2019年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷

2019年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3

2．（3分）如图是某体育馆内德颁奖台，其俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为（　　）

A．0.467×1010 B．46.7×108 C．4.67×109 D．4.67×1010

4．（3分）下列图标不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3＝a6 B．（a+2）2＝a2+4

C．a6÷a3＝a2 D．+＝

6．（3分）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，∠1＝120°，∠2＝50°，则∠3为（　　）

A．70° B．60° C．45° D．30°

7．（3分）在一次“爱心义卖活动”中，某校9年级的六个班级捐献的义卖金额数据如下：

900元，920元，960元，1000元，920元，950元．

这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．920元，960元 B．920元，1000元

C．1000元，935元 D．920元，935元

8．（3分）小明在深圳书城会员日当天购买了一本8折的图书，节约了17.2元，那么这本图书的原价是（　　）

A．86元 B．68.8元 C．18元 D．21.5元

9．（3分）下列命题中真命题是（　　）

A．有一组对边平行的四边形是平行四边形

B．有一个角为90°的四边形为矩形

C．（3，﹣2）关于原点的对称点为（﹣3，2）

D．有两边和一角相等的两个三角形全等

10．（3分）如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（　　）（参考数据：1.4，≈1.7）

A．7米 B．14米 C．20米 D．40米

11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（　　）

A．ac＞0

B．b2﹣4ac＜0

C．k＝2a+c

D．x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解

12．（3分）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF＝45°，边AF交CD于F，连接EF．则下列说法正确的有（　　）

①∠EAB＝30° ②BE+DF＝EF③tan∠AFE＝3 ④S△CEF＝6

A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：3x2﹣27＝　 　．

14．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是　 　．

15．（3分）定义新运算：a*b＝2a﹣b，则不等式x*4＞0的解集是　 　．

16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，AO＝AB，顶点O为坐标原点，∠A＝90°，点A的坐标为（，﹣1），点B在第一象限，AB与x轴交于点C，双曲线y＝（x＞0）经过点B，则K的值为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（5分）计算：（2）0﹣sin45°+（）﹣2﹣|﹣2|

18．（6分）先化简，再求值：+﹣1，其中a＝4．

19．（7分）某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道．为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据图表，解答以下问题：

（1）该校九年级学生共有　 　人；

（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是　 　；

（3）请你补充条形统计图；

（4）根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少有　 　封．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC为半径作弧（MCN），再以点C为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于M、N两点，射线BM、BN分别交直线AC于点D、E．

（1）求证：AC2＝AD•AE；

（2）若BM⊥AC，且CD＝2，AD＝3，求△ABE的面积．

21．（8分）皮特是红树林中学的一个外籍教师，目前，他在电脑上打英语单词的平均速度是打汉字速度的2倍．某次，他连续打完一篇3600字（单词）的英语文章和一篇600字的汉语文章，一共刚好花了40分钟．（速度按每分钟打多少个英语单词或汉字测算）．

（1）皮特目前平均每分钟打多少汉字；

（2）最近，皮特把一篇汉语文章翻译成英文，原文加上译文总字数为6000字，已知它在1小时内（含1小时）打完了这6000字，问原文最多有多少汉字？

22．（9分）如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE．

（1）求证：DE是圆O的切线．

（2）若DE＝3，AE＝，求圆O的半径．

（3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由．

23．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接OP，交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点P的坐标．

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴正半轴上一点，∠OGE＝15°，连接PE，是否存在点P，使∠PEG＝2∠OGE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3

【分析】根据绝对值的定义直接解答即可．

【解答】解：∵﹣3的绝对值表示﹣3到原点的距离，

∴|﹣3|＝3，

故选：D．

【点评】本题考查了绝对值的定义，知道绝对值表示某点到原点的距离是解题的关键．

2．（3分）如图是某体育馆内德颁奖台，其俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据颁奖台的特点找到从上面看所得到的图形即可解答．

【解答】解：从物体上面看，是横行并排的三个正方形，

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

3．（3分）我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为（　　）

A．0.467×1010 B．46.7×108 C．4.67×109 D．4.67×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：46.7亿＝4.67×109，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）下列图标不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3＝a6 B．（a+2）2＝a2+4

C．a6÷a3＝a2 D．+＝

【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加减法法则计算即可．

【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项正确；

B、（a+2）2＝a2+4a+4，故本选项错误；

C、a6÷a3＝a3，故本选项错误；

D、+＝+，故本选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了完全平方公式，幂的乘方运算，同底数幂的除法法则，二次根式的加减法的法则，比较简单．牢记法则是关键．

6．（3分）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，∠1＝120°，∠2＝50°，则∠3为（　　）

A．70° B．60° C．45° D．30°

【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．

【解答】解：∵a∥b，∠1＝120°，

∴∠ACD＝120°，

∵∠2＝50°，

∴∠3＝120°﹣50°＝70°，

故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．（3分）在一次“爱心义卖活动”中，某校9年级的六个班级捐献的义卖金额数据如下：

900元，920元，960元，1000元，920元，950元．

这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．920元，960元 B．920元，1000元

C．1000元，935元 D．920元，935元

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

【解答】解：920出现了2次，次数最多，故众数为920；

把这组数据按照从小到大的顺序排列为，900元，920元，920元，950元，960元，1000元，

故中位数为（920+950）÷2＝935；

故选：D．

【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

8．（3分）小明在深圳书城会员日当天购买了一本8折的图书，节约了17.2元，那么这本图书的原价是（　　）

A．86元 B．68.8元 C．18元 D．21.5元

【分析】设这本图书的原价是x元，根据“原价×（1﹣0.8）＝17.2”列出方程并解答．

【解答】解：设这本图书的原价是x元，

依题意得：（1﹣0.8）x＝17.2

解得x＝86．

即：这本图书的原价是86元．

故选：A．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

9．（3分）下列命题中真命题是（　　）

A．有一组对边平行的四边形是平行四边形

B．有一个角为90°的四边形为矩形

C．（3，﹣2）关于原点的对称点为（﹣3，2）

D．有两边和一角相等的两个三角形全等

【分析】根据三角形全等、点的坐标、平行四边形的判定及矩形的判定进行判断即可．

【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是假命题；

B、有一个角为90°的平行四边形为矩形，是假命题；

C、（3，﹣2）关于原点的对称点为（﹣3，2），是真命题；

D、有两边和其夹角相等的两个三角形全等，是假命题；

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据三角形全等、点的坐标、平行四边形的判定及矩形的判定等知识解答，难度不大．

10．（3分）如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（　　）（参考数据：1.4，≈1.7）

A．7米 B．14米 C．20米 D．40米

【分析】如图，作BH⊥AC于H．设BH＝CH＝x，构建方程即可解决问题．

【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．

∵∠BCH＝45°，∠BHC＝90°，

∴∠HCB＝∠HBC＝45°，

∴HC＝HB，设HC＝BH＝xm，

∵∠A＝60°，

∴AH＝x，

∴x+x＝20，

∴x＝10（3﹣），

∴AB＝2AH＝2××10（3﹣）≈14（m）

故选：B．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（　　）

A．ac＞0

B．b2﹣4ac＜0

C．k＝2a+c

D．x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解

【分析】由图象可得信息a＜0，c＞0，△＞0，k＞0，直接可以判断A和B是错误的；由y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），得到b＝k，a﹣b+c＝0，可以判断C是错误的；由对称轴为x＝1，k＝﹣2a，当x＝4时，ax2+（b﹣k）x+c＝﹣k，可以判断D正确；

【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，

∴ac＜0，故A错误；

由图象得知抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴△＞0，故B错误；

∵y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∵y＝kx+b过点（﹣1，0），

∴b＝k，

∴k＝a+c，故C错误；

∵对称轴为x＝1，

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴k＝﹣2a，

当x＝4时，ax2+（b﹣k）x+c＝16a+c＝15a＝15×（﹣k）＝﹣k，

由图象可知，k＞0，

∴﹣k＜k，即ax2+（b﹣k）x+c＜b；

故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的图象；熟悉二次函数图象的特点，能够通过图象直接获取信息，结合题中给出条件进行推断．

12．（3分）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF＝45°，边AF交CD于F，连接EF．则下列说法正确的有（　　）

①∠EAB＝30° ②BE+DF＝EF③tan∠AFE＝3 ④S△CEF＝6

A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④

【分析】延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，即可证得AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，再证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．

【解答】证明：延长CB到G，使BG＝DF，连接AG．如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，

∴∠ABG＝90°＝∠D，

∵△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠1＝∠2，

又∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°，

∴∠2+∠3＝45°，

∴∠1+∠3＝45°，

∴∠GAE＝∠EAF＝45°．

在△AEG和△AEF中，

，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴GE＝EF，

∵GE＝BG+BE，DF＝BG，

∴EF＝DF+BF，故②正确，

∵BE＝EC＝3，AB＝6，

∴tan∠3＝＝，

∴∠3≠30°，故①错误，

设DF＝x，则EF＝x+3，

在Rt△EFC中，∵EF2＝CF2+EC2，

∴（x+3）2＝32+（6﹣x）2，

∴x＝2，

∴DF＝BG＝2，

∴tan∠AFE＝tan∠G＝＝3，故③正确，

∴S△CEF＝•CE•CF＝×3×4＝6，故④正确．

故选：D．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等的三角形是解决问题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：3x2﹣27＝　3（x+3）（x﹣3）　．

【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．

【解答】解：3x2﹣27，

＝3（x2﹣9），

＝3（x+3）（x﹣3）．

故答案为：3（x+3）（x﹣3）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

14．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是　　．

【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．

【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，

所以黄区域所占的面积比例为＝，

即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，

故答案为：．

【点评】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率．

15．（3分）定义新运算：a*b＝2a﹣b，则不等式x*4＞0的解集是　x＞2　．

【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可得．

【解答】解：根据题意知2x﹣4＞0，

解得：x＞2，

故答案为：x＞2．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．

16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，AO＝AB，顶点O为坐标原点，∠A＝90°，点A的坐标为（，﹣1），点B在第一象限，AB与x轴交于点C，双曲线y＝（x＞0）经过点B，则K的值为　2　．

【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥DA，根据△AOB为等腰直角三角形易证△AOD≌△BOE，进而得出B（+1，﹣1），代入即可求出k的值．

【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥DA，如图：

易证△AOD≌△BOE，

∴AD＝BE，OD＝AE，

∵点A的坐标为（，﹣1），

∴AD＝BE＝，OD＝AE＝1，

∴B（+1，﹣1），

∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，

∴k＝（+1）×（﹣1）＝2．

故答案为：2

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是利用全等三角形的判定和性质求出点B的坐标．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（5分）计算：（2）0﹣sin45°+（）﹣2﹣|﹣2|

【分析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：（2）0﹣sin45°+（）﹣2﹣|﹣2|

＝1﹣×+9﹣2

＝1﹣1+9﹣2

＝7．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算．

18．（6分）先化简，再求值：+﹣1，其中a＝4．

【分析】根据分式的加法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：+﹣1

＝

＝

＝

＝

＝

＝﹣，

当a＝4时，原式＝﹣＝﹣．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19．（7分）某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道．为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据图表，解答以下问题：

（1）该校九年级学生共有　500　人；

（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是　18°　；

（3）请你补充条形统计图；

（4）根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少有　365　封．

【分析】（1）根据A所占的百分比和人数，可以求得该校九年级的人数；

（2）根据统计图中的数据可以求得扇形D的圆心角度数；

（3）根据统计图中的数据可以求得C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（4）根据统计图中的数据可以求得投递出的信件总数至少有多少封．

【解答】解：（1）225÷45%＝500，

故答案为：500；

（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是：360°×（1﹣45%﹣30%﹣20%）＝18°，

故答案为：18°；

（3）C中的人数为：500×20%＝100，

补充完整的条形统计图如右图所示；

（4）500×30%×1+500×20%×2+500×（1﹣45%﹣30%﹣20%）×3＝365（封），

故答案为：365．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC为半径作弧（MCN），再以点C为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于M、N两点，射线BM、BN分别交直线AC于点D、E．

（1）求证：AC2＝AD•AE；

（2）若BM⊥AC，且CD＝2，AD＝3，求△ABE的面积．

【分析】（1）想办法证明△ABD∽△AEB即可解决问题．

（2）利用相似三角形的性质求出AB，再利用勾股定理求出BD即可解决问题．

【解答】证明：（1）连接CM，CN，

由作图可知：BM＝BN，CM＝CN，

∵BC＝BC，

∴△BCM≌△BCN（SSS），

∴∠CBM＝∠CBN，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠E，

∴∠ABD＝∠E，

∵∠A＝∠A，

∴△ABD∽△AEB，

∴＝，

∴AB2＝AD•AE．

∵AB＝AC，

∴AC2＝AD•AE．

（2）解：∵AD＝3，CD＝2，

∴AC＝AB＝5，

∵AB2＝AD•AE，

∴AE＝，

在Rt△ABD中．BD＝＝4，

∴S△ABE＝•AE•BD＝×4×＝．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

21．（8分）皮特是红树林中学的一个外籍教师，目前，他在电脑上打英语单词的平均速度是打汉字速度的2倍．某次，他连续打完一篇3600字（单词）的英语文章和一篇600字的汉语文章，一共刚好花了40分钟．（速度按每分钟打多少个英语单词或汉字测算）．

（1）皮特目前平均每分钟打多少汉字；

（2）最近，皮特把一篇汉语文章翻译成英文，原文加上译文总字数为6000字，已知它在1小时内（含1小时）打完了这6000字，问原文最多有多少汉字？

【分析】（1）设皮特目前平均每分钟打x个汉字，则皮特目前平均每分钟打2x个单词，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合他连续打完一篇3600字（单词）的英语文章和一篇600字的汉语文章一共刚好花了40分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设原文有m个汉字，则译文有（6000﹣m）个单词，根据工作时间＝汉字字数÷60+单词数量÷120结合工作时间小于等于1小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设皮特目前平均每分钟打x个汉字，则皮特目前平均每分钟打2x个单词，

依题意，得：+＝40，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．

答：皮特目前平均每分钟打60个汉字．

（2）设原文有m个汉字，则译文有（6000﹣m）个单词，

依题意，得：+≤60，

解得：m≤1200．

答：原文最多有1200个汉字．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

22．（9分）如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE．

（1）求证：DE是圆O的切线．

（2）若DE＝3，AE＝，求圆O的半径．

（3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由．

【分析】（1）由OA＝OD得∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAE得∠OAD＝∠DAE，则∠ODA＝∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连结DC，先利用勾股定理计算出AD长，由AC是⊙O直径得到∠ADC＝90°，易证得△ACD∽△ADE，利用相似比可计算出AC，即可得到圆的半径；

（3）可得结论PC＝PD+PB，连接PB、DB，在CP上截取PB＝PF，连接BF、BC，可证△PBF为等边三角形，再证△PBD≌△FBC，即可得结论．

【解答】（1）证明：如图，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠CAE，

∴∠OAD＝∠DAE，

∴∠ODA＝∠DAE．

∴DO∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD，

∵OD是半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图1，连结CD，

∵∠AED＝90°，DE＝3，AE＝，

∴AD＝＝2，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ADC＝90°，

而∠AED＝90°，

又∵∠CAD＝∠DAE，

∴△ACD∽△ADE，

∴，

∴，

解得AC＝4．

∴⊙O的半径2；

（3）解：PC＝PD+PB，理由如下：

连接PB、DB，

在CP上截取PB＝PF，连接BF、BC，

∵，DE＝3，

∴，

∴∠DAE＝60°，

由（2）可知∠CAD＝60°，

∴∠CAB＝60°，

∴∠CPB＝∠CAB＝60°，

∴△PBF为等边三角形，

∴PB＝BF，∠PFB＝60°，

∴∠DPB＝∠DPC+∠BPC＝60°+60°＝120°，∠CFB＝120°，

在△PBD和△FBC中，，

∴△PBD≌△FBC（AAS），

∴CF＝DP，

∴PC＝PF+CF＝PD+PB．

【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键．

23．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接OP，交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点P的坐标．

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴正半轴上一点，∠OGE＝15°，连接PE，是否存在点P，使∠PEG＝2∠OGE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，即：CD：BD＝1：2，则：，故GC＝1，即可求解；

（3）则∠FEG＝∠OGE＝15°，则∠PEF＝45°，则直线EP的表达式为：y＝x﹣1，即可求解．

【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）如图1：S△CPD：S△BPD＝1：2，即：CD：BD＝1：2，

过点D分别作x、y轴的垂线交于点H、G，

则：，故GC＝1，

同理可得：DH＝2，故点D（1，2），

则直线OD的表达式为：y＝2x…②，

联立①②并解得：x＝（舍去负值），

故点P（，2）；

（3）存在，理由：

∠PEG＝2∠OGE＝30°，如图2，过点E作EF∥x轴，

则∠FEG＝∠OGE＝15°，

∴∠PEF＝45°，

则直线EP的表达式为：y＝x﹣1…③，

联立①③并解得：x＝（负值已舍去），

故点P（，）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大．

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日期：2019/6/8 7:11:21；用户：152********；邮箱：152********；学号：24559962

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