全等三角形问题中常见的种辅助线的作法（有标准答案）

全等三角形问题中常见的种辅助线的作法(有答案)

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

word/media/image2_1.png例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例word/media/image3_1.png2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

word/media/image4_1.png

应用：

1、（09崇文二模）以75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rtc2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png和等腰Rt67231db296c4e7172eb4593751fa252d.png，f526d2822044e3b6a681b843875806d3.png连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，

线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rtc2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png绕点A沿逆时针方向旋转60427dbd9027a198bf948cd6b1101d6a.png(0<7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

1、如图，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，AB=2AC，AD平分002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png，且AD=BD，求证：CD⊥AC

word/media/image14_1.png

word/media/image15_1.png2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。

word/media/image16_1.png3、如图，已知在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png内，5ed578cf4c47eb3b3c09f088dca9ddb9.png，019c52ed4791bb019627376a72167648.png，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png，2deec672eabca123e4a96c1b83d7a268.png的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

word/media/image22_1.png4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分2deec672eabca123e4a96c1b83d7a268.png，

求证： 7f7ec13822c530b1feb78eb493db6f10.png

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

word/media/image25_1.png

应用：

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为7e08e2c5d332efeeac8f83ed18a6e782.png，△EBC周长记为7985acce73b92427b64b9ac9b9115909.png.求证7985acce73b92427b64b9ac9b9115909.png＞7e08e2c5d332efeeac8f83ed18a6e782.png.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

word/media/image30_1.png

四、借助角平分线造全等

word/media/image31_1.png1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，AC=92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，求AE、BE的长.

word/media/image34_1.png

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五、旋转

例word/media/image35_1.png1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/47152c1b32d4b14e852458fb770bf78a64293a36.html