.

【详解】

（1）由word/media/image686_1.png可得，

即word/media/image694_1.png，即word/media/image684_1.png，

word/media/image175_1.png曲线的直角坐标方程为word/media/image684_1.png，

由直线word/media/image688_1.png的参数方程（t为参数），消去得word/media/image685_1.png，

即直线word/media/image688_1.png的普通方程为word/media/image685_1.png.

（Ⅱ）点word/media/image88_1.png的直角坐标为word/media/image695_1.png，则点word/media/image88_1.png在直线word/media/image688_1.png上.

将直线word/media/image688_1.png的参数方程化为标准式word/media/image690_1.png（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得word/media/image696_1.png，

word/media/image174_1.png直线word/media/image688_1.png与曲线交于word/media/image697_1.png两点，

word/media/image698_1.png，即word/media/image699_1.png.

设点word/media/image697_1.png所对应的参数分别为word/media/image700_1.png，

由韦达定理可得，

word/media/image702_1.png.

word/media/image174_1.png点word/media/image88_1.png在直线word/media/image688_1.png上，，

word/media/image704_1.png.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.

21．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）先由线面垂直的判定定理证明word/media/image706_1.png平面word/media/image707_1.png，再证明线线垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，求平面word/media/image708_1.png的一个法向量与平面word/media/image709_1.png的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.

【详解】

（1）证明：连接，由word/media/image711_1.png平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以word/media/image713_1.png.

由题意易知，word/media/image715_1.png，所以，word/media/image717_1.png，

因为word/media/image718_1.png，所以word/media/image706_1.png平面word/media/image707_1.png，

又word/media/image719_1.png平面word/media/image707_1.png，所以word/media/image504_1.png.

（2）设word/media/image720_1.png，，由已知可得：平面word/media/image722_1.png平面，

所以word/media/image724_1.png，同理可得：，所以四边形word/media/image726_1.png为平行四边形，

所以word/media/image88_1.png为的中点，word/media/image187_1.png为的中点，所以word/media/image728_1.png平行且相等，从而word/media/image729_1.png平面word/media/image379_1.png，

又word/media/image730_1.png，所以word/media/image731_1.png，，word/media/image733_1.png两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，

word/media/image735_1.png，，由平面几何知识，得word/media/image737_1.png.

则word/media/image738_1.png，word/media/image739_1.png，word/media/image740_1.png，word/media/image741_1.png，

所以word/media/image742_1.png，，word/media/image744_1.png.

设平面word/media/image708_1.png的法向量为，由word/media/image746_1.png，可得，

令word/media/image748_1.png，则word/media/image749_1.png，word/media/image750_1.png，所以word/media/image751_1.png.同理，平面word/media/image709_1.png的一个法向量为.

设平面word/media/image708_1.png与平面word/media/image709_1.png所成角为word/media/image164_1.png，

则word/media/image753_1.png，所以.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.

22．（1）降低word/media/image755_1.png（2）

【解析】

【分析】

（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；

（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和word/media/image7_1.png类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.

【详解】

解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为word/media/image757_1.png；

不进行处罚，行人闯红灯的概率为；

所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低word/media/image759_1.png；

（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和word/media/image7_1.png类市民各有40人

故分别从类市民和word/media/image7_1.png类市民各抽出两人，4人依次排序

记类市民中抽取的两人对应的编号为word/media/image760_1.png，word/media/image7_1.png类市民中抽取的两人编号为word/media/image761_1.png

则4人依次排序分别为word/media/image762_1.png，，word/media/image764_1.png，，word/media/image766_1.png，，word/media/image768_1.png，，word/media/image770_1.png，word/media/image771_1.png，word/media/image772_1.png，word/media/image773_1.png，共有种

前两位均为word/media/image7_1.png类市民排序为word/media/image770_1.png，word/media/image773_1.png，有word/media/image775_1.png种，所以前两位均为word/media/image7_1.png类市民的概率是.

【点睛】

本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.

23．（1）word/media/image777_1.png；（2）①；②详见解析.

【解析】

【分析】

（1）依题意可表示word/media/image779_1.png，word/media/image780_1.png，相减得word/media/image781_1.png，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；

（2）①由题意可表示word/media/image782_1.png，word/media/image783_1.png，两式相减得word/media/image784_1.png，由其都是正项并整理可得递推关系，由等差数列的通项公式即可得答案；

②由已知word/media/image506_1.png关系，表示word/media/image786_1.png并相减即可表示递推关系，显然当word/media/image788_1.png时，成立，当word/media/image790_1.png，word/media/image791_1.png时，表示word/media/image792_1.png，由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.