材料力学2

解：画出杆的扭矩图如图所示。

可知最大弯矩为6kN·m。分别根据强度条件和刚度条件选择杆件直径，取其大者。

（1）根据强度条件

得：

（2）根据刚度条件

得：

由以上计算结果可知，杆所需的直径d=91mm。

4、起重吊车AB行走于CD梁上，CD梁是由两个同型号的工字钢组成。已知吊车的自重为5kN，最大起重量为10kN，钢材的容许应力[σ]=160MPa， CD梁长L=12m，根据正应力强度条件确定工字钢的截面系数（设荷载平均分配在二工字钢上）。

解：吊车及其起重物的重量由吊车的前后轮承担，各受7.5kN的力。

当吊车行驶到梁中部时，梁有最大弯矩，从附图的弯矩图可知，最大弯矩值为：

Mmax = 37.5 kN.m

当吊车行驶到梁的一端时，梁端有最大剪力，从附图的剪力图可知，最大剪力值为：

Qmax = 13.75kN

先以正应力强度选择工字钢型号。由正应力强度条件（由于梁是由两个工字钢组成）

得：

5、平行杆系列化、2、3悬吊着刚性横梁AB如图（a）所示。在横梁上作用着荷载G。如杆菌、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、I、E。试求：三根杆的轴力N1，N2，N3。

6、已知圆轴受外力偶矩m=2KN，材料的许可切应力[τ]=60MP。

（1） 试设计实心圆轴的直径D1；

（2） 若该轴改为α=d/D=0.8的空心圆轴，试设计空心圆轴的内、外径d2、D2。

7、用钢板制成的工字形截面梁其尺寸及梁上荷载如图所示，已知P=90kN，钢材的容许应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，试全面校核梁的强度(按第三强度论)。

解：（1）画出梁的剪力图和弯矩图如附图(a)和(b)所示。

（2）校核正应力强度

由弯矩图可知，最大弯矩为：

Mmax=0.4P=0.4x90=36KN.m

经计算，对Z轴的主惯性矩及抗弯截面模量分别为：

IZ=3.36x10-5m4 WZ=3x10-4m3

所发

σmax=Mmax/Wz=36x103/3x10-4=120MPa<[σ]

(3)较核剪应力强度

由剪应力图可知，最大剪应力为：

Qmax=P=90KN

经计算得：

Smax=1.772x10-4m3

所以

τmax=QmaxSmax/Izb=90x103x1.772x10-4/3.36x10-5x0.01=47.5MPa<[τ]

(4)按强度理论较核钢板结合处点a的强度

从剪力图和弯矩图可以知道，在集中力作用处，其弯矩和剪力值都很大，其值分别为：

M=0.4P=36KN.m Q=P=90KN

A点到截面边缘之间的面积对中性轴的静矩，经计算为：

Sz=1.272x10-4m3

因此a点横截面上的正应力和剪应力为：

σx=Mya/Ia=36x103x0.1/3.36x10-5=107.1MPa

τx=QSz/Izb=90x103x1.272x10-4/3.36x10-5x0.01=34.1MPa

据此可得到a点的应力情况如附图(c)所示。a点的两个主应力为：

σ’主=σx/2+[(σx/2)2+τx2]1/2=117.1MPa

σ”小=σx/2-[(σx/2)2+τx2]1/2=-9.9MPa

因此a点的三个主应力值为：

σ1=177.1MPa σ2=0 σ3=-9.9MPa

因为钢板是塑性材料，故按第三强度理论校核其强度，其相当应力为：

σxd3=σ1-σ3=127MPa<[σ]

经全成校核，满足强度条件。

8、图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径d及所用材料均相同且二杆均为大柔度杆。问：当P从零开始增大时，哪 个杆首先失稳（只考虑纸面平面内的稳定）？临界力计算公式：pcr=Π2EI/(μl)2

解：此题可计算出两杆的压力之比NAB：NBC以及两杆的临界力之比(Pcr)AB：(Pcr)BC之后，即可判断哪个杆先失稳。

以结点B为平衡对象。由平衡条件：ΣX=0；NABsin45。-NBCsin60。=0

得： NAB=1.22NBC （1）

由于二杆都是大柔度杆，故其临界力分别为：(Pcr)AB=Π2EI/(μlAB)2 ， (Pcr)BC=Π2EI/(μlBC)2

从上面两式解得：

(Pcr)AB=2(Pcr)BC （2）

由（1）、（2）两式比较可知，当BC 杆受力达到临界力(Pcr)BC时，AB杆受力还未达到其临界力(Pcr)AB，故BC杆首先失稳。

9、一结构受力如图所示，AB、AD杆均是圆截面钢杆。已知AB杆的直径d1=30mm，AD杆的直径d2=20mm，材料的容许应力[σ]=160MPa，试求结构的容许荷载[q]。

解：

如图所示，以杆件ED为平衡对象，得：

NAD=q

再以结点D为平衡对象，得：

NAB=2NAD=2q

由AB杆的强度条件：

得：

由AD杆的强度条件：

得

[q]1与[q]2中取其小者，故 [q]=50.3kN。

10、图示受力杆中，P为轴向外力，杆的抗拉（压）刚度为EA，试画出该杆的轴力图。

解：首先求出两端的约束反力。

设约束反力分别为R1和R2，如图（a）所示，据此画出轴力图，如图（b）所示。

由平衡条件：

（1）

三段r的轴向变形分别为：

故变形协调条件为：

（2）

联立方程（1）、（2）得：

最后轴力图如图（c）所示。

11、图示均为大柔度圆截面杆，试分析如何计算各杆的临界力（只考虑纸面平面内的稳定）。

答：对于大柔度杆，计算临界力的公式为：

这两个杆件，中间都有支承，因此计算它们的临界力时，都应分成两段，分别计算各段的临界力。这段的临界力值较小者，就是整个杆件的临界力。

图（a）杆件，中间的支承是铰支，因此上下两段，都可看作是两端铰支的压杆，其长度系数都是μ=1，故两段的临界力都等于：

这也是整个杆件的临界力。

图（b）所示杆件，中间的支承，对于下段而言，可以看作是可以下下移动i不能转动的约束，因此下段的长度系数μ=0.5，故下段的临界力为：

而中间支承对于上段而言，可以看作固端约束，因为它不能转动，因此上段的长度系数μ=2，故上段的临界力为：

试比较（1）、（2）式，图（b）所示杆件的临界力为：

12、两端固定的杆件如图(a)所示，横截面积A=12cm2,a=30cm。材料的应力-应变关系如图(b)所示。求F=60kN时杆件的应力。

解：杆的受力图如图(c)所示，平衡条件为：

ΣFy=0 FRA+FRB=F (1)

由图(b)可见，应力与应变曲线不是一条直线，在对应于

σ=100MPa处，产生转折，对应这一点的载荷应为：

F=σA=100x106x12x10-4=120kN

以F=120kN为分界点，外力小于120kN时，计算变形应分段

进行：0-120kN时，用E1；大于120kN用E2。

F=60kN，变形协调方程为：

由(1)、(2)式得：

FRA=40kN FRB=F/3=20kN

两部分应力分别为：

σAC= FRA/A=33.3 MPa

σBC= FRB/A=66.7 Mpa

13、如下图示宽翼缘工字梁由钢板焊接而成。若横截面上剪力为Fs=180kN，试求每单位长度焊缝所必须传递的力。

解：假设梁为一整体工字梁，则应首先算出腹板与翼缘连接处的切应力。这时：

Sz*=(20x120x160x10-9)m3=384x10-6 m3

Iz=(120x3402-110x3002)x10-12/12=146x10-6 m4

腹板厚为10mm，在腹板与翼缘连接处，长为1mm的纵截面面积为1x10mm2，这一面积上的剪力为：fs=47.3x106x10x10-6=473 N。

这一剪力就是每单位长度焊缝所须传递的力。

14、图(a)所示起重架的最大起吊重量(包括行走小车等)为W=40kN，横梁AC由两根NO.18槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力[σ]=120Mpa。试校核横梁的强度。

解：梁AC受压弯组合作用。当载荷W移至AC中点处时梁内弯矩最大，所以AC中点处横截面为危险截面。危险点在梁横截面的顶边上。AC段受力图为(b)。

根据静力学平衡条件：AC梁的约束反力为：

FRA=W FRCX=Facos30。=F cos30。

危险截面上的内力分量为：

FN=FRCX=W cos30。=40 cos30。=34.6 kN

M=(FRCYx3.5)/2=(FRA sin30。x3.5)/2=35 kN.m

危险点的最大应力：

σmax=FN/A+My/Wy=121 MPa

最大应力恰好等于许用应力，故可安全工作。

15、在图示(a)所示铰接杆系ABC中，AB和BC均为细长压杆，且截面相同，材料一样。若因在ABC平面内失稳而破坏，并规定0<θ<90。,试确定F为最大值时的θ角。

解：由平衡条件有(图(b)示)：

ΣFy=0 FNAB=Fcosθ

ΣFx=0 FNBC=Fsinθ

使F为最大值条件是杆AB、BC的内力同时达

到各自的临界载荷值。设AC间的距离为L，AB、

BC杆的临界载荷分别为：

LAB=Lcosβ LBC=Lsinβ

由上式得：tanθ=cot2β

解得：θ=arctan(cot2β)

综合

低

1、一般情况下，脆性材料比塑性材料对应力集中的敏感程度高，为什么？，并指明理由？

答案：

理由：由于一般塑性材料存在屈服阶段，当局部的最大应力达到材料的屈服极限时，若继续增加荷载，则其应力不增加，应变可继续增大，而所增加的荷载将由其余部分的材料来承受，直至整个截面上各点处的应力都达到屈服极限时，杆件才因屈服而丧失正常的工作能力。

对于由脆性材料或塑性差的材料制成的杆件，在静载作用下，局部的最大应力就可能引起材料的开裂，因而要按局部最大应力进行强度计算

2、为什么空心轴比实心轴更能发挥材料的作用？

答：圆轴扭转时，横截面上的切应力沿半径方向呈线性分布，圆心处为零，外边界边切应力达到最大，因此为了充分发挥材料的承载作用，应尽量将材料移至离中性轴较远的位置，使其承受较大的应力，因为在中性轴附近的材料几乎没有发挥作用，即空心轴比实心轴更能发挥材料的作用。

3、分析钢制压杆，当提高其材料强度时，对提高其稳定性的影响大小？

答：对于细长压杆，其临界应力与材料的弹性模量E成正比，应选用E 值较高的材料，但对于钢制的压杆，不同强度时，其材料的弹性模量大致相同，因此选用高强度钢材并不能提高压杆的稳定性。

对于中长压杆，其临界应力与材料的强度有关，因此选用高强度钢材可以在一定程度上提高压杆的稳定性。

4、、┻形截面锛铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[σt]=40MPa，压缩许用应力[σc]=160Mpa,截面对形心轴Zc的惯性矩IZC=10180cm4，h1=9.64cm，试计算梁的许可载荷F。

解：梁的弯矩如下图所示，弯矩的两个极值分别为M1=0.8F，M2=0.6F。

根据弯曲正应力的强度条件：

σmax=(Mmax Ymax)/IZC≤[σ]

由A截面的强度要求确定许可载荷：

(1)由抗拉强度要求确定得：

F≤([σt] IZC)/(0.8h1)=(40x106x10180x10-8)/(0.8x9.64x10-2)=52.8 kN

(2)由抗压强度要求确定得：

F≤([σc] IZC)/(0.8h2)=(160x106x10180x10-8)/(0.8x15.4x10-2)=132 kN

由C截面的强度要求确定许可载荷：

由抗拉强度要求确定得：

F≤([σt] IZC)/(0.6h2)=(40x106x10180x10-8)/(0.6x15.4x10-2)=44.1 kN

C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。

许用截荷为 F≤44.1 kN。

5、如图所示的蒸汽机的活塞杆AB，所受的压力F=120kN,L=180cm,横截面为圆形，直径d=7.5cm。材料为Q235钢，E=210GPa，σp=240MPa。规定nst=8，试校核活塞的稳定性()。

解：活塞杆的回转半径：

对于两端铰支杆，μ=1，所以杆的柔度：

λ=(μL)/I=1.8x4/0.075=96

因λ>λ1，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷 ，即：

Fcr=(3.142EI)/( μL)2=994 kN

工作安全因数： n=Fcr/F=994/120=8.28> nst=8

工作安全因数大于规定的安全因数，故安全

中

1、如图(a)所示，桥式起重机大梁上的小车的每个轮子对大梁的压力均为F，试问小车在什么位置时，梁内的弯矩为最大，其最大弯矩等于多少？最大弯矩的作用截面在何处？设小车轮距为d，在梁跨度为l。

解：取大梁为研究对象，作受力图，如图(b)所示，根据平衡条件有：

ΣMA=0 FRB l-F x-F(x+d)=0

FRB=F(2x+d)/l

ΣFy=0 FRA+ FRB=2F

FRA=F(2l-d-2x) /l

AC段弯矩方程为：

Mx= [F(2l-d-2x)x] /l

Mx取极值的条件是其一阶导数等于零，即：

dM/dx=0 2l-d-4x=0 x=(2l-d)/4

AC段最大弯矩在左轮的着力点为C处时。Mcmax=F(l-d)/2+Fd2/(8l)

此时BD段的最大弯矩产生在D轮着力点处，其大小为：

MDmax=F(l-d)/2-3Fd2/(8l)

将以上左右两轮着力点处Mmax相比较，可知梁在左轮着力点C处截面上弯矩最大，因为结构对称，若右轮的着力点与右支座的距离等同于前一种情况下左轮距左支座的距离，那么最大弯矩将产生在右轮着力点处。其数值和前一种情况的Mmax相等。

2、如图(a)所示，设沿刚架斜杆轴线作用有q=6kN/m的均布载荷。列出刚架AC段的剪力、轴力、弯矩的方程，并做刚架的轴力、剪力和弯矩图。L=m

解：首先根据平衡条件求约束反力。因为结构对称，故有：

FRA=FRB=qL/cos30。=24 kN

以AC杆轴线为x轴，坐标原点取在A点，均布载荷在AC斜杆上dx微段产生的轴力为： dFx=qsin30。dx

则在斜杆AC的任一横截面上的轴力为： FN=∫x0qsin30。dx=3x

考虑了支座A的反力后，轴力方程为：

FN(x)=3x-FRAsin30。=3x-12 (o≤4)

均布载荷在AC斜杆上dx微段产生的剪力为： dFs=qcos30。dx

则在斜杆AC的任一横截面上产生的剪力为： Fs=∫x0qcos30。dx=3 x

考虑支座A的反力后，剪力方程为：

Fs(x)= FRAcos30。-3 x =12-3 x (o≤x≤4)

均布载荷在AC斜杆上dx微段产生的剪力为： dFs=qcos30。dx

则在斜杆AC的任一横截面上产生的弯矩为： M=∫x0Fsdx=(3 x2 )/2

考虑支座A的反力后，弯矩方程为：

M(x)= =12x- (3 x2 )/2 (o≤x≤4)

根据轴力方程、剪力方程和弯矩方程做出AC杆的轴力图、剪力图和弯矩图。利用对称性可画出BC杆的轴力图、剪力图和弯矩图。刚架的轴力、剪力和弯矩图如下图所示。

3、两端固定的杆件如图(a)所示，横截面积A=12cm2,a=30cm。材料的应力-应变关系如图(b)所示。求F=210kN时杆件的应力。

解：杆的受力图如图(c)所示，平衡条件为：

ΣFy=0 FRA+FRB=F (1)

由图(b)可见，应力与应变曲线不是一条直线，在对应于

σ=100MPa处，产生转折，对应这一点的载荷应为：

F=σA=100x106x12x10-4=120kN

以F=120kN为分界点，外力小于120kN时，计算变形应分段

进行：0-120kN时，用E1；大于120kN用E2。

F=120kN时，变形协调方程为：

联立(1)、(2)式解得：FRA=127kN FRB=83.3kN

两部分应力分别为：

σAC= FRA/A=106 MPa

σBC= FRB/A=69.4 Mpa

4、简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁下边缘的总伸长。

解：如图所示，m—m截面的弯矩为：

M(x)=(qLx)/2 – (qx2)/2

故其下边缘的正应力为：

σ(x)=M(x)/Wz=6M(x)/bh2

=3(qLx-qx2)/bh2

而其线应变为：

ε(x)=σ(x)/E=3q(Lx-x2)/Ebh2

因此下边缘的总伸长为：

ΔL=∫L0ε(x)dx=∫L0[3q(Lx-x2)/(Ebh2)]dx=qL2/(2Ebh2)

5、梁柱结构如图所示。梁采用16号工字钢，柱为空心圆截面钢杆，其内径d=30mm，外径D=50mm。已知材料的弹性模量E=210Gpa,比例极限σp,容许应力[σ]=160Mpa，压杆的稳定安全系数k=1.8，试校核该结构的强度和稳定性。(跨度为L的简支梁在均荷q和中间集中力F作用下，最大挠度为：ymax=(5qL4)/(384EI)+(FL3)/(48EI)；16号工字钢：WZ=141cm3,IZ=1130cm4)

解：取基本静定结构如图(a)所示。梁AB在布载荷q和集中力NCD的作用下，C截面的挠度为：

yc=5q(2L)4/(384EI) – NCD(2L)3/(48EI)

柱CD在力NCD的作用下，其缩短为：

ΔL= NCDL/(EA)

据变形条件yc=ΔL，故：

因此解得：

求出柱CD的压力NCD后，作梁的弯矩图，如图(b)所示。

(1)校核梁AB的强度

由图(b)可知，最大弯矩Mmax=18.67 kN.m，故：

σmax=Mmax/WZ=18.67x103/(141x10-6)=132.4 MPa<[σ]

梁满足强度要求。

(2)校核柱CD的稳定性

空心圆截面的惯性半径：r=(I/A)0.5=(D2+d2)0.5/4

故压杆的柔度：λ=μL/r=137.2>λp=(3.142E/σp)0.5=100

属于大柔度杆，所以：

Pcr=3.142EI/(μL)2=138.37 KN

因此，Pcr/k=138.37/1.8=76.87 kNCD=98.67 kN

不满足稳定性要求。综合以上结果，此结构是不安全的。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4c3b6a28ed630b1c59eeb5d3.html