上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题（教师版）

上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. 在中，，，，那么的长为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据余弦的定义进行解答即可．

【详解】解：根据已知条件可画出图形，如图：

∵

∴．

故选：B

【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键．

2. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1,BD=2,那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．

【详解】∵AD=1，BD=2，

∴AD:AB=1:3，

只有当AE:AC=1:3时，DE∥BC，

理由是：∵AD:AB=AE:AC=1:3，∠A=∠A，

∴△ADE≌△ABC，

∴∠ADE=∠B，

∴DE∥BC，

而其它选项都不能推出∠ADE=∠B或∠AED=∠C，即不能推出DE∥BC，

即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；

【点睛】平行线分线段成比例．

3. 在平行四边形中，，，下列说法正确的是（ ）

A. B. C. D. 且

【答案】B

【解析】

【分析】

结合向量与平行四边形的性质，即可判断．

【详解】解：平行四边形ABCD如图所示，

A选项：AB与AC相交，故错误；

B选项：，即，故正确；

C选项：AB与AC相交，故错误；

D选项：AB与AC相交，故错误．

故：选B

【点睛】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形的基本性质，属于向量中的基础题型．

4. 如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向确定a的符号，由对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，选择作出答案．

【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，

故选：D．

【点睛】考查二次函数的图象和性质，通过开口判断a，对称轴判断b，与y轴的交点判断c．

5. 下列命题中不正确的是（ ）

A. 平分弦的半径垂直于弦； B. 垂直平分弦的直线必经过圆心；

C. 垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧； D. 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据垂径定理及其推论分别进行判断．

【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；

B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；

C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；

D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．

故选：A．

【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．

6. 如图，已知在梯形中，∥，，如果对角线与相交于点，△、△、△、△的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确的是（ ）

A. ； B. ； C. ； D. ；

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】因为在梯形中，∥，所以△AOD∽△COB,所以，因为，所以，所以，故选B.

【点睛】考查了梯形的性质及相似三角形的判定与性质.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7. 若（b+d≠0），则=________

【答案】

【解析】

由题意得：b=3a，d=3c，

∴===.

故答案为.

8. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米．

【答案】16

【解析】

【分析】

实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．

【详解】解：根据题意，1.6÷=1600000厘米=16千米．

即实际距离是16千米．

故答案为：16．

【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．

9. 线段 AB长10cm，点P 在线段 AB上，且满足，那么AP 的长为_____________cm ．

【答案】．

【解析】

【分析】

【详解】设AP=x，则BP=10-x，

∵，

∴，

∴=，=（不合题意，舍去），

∴AP的长为（）cm．

故答案为．

10. 已知点是面积为的的重心，那么的面积等于__________．

【答案】12

【解析】

【分析】

利用重心是三角中线的交点，由性质得BD=CD，AG=2GD，AD平分三角形ABC面积，而CG分三角形ACD面积为1：2即可．

【详解】设射线AG交BC于点D，连GB，GC，

因为点是面积为的△的重心，

所以BD=CD，AG=2GD，

所以△的面积=的面积的，

的面积=△的面积=，

所以△的面积=．

故答案为：12．

【点睛】本题考查三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质，会用性质解决问题是解题关键．

11. 抛物线的最低点坐标是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接用顶点公式求顶点坐标即为最低点坐标．

【详解】∵ 抛物线中，

∴ 抛物线开口向上，顶点为最低点

∵ ，

∴ 顶点坐标为：

∴ 最低点坐标为：

故答案为：

【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，对称轴的方法，是基础知识要熟练掌握．

12. 如果二次函数的图像经过点，那么__________．

【答案】

【解析】

【分析】

把代入解析式即可得到关于的一个方程，同时为了保证该函数是二次函数即二次项系数不为零可得关于的不等式，综合两个式子即可求得答案．

【详解】解：∵二次函数的图像经过点

∴

∴．

故答案是：

【点睛】本题考查了根据二次函数的定义求参数问题，要注意二次函数的二次项系数不能为零．

13. 一个钢球沿着坡比为的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距离地面的高度是______米．

【答案】

【解析】

【分析】

可根据坡比设出坡面的铅直高度和水平高度，然后根据勾股定理列方程求解即可．

【详解】

如图，在Rt中，

设，则

根据勾股定理得：

解得：（负值舍去）．

故答案为：．

【点睛】本题主要考察对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用，掌握坡比的概念是解题的关键．

14. 如图，在中，于，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在边上．如果，正方形的面积为，那么的长是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．

【详解】解：由正方形DEFG得：DEGF，即DE∥BC．

∵AH⊥BC，∴AP⊥DE．

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AH=．

故答案为．

【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，正方形的性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．

15. 如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，BM⊥CE，AB=6，则BM=_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，可证△BCM∽△CED，可得，即可求BM的长

【详解】解：正方形ABCD中，AB＝6，

E是AD的中点，故ED＝3；CE＝3，

∵BM⊥CE，

∴△BCM∽△CED，

根据相似三角形的性质，可得，

解得：BM＝．

【点睛】主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质．充分利用正方形的特殊性质来找到相似的条件从而判定相似后利用相似三角形的性质解题．一般情况下求线段的长度常用相似中的比例线段求解．

16. 如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，则的长为__________．

【答案】6

【解析】

【分析】

延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．

【详解】如图，延长交的延长线于M．

∵四边形是正方形，

∴，

∴．

在和中，

∴，

∴．

又∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

17. 若抛物线与轴交于点、，与轴交于点则称为“抛物三角形”．特别地，当时，称为“正抛物线三角形”；当时，称为“倒抛物三角形”．那么当为“倒抛物三角形”时，、应分别满足条件__________．

【答案】，．

【解析】

【分析】

首先根据抛物线的性质，确定mn<0，根据题意得出c<0；图像与x轴有两个交点，即∆>0确定a>0即可．

【详解】解：由题意得，的对称轴为：x=0，所以m、n分别在y轴两侧，

即：mn<0

若

则：c<0；

∵抛物线与x轴有两个交点，

即：-4ac>0

∴a>0

故：答案为，．

【点睛】本题虽然给的定义较新颖，但是本质还是考察二次函数图像的基本性质，利用基本性质即可解题．

18. 在△中，，，，点是斜边的中点，把绕点旋转，使得点落在射线上，点落在点，那么的长是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，根据勾股定理求出BC=3，再根据点D是斜边AB的中点，得到DC=DB,故∠DCB=∠B，由旋转得∠B’=∠DCB，再根据等面积法求出CE=，由

AE=AC-CE求出AE的长，在Rt△A’CE中，求出A’E，然后在Rt△AA’E中，利用AA’=即可求解.

详解】如图，设AC与A’B’交于E点，

∵∠C=90°，AB=5，AC=4，

∴

∵点D是斜边AB的中点，

∴DC=DB,

∴∠DCB=∠B，

∵把绕点旋转，使得点落在射线上，点落在点，

∴∠B=∠B’,CA=CA’=4，AB=A’B’=5，∠ACB=∠A’CB’=90°

∴∠B’=∠DCB，

∴A’B’∥BC，

而∠ACB=90°，

∴A’B’⊥AC,

∵CE·A’B’=A’C·CB’

∴CE=

∴AE=AC-CE=4-=

在Rt△A’CE中，A’E=

在Rt△AA’E中，AA’=

故填：

【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用特殊角三角函数值进而代入求出答案．

【详解】

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

20. 如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）联结，设，，请用向量、表示向量．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB，即可证明平行四边形；

（2）由DF∥BC，FG∥AB，根据（1）中线段的关系及向量的解法即可求得答案．

【详解】（1）证明：∵，

∴；

∵，，

∴，，

∴

∴

又∵

∴四边形是平行四边形．

（2）∵，，

∴，，

∴=，

即：；

故：=．

【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

21. 如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．

【详解】连结OP，因P为弦AB的中点，

则OP⊥AB，

又，

∠PCA=∠OPA=90º，

∠PAC=∠OAP，

△PAC∽△OAP，

，

，

P为弦AB的中点，

AP=PB，

，

．

【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键．

22. 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图（1），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为，一般情况下倾角愈小，楼梯的安全程度愈高．设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由减至，如图（2），这样楼梯占用地板的长度由增加到，已知米，，，求楼梯占用地板的长度约增加了多少？（精确到0.1米）【参考数据，，，，，】

【答案】0.6米

【解析】

【分析】

如图2，在△ABC与△ABD中，利用公共边AB与正切函数得到关于BD的方程，然后求解得到BD，即的长，进而得到答案．

【详解】如图2，

∵，，

∴，

∵，，BC=，

∴，

解得BD=4.6m，

∴m，

则楼梯占用地板的长度约增加了m．

答：楼梯占用地板的长度约增加了0.6米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出的值是解题关键．

23. 已知，在菱形中，，垂足为，与相交于点．

（1）求证：；

（2）

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用菱形的对边平行且相等，即可得出，由，得出

（2）构建相似三角形，利用相似三角形的线段成比例，推出所证结果．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

又∵，

∴．

（2）如图，联结交于点

由菱形可知，，，

∵，，

∴

∴，

即

∵，

∴

即．

【点睛】本题考查了利用菱形的性质，构建成比例线段，以及构建相似三角形，进行证明线段之间的关系．

24. 如图，抛物线与坐标轴交点分别是、、，作直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴于点，设点横坐标为，求的面积与的函数关系式及的取值范围；

（3）条件同（2）若与相似，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

【分析】

（1）把点、、代入函数解析式进行求解即可；

（2）由（1）可设点，然后可得，AB=4，进而可根据三角形面积公式可求解；

（3）由题意易得与相似，，则可分①，②，然后可进行求解．

【详解】解：（1）把点、、代入抛物线得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由（1）可设，那么，AB=4，

∴；

（3）当与相似，则有，

有两种情况：

①，即，

解得，则

所以；

②，即，

解得，则，

所以．

综上所述若与相似，点或．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合及相似三角形的性质是解题的关键．

25. 已知，在中，，，，点是边上的一个动点，点在的延长线上，且，设，．

（1）当平分（如图1）时，求的值；

（2）当时，求的正弦值；

（3）求关于的函数关系式，并写出定义域．

【答案】（1）5；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）过C作CD⊥AB于D，由，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：9x2+16x2=25，求出x=1，AC=，由角平分线推出AP∥CE进而即可．

（2）在中，，，CE=，用勾股定理求，进而求出，在中，求，由，计算即可，

（3）如下图，作交于那么，则，利用，推导，可得，利用性质得即可求出．

【详解】（1）过C作CD⊥AB于D，

∵，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：

9x2+16x2=25，

∴x=1，

∴BD=3，CD=4，

∴DA=AB-BD=6-3=3，

∴AC=，

由平分，

∴，

∴，

∴AP∥CE，

则，

那么，即．

（2）如下图，中，，，

∴CE=，

∴，

，，

在中，，

所以．

（3）如下图，作交于，

由，

∴，，

即，

则，

由，，

那么，

因为，

所以，

则，

可得，

那么，即，

解得．

【点睛】本题考查角平分线，直角三角形，三角函数，勾股定理，相似三角形，函数及定义域等知识，掌握并会用解决问题是解题关键

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/501a8ff14a2fb4daa58da0116c175f0e7dd11943.html