例题1、如图，OQ 平分∠AOB ，点P 为OQ 上一点，过点P 作一直线分别交OA 、OB 于点M 、N ，若OP =a ，∠AOB =α，则ONOM 11+是否为定值？【解析】方法一、相似法过点P 作PE ∥OA△NPE ∽△NMO ，∴OM PE ON NE =，即OM PE ON OE -ON =，即1=+OMPE ON OE 易证△OPE 为等腰三角形，∴OE =PE ∴OE ON OM 111=+/PE 1，22αcos OP OE =∴OP 2a cos ON OM 211=+.方法二、面积法过点P 分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为E 、FONP OMP MON S S S △△△+=，即ONsinαOM αsin OP ON αsin OP OM ⋅=⋅⋅+⋅⋅2121212121化简得αsin OP sinαON OM OM ON 21⋅=⋅+，由于sinα=2sin α21αcos 21⋅.化简完即为OP 2a cos ON OM 211=+by 万开同老师
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