两角和与差的三角函数

§1 两角和与差的三角函数

知识梳理

1.两角和与差的余弦公式

（1）公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

（2）理解和记忆：

①上述公式中的α、β都是任意角.

②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cosα±cosβ.

③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=.

④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.

⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.

2.两角和与差的正弦公式

（1）公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

（2）理解和记忆：

①上面公式中的α、β均为任意角.

②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.

③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.

④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.

⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.

3.两角和与差的正切

（1）公式：tan(α+β)=；tan(α-β)=.

（2）理解和记忆：

①公式成立的条件：α≠kπ+，β≠kπ+，α+β≠kπ+或α-β≠kπ+，以上k∈Z.当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.

②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.

③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tanα+tanβ.

知识导学

要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.

难疑突破

1.形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？

剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx和y=cosx的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx和y=cosx取最值时，自变量x取值情况.

当x=2kπ+ (k∈Z)时，y=sinx取最大值1，当x=2kπ- (k∈Z)时，y=sinx取最小值-1；当x=2kπ(k∈Z)时，y=cosx取最大值1，当x=2kπ+π(k∈Z)时，y=cosx取最小值-1；由此看y=sinx取最值时，y=cosx=0，而y=cosx取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx和y=cosx不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.

求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b的最值.

例如：求函数f(x)=2sinx-cosx，x∈R的最值.

可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值.

f(x)=2sinx-cosx

=4(sinx-cosx)

=4(sinxcos-cosxsin)

=4sin(x-)，

∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.

很明显函数f(x)的最大值不是2±，最小值不是-2-.

下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R的最值.

f(x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx)，

∵()2+()2=1,

∴可设cosθ=，sinθ=,

则tanθ=（θ又称为辅助角）.

∴f(x)= (sinxcosθ+cosxsinθ)= sin(x+θ).

∴当x∈R时， f(x)的最大值是，最小值是-.

特别是当=±1，±，±时，θ是特殊角，此时θ常取，，.

对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.

例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）

A.(,0) B.(0,0) C.(-,0) D.(,0)

思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=sin(ax+)(a＞0)，

∴T==1.∴a=2π.∴f(x)=sin(2πx+)(a＞0).又∵f(x)与x的交点是其对称中心，经验证仅有(-,0)是函数f(x)的对称中心.

答案：C

3.2 两角和与差的三角函数

课堂导学

三点剖析

1.两角和与差的三角函数公式的简单运用

【例1】 若sinα=,sinβ=且α、β是锐角，求α+β的值.

思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.

解:∵α、β是锐角，∴cosα=,cosβ=.

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.

又∵sinα=<,sinβ=<，

∴0°<α<30°，0°<β<30°.

∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.

各个击破

类题演练 1

计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.

解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=，

或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)

=cos30°=.

变式提升 1

sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.

解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°)

=-sin17°sin43°+cos17°cos43°

=cos(17°+43°)=cos60°=.

答案：

2.两角差的余弦公式的运用

【例2】 已知cos(α+β)=,cos(α-β)=，求tanαtanβ的值.

思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解.

解：由

①+②得cosαcosβ=,

②-①得sinαsinβ=,

∴tanαtanβ==.

友情提示

在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.

类题演练 2

设a∈(0,),若sinα=,则cos(α+)等于（ ）

A. B. C. D.-

解析：∵α∈(0,)，sinα=,∴cosα=,

又cos(α+)=(cosα·cos-sinα·sin)

=cosα-sinα=.

答案：B

变式提升 2

已知α、β为锐角，且cosα=，cos(α+β)=，求β的值.

解析：∵α是锐角，cosα=,∴sinα=.

∵α、β均为锐角，

∴0<α+β<π.

又cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.

∴cosβ=cos［(α+β)-α］

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

=（）·+=.

又∵β为锐角，

∴β=.

3.两角和与差的三角函数的变式应用

【例3】 已知α,β∈(-,)，tanα,tanβ是一元二次方程x2+x+4=0的两根，求 α+β.

思路分析：

由根与系数关系可得tanα+tanβ、tanαtanβ，因此可先求tan(α+β).

解：

由题意知

tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,①

∴tan(α+β)=.

又∵α,β∈(-,)

且由①知α∈(-,0),β∈(-,0),

∴α+β∈(-π,0).

∴α+β=.

类题演练 3

计算tan10°+tan50°+tan10°tan50°的值.

解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°

=(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°=.

变式提升 3

求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.

解析：原式=tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)

=tan10°tan20°+tan30°(1-tan10°tan20°)

=1.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/50d1154bbc1e650e52ea551810a6f524ccbfcb8f.html