2018-2019学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）．

1．（2分）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（2分）下列事件是确定事件的是（　　）

A．射击运动员只射击1次，就命中靶心

B．打开电视，正在播放新闻

C．任意一个三角形，它的内角和等于180°

D．抛一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为6

3．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2

4．（2分）下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）

A．对角线互相垂直

B．对角线所在直线是对称轴

C．对角线相等

D．对角线互相平分

5．（2分）下列运算中，正确的是（　　）

A．+＝ B．2﹣＝

C．＝× D．÷＝

6．（2分）如果把分式中x、y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

A．扩大为原来的4 倍 B．扩大为原来的2倍

C．不变 D．缩小为原来的

7．（2分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE∥BC，△ADE与四边形DBCE的面积之比为1：3，则AD：AB为（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：5

8．（2分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）

9．（2分）计算：﹣＝　 　．

10．（2分）已知：，则＝　 　．

11．（2分）计算：＝　 　．

12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝190°，则∠A＝　 　°．

13．（2分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．

14．（2分）若分式方程+1＝有增根，则a的值是　 　．

15．（2分）若函数y＝x﹣1与y＝的图象的交点坐标为（m，n），则的值为　 　．

16．（2分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球

放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　．（精确到0.1）

17．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为　 　．

18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），则a+b的值为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，计64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（5分）计算：．

20．（6分）计算：（﹣）÷．

21．（6分）解方程：﹣＝1；

22．（7分）某报社为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图三种不完整的统计图表．

请根据图表信息解答下列问题：

（1）统计表中的m＝　 　，n＝　 　，并请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“D”所对应的圆心角的度数是　 　；

（3）若该市约有120万人，请你估计其中将“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

23．（7分）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC

于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．

24．（8分）某厂为支援灾区人民，要在规定时间内加工1500顶帐篷．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少顶帐篷？

25．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE，

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝2，BF＝1，求四边形AECF的面积．

26．（8分）如图，函数y＝的图象与函数y＝﹣2x+8的图象交于点A（1，a），B（b，2）．

（1）求函数y＝的表达式；

（2）观察图象，直接写出不等式＜﹣2x+8的解集；

（3）若点P是y轴上的动点，当△ABP周长最小时，求点P的坐标．

27．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．

（1）PQ＝　 　；（用含t的代数式表示）

（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；

①点C，N，M在同一条直线上；

②点N落在BC边上；

（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．

2018-2019学年江苏省南京市溧水区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）．

1．（2分）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．（2分）下列事件是确定事件的是（　　）

A．射击运动员只射击1次，就命中靶心

B．打开电视，正在播放新闻

C．任意一个三角形，它的内角和等于180°

D．抛一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为6

【分析】确定事件就是一定发生或一定不发生的事件，根据定义即可作出判断．

【解答】解：A、射击运动员只射击1次，就命中靶心是随机事件，故选项错误；

B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故选项错误；

C、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是确定事件，故选项正确；

D、抛一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为6是随机事件，故选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了确定事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2

【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．

【解答】解：根据题意得：x+2≥0，

解得x≥﹣2．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的意义和性质．关键是熟悉概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

4．（2分）下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）

A．对角线互相垂直

B．对角线所在直线是对称轴

C．对角线相等

D．对角线互相平分

【分析】由菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形对角线所在直线是对称轴，继而求得答案．

【解答】解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，

∴对角线所在直线是对称轴．

故A，B，D正确，C错误．

故选：C．

【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．

5．（2分）下列运算中，正确的是（　　）

A．+＝ B．2﹣＝

C．＝× D．÷＝

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

【解答】解：不能合并成一项，故选项A错误，

∵，故选项B正确，

∵负数没有算术平方根，故选项C错误，

∵，故选项D错误，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

6．（2分）如果把分式中x、y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

A．扩大为原来的4 倍 B．扩大为原来的2倍

C．不变 D．缩小为原来的

【分析】由于把分式中的x与y都扩大为原来的2倍，则分式中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，于是得到分式的值扩大为原来的2倍．

【解答】解：∵分式中的x与y都扩大为原来的2倍，

∴分式中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，

∴分式的值扩大为原来的2倍．

故选：B．

【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）一个不为0的数（或式子），分式的值不变．

7．（2分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE∥BC，△ADE与四边形DBCE的面积之比为1：3，则AD：AB为（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：5

【分析】先根据已知条件求出△ADE∽△ABC，再根据面积的比等于相似比的平方解答即可．

【解答】解：∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：3，

∴S△ADE：S△ABC＝1：4，

又∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，

∴AD：AB＝1：2．

故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方．

8．（2分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6

【分析】延长AF交BC于G，证明△BFA≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝8，AF＝FG，求出GC，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：延长AF交BC于G，

在△BFA和△BFG中，

，

∴△BFA≌△BFG（ASA）

∴BG＝AB＝8，AF＝FG，

∴GC＝BC﹣BG＝6，

∵AF＝FG，AE＝EC，

∴EF＝GC＝3，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）

9．（2分）计算：﹣＝　﹣　．

【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：﹣＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

10．（2分）已知：，则＝　　．

【分析】可设x＝5k，则y＝2k，代入所给代数式求值即可．

【解答】解：设x＝5k，则y＝2k，＝＝，

故答案为．

【点评】考查比例性质的应用；把所给的2个字母用合适的一个字母代替是解决本题的突破点．

11．（2分）计算：＝　﹣1　．

【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简．

【解答】解：＝＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心．

12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝190°，则∠A＝　85　°．

【分析】根据平行四边形的性质可知∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，结合已知∠B+∠D＝190°，可求∠B度数，则∠A度数可求．

【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°．

因为∠B+∠D＝190°，

所以∠B＝95°．

所以∠A＝180°﹣95°＝85°．

故答案为85．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，邻角互补．

13．（2分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．

【分析】根据一次函数的系数k的值可知，该函数在x＜0内单调递减，再结合x1＜x2＜0，即可得出结论．

【解答】解：在反比例函数y＝中k＝2＞0，

∴该函数在x＜0内单调递减．

∵x1＜x2＜0，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是得出反比例函数在x＜0内单调递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据系数k的取值范围确定函数的单调性是关键．

14．（2分）若分式方程+1＝有增根，则a的值是　4　．

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入整式方程算出a的值即可．

【解答】解：+1＝，

方程两边同时乘以x﹣3得，1+x﹣3＝a﹣x，

∵方程有增根，

∴x﹣3＝0，解得x＝3．

∴1+3﹣3＝a﹣3，解得a＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．

15．（2分）若函数y＝x﹣1与y＝的图象的交点坐标为（m，n），则的值为　﹣　．

【分析】由两函数的交点坐标为（m，n），将x＝m，y＝n代入反比例解析式，求出mn＝2的值，代入一次函数解析式，得出n﹣m＝﹣1的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把mn及n﹣m的值代入即可求出值．

【解答】﹣解：∵函数y＝x﹣1与y＝的图象的交点坐标为（m，n），

∴将x＝m，y＝n代入反比例解析式得：n＝，即mn＝2，

代入一次函数解析式得：n＝m﹣1，即n﹣m＝﹣1，

∴＝＝＝﹣，

故答案为﹣．

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x＝m，y＝n代入两函数解析式得出关于m与n的关系式是解本题的关键．

16．（2分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球

放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　．（精确到0.1）

【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．

【解答】解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；

故答案为：0.6；

【点评】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．

17．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为　　．

【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．

【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，

∴AB＝AH+BH＝3，

∵l1∥l2∥l3，

∴＝；

故答案为：．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．

18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），则a+b的值为　12　．

【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可；

【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O′．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，

∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），

∴，，

∴a＝5，b＝7，

∴a+b＝12，

故答案为：12

【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用此时构建方程解决问题．

三、解答题（本大题共9小题，计64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（5分）计算：．

【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果．

【解答】解：原式＝2﹣＝12﹣＝11．

【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（6分）计算：（﹣）÷．

【分析】先将括号内分式通分，再计算括号内分式的减法，最后除法转化为乘法后约分即可得．

【解答】解：

＝

＝

＝．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21．（6分）解方程：﹣＝1；

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x2+4x+4﹣4＝x2﹣4，

解得：x＝﹣1，

经检验x＝﹣1是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

22．（7分）某报社为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图三种不完整的统计图表．

请根据图表信息解答下列问题：

（1）统计表中的m＝　400　，n＝　100　，并请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“D”所对应的圆心角的度数是　36°　；

（3）若该市约有120万人，请你估计其中将“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

【分析】（1）由等级C的人数除以占的百分比，得出调查总人数即可，进而确定出等级B与等级D的人数，进而求出m与n的值；

（2）由D占的百分比，乘以360即可得到结果；

（3）根据题意列式计算即可得到结论．

【解答】解：（1）m＝140÷14%×40%＝400；n＝140÷14%﹣280﹣400﹣140﹣80＝100；

条形统计图如下：

故答案为：400，100；

（2）扇形统计图中“D”所对应的圆心角的度数是×360°＝36°；

故答案为：36°；

（3）×120＝81.6万人，

答：其中将“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数81.6万人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．（7分）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC

于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．

【分析】（1）由垂直得出∠AFE＝∠AGC＝90°，则∠AEF+∠EAF＝90°，∠GAC+∠ACG＝90°，由∠EAF＝∠GAC得出∠AEF＝∠ACG，即可得出结论；

（2）由△ADE∽△ABC得出＝，求出AB＝BE+AE＝7，则＝，求出AC＝，则CD＝AC﹣AD＝．

【解答】（1）证明：AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE＝∠AGC＝90°，

∴∠AEF+∠EAF＝90°，∠GAC+∠ACG＝90°，

∵∠EAF＝∠GAC，

∴∠AEF＝∠ACG，

∵∠EAD＝∠CAB，

∴△ADE∽△ABC；

（2）解：∵△ADE∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝BE＝4，AE＝3，

∴AB＝BE+AE＝4+3＝7，

∴＝，

解得：AC＝，

∴CD＝AC﹣AD＝﹣4＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

24．（8分）某厂为支援灾区人民，要在规定时间内加工1500顶帐篷．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少顶帐篷？

【分析】设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，根据原来的时间比实际多4天建立方程求出其解即可．

【解答】解：设原来每天加工x顶帐篷，根据题意得

＝++4

解得x＝100．

经检验：x＝100是原方程的解．

答：原来每天加工100顶帐篷．

【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据生产过程中前后的时间关系建立方程是关键．

25．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE，

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝2，BF＝1，求四边形AECF的面积．

【分析】（1）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；

（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式，可得答案．

【解答】（1）证明：正方形ABCD中，对角线BD，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

∠ABF＝∠CBF＝∠CDE＝∠ADE＝45°．

∵BF＝DE，

∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．

AF＝CF＝CE＝AE

∴四边形AECF是菱形；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得

BD＝，

AC＝BD＝2，

EF＝BD﹣BF﹣DE＝2﹣1﹣1，

四边形AECF的面积＝AC•EF÷2

＝2

＝4﹣2．

【点评】本题考查了正方形的性质，（1）先证明四个三角形全等，再证明四边相等的四边形是菱形；（2）先求出菱形的对角线的长，再求出菱形的面积．

26．（8分）如图，函数y＝的图象与函数y＝﹣2x+8的图象交于点A（1，a），B（b，2）．

（1）求函数y＝的表达式；

（2）观察图象，直接写出不等式＜﹣2x+8的解集；

（3）若点P是y轴上的动点，当△ABP周长最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分别代入y＝﹣2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A点坐标代入y＝中得到k的值，从而得到反比例函数解析式；

（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；

（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（﹣1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，a），B（b，2）分别代入y＝﹣2x+8得a＝﹣2+8＝6，

﹣2b+8＝2，解得b＝3，

∴A（1，6），B（3，2）；

把A（1，6）代入y＝得k＝1×6＝6，

∴反比例函数解析式为y＝；

（2）不等式＜﹣2x+8的解集为x＜0或1＜x＜3；

（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（﹣1，6），

∵PA+PB＝PA′+PB＝A′B，

∴此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，

设直线A′B的解析式为y＝mx+n，

把A′（﹣1，6），B（3，2）代入得，解得，

∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+5，

∴点P的坐标为（0，5）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

27．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．

（1）PQ＝　4t　；（用含t的代数式表示）

（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；

①点C，N，M在同一条直线上；

②点N落在BC边上；

（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．

【分析】（1）先求出AB＝50，sinA＝＝，cosA＝＝，进而求出AQ＝3t，PQ＝4t，即可得出结论；

（2）先判断出PN＝QM＝PQ＝4t，

①求出CD＝24，AD＝18，进而判断出AQ+QM＝AD＝18，建立方程即可得出结论；

②判断出∠APQ＝∠PNC，进而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出结论；

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝50，

∴sinA＝＝，cosA＝＝

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP＝90°，

由运动知，AP＝5t，

在Rt△AQP中，AQ＝AP•cosA＝×5＝3t，PQ＝AP•sinA＝4t，

故答案为：4t；

（2）由（1）知，AQ＝3t，PQ＝4t，

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN＝QM＝PQ＝4t，

①如图1，

由（1）知，AB＝50，

过点C作CD⊥AB于D，

∴AB•CD＝AC•BC，

∴CD＝24，

在Rt△ACD中，AD＝＝18，

∵点C，N，M在同一条直线上，

∴点M落在点D，

∴AQ+QM＝AD＝18，

由（1）知，QM＝PQ＝4t，AQ＝3t，

∴4t+3t＝18，

∴t＝；

②点N落在BC上时，∠PCN＝∠PCB＝90°＝∠AQP，

∴∠CPN+∠CNP＝90°，

∵∠QPN＝90°

∴∠CPN+∠APQ＝90°，

∴∠APQ＝∠PNC，

∵∠AQP＝∠PCN，

∴△AQP∽△PCN，

∴，

∴，

∴t＝；

（3）当PC＝PN时，30﹣5t＝4t，

∴t＝，

当PC＝NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D，

∴PF＝PN＝2t，

∴QD＝2t，

根据勾股定理得，AQ＝＝3t，

∴AD＝AQ+QD＝5t＝18，

∴t＝，

当PN＝NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G，

∴PG＝PC＝，

易知，△PNG∽△APQ，

∴，

∴

∴t＝，

即：当△PCN是等腰三角形时，t＝秒或秒或秒．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

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日期：2020/1/1 15:35:56；用户：数学；邮箱：jlzx01@qq.com；学号：20938019

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