初中数学因式分解的常用方法（精华例题详解）

初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

  1. 因式分解的对象是多项式；

  2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

  3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

  4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

  5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

  6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

  7. 因式分解的一般步骤是：



  （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

写出结果．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=

= 每组之间还有公因式！

=

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式= 原式=

= =

= =

练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=

=

=

例4、分解因式：

解：原式=

=

=

注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、 4、

综合练习：（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

（11）（12）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：= 1 3

= 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

解：原式= 1 -1

= 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

条件：（1）

（2）

（3）

分解结果：=

例7、分解因式：

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：=

练习7、分解因式：（1） （2）

（3） （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：

分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：=

=

练习8、分解因式(1)(2)(3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、 例10、

1 -2y 把看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式= 解：原式=

练习9、分解因式：（1） （2）

综合练习10、（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7）（8）

（9）（10）

思考：分解因式：

五、主元法.

例11、分解因式： 5 -2

解法一：以为主元 2 -1

解：原式= (-5)+(-4)= -9

= 1 -(5y-2)

= 1 (2y-1)

= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)

解法二：以为主元 1 -1

解：原式= 1 2

= -1+2=1

= 2 (x-1)

= 5 -(x+2)

= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)

练习11、分解因式(1) (2)

(3) (4)

六、双十字相乘法。

定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。

条件：（1），，

（2），，

即：

，，

则

例12、分解因式（1）

（2）

解：（1）

应用双十字相乘法：

，，

∴原式=

（2）

应用双十字相乘法：

，，

∴原式=

练习12、分解因式（1）

（2）

七、换元法。

例13、分解因式（1）

（2）

解：（1）设2005=，则原式=

=

=

（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=

设，则

∴原式==

==

练习13、分解因式（1）

（2） （3）

例14、分解因式（1）

观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式==

设，则

∴原式==

==

==

=

（2）

解：原式==

设，则

∴原式==

==

练习14、（1）（2）

八、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式= 原式=

= =

= =

= =

= =

（2）

解：原式=

=

=

=

练习15、分解因式（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

九、待定系数法。

例16、分解因式

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

解：设=

∵=

∴=

对比左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。 （2）如果有两个因式为和，求的值。

人民广场地铁站有一家名为“漂亮女生”的饰品店，小店新开，10平方米不到的店堂里挤满了穿着时尚的女孩子。不几日，在北京东路、淮海东路也发现了“漂亮女生”的踪影，生意也十分火爆。现在上海卖饰品的小店不计其数，大家都在叫生意难做，而“漂亮女生”却用自己独特的经营方式和魅力吸引了大批的女生。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：设=

2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区。 则=

比较对应的系数可得：，解得：或

∴当时，原多项式可以分解；

当时，原式=；

3． www。oh/ov。com/teach/student/shougong/当时，原式=

月生活费 人数（频率） 百分比（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

2． www。cer。net/artide/2003082213089728。shtml。解：设=

喜欢□ 一般□ 不喜欢□ 则=

然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限，故也限制了我们一定的购买能力。因此在价格方面要做适当考虑：我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。一定会适合我们的学生朋友。∴，解得，

2、Google网站www。people。com。cn∴=21

1． www。cer。net/artide/2004021313098897。shtml。练习17、（1）分解因式（2）分解因式

（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/45b349ff0166f5335a8102d276a20029bc64636a.html