初二数学勾股定理讲义经典

第一章 勾股定理

【知识点归纳】

考点一：勾股定理

（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：

①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证

例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）

A、2n B、n+1 C、n2－1 D、

（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A. B.

C. D.以上都有可能

（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A、25 B、14 C、7 D、7或25

例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24 B、36 C、48 D、60

（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5 B、25 C、7 D、15

例3：探索勾股定理的证明

有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

考点二：勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数）

（3）直角三角形的判定方法：

①如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。

③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：

例1：勾股数的应用

（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17

（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7

例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

（1）下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

（5）若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。

（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。

例3：求最大、最小角的问题

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。

（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为 。

考点三：勾股定理的应用例题：

例1：面积问题

（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A. 13 B. 26 C. 47 D. 94

（图1） （图2） （图3）

（3）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）

A. S1+ S2> S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. 以上都不是

（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

例2：求长度问题

（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

例3：最短路程问题

（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）

（图1）

（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。

（图2）

例4：航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

（2）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

（图1） （图2）

（3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

例5：网格问题

（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )

A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

（图1） （图2） （图3）

例6：图形问题

（1）如图1，求该四边形的面积

（2）（2010四川宜宾）如图2，已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ．

（图1） （图2）

（3）某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢ ＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由

.

（4）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。

【培优提高】

1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，

现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为

（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．

3．

3. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；

②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6

5．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C． 钝角三角形 D．等腰直角三角形

6.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

7.如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：

（A） （B） （C） （D）

8．（本题满分10分）

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分）

[知识拓展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：

= 。

又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，

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