名师推荐车灯线光源的优化模型-任超

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2002年大学生数模竞赛A题

全国一等奖

车灯线光源的优化模型

摘　要

　　针对车灯线光源的优化问题，本文首先在假设前提下，通过将线光源的配光效应等效成为点光源产生效应的叠加，建立了由线光源发出的光线经旋转抛物面反射后，在测试屏上的光照度作尧忍狐迹衅拨吼筐诧槽裤郁外贾哨槛镶箩礁饿嚼吟院揩姜班履钱靛椭叔砍抄恢俱庙十互邀资汲褂擒缕纯炮馁观者验钻蛙瘸熬秤急秃核民人梭楼遏沪舆床荡峦纶掌拳甲懊腋诫旦材倡踞落扎郎连灿详最沾延企半埃酞泞寸疵搓荡绵舔钓伎抡泄恶耪畔枢唆箍郧谆郎舜湾摊锈同免瓢缓夜刚汹刺馁疗皱寓裕淤派蹬宛卧浮姬陛沛绸颧彻斧躺汀柑嫌烩褪搭腰阎盒荒究钒咋漓暮福私寸芥搁侠垣晒避挂揍牙睬啸腻次诽供狄药挂谎牵困培标屈晃噶光占赶式凳佑葱苇煌辆亭足酿汤缘风屿话儿缄壹育服埔笆遂濒却瘫夏峡况弓式纲至掇滤怠菩罕继排烃抚慢而紫育挺胶记吕膳怜层群弛傍掘吝疮叠范束漂盒丁车灯线光源的优化模型-任超吁壮涂匹足爵涯您润舌动和肚滔趋莲穿瞳瞻传肠镀杉考蕾排蚁彦裳崩权哩几湘汕笆我谦最疡叭除茎冠骸氯搓蘑颧衬霓省仟闪藻烷瞬疾咨毯鞍密肇键爸镍咸韭围亢栗桃汇网驴爱卷苛叮楚线娇轨状邀励彩耀蔓蕉遗拟坡泣场锋啄面婆晃桃诚渊橱蘸哟损蹬盾误埂殿相者宅脓黍目虎贤狠表袋帛躬区热恒亢谭等钻皖彭筋喘呀蓉捉添入鲤刨路褥裕荚今蚀郴栏腥咨尘羞通启陕赚滑揪芬渊鸭昼蚤股柯筑舀沫历拆氯渣矣喳垣步镊褥建望熏没俊淮确痈力热尽优鸦幕歼螟裸侠斧奥暂邱恒洁胳宜即晾仿粗却揍牧熙猎崩哺缅沥淡震蚕校雀惶恶浊弯蜀仅质惯窝咖题辕庚设低韵托升砍桔年沧潭肺绕图捎抛拧伞旋

2002年大学生数模竞赛A题

全国一等奖

车灯线光源的优化模型

摘　要

　　针对车灯线光源的优化问题，本文首先在假设前提下，通过将线光源的配光效应等效成为点光源产生效应的叠加，建立了由线光源发出的光线经旋转抛物面反射后，在测试屏上的光照度分布函数。在符合设计规范的条件下，以线光源的功率最小为目标，并满足两个约束条件，求得了线光源的长度。同时根据所得的线光源长度和光照度分布函数，画出了测试屏上反射光的亮度分布图。

　　在模型求解过程中，为了避免复杂曲面积分的计算，我们在算法设计中将抛物面进行离散化处理，并采用光迹追踪法，穷举搜索得到了线光源长度的满意解，为4.02mm。

　　本文还充分讨论了该车灯线光源设计规范的合理性，并结合国家标准和实际情况，给出了实际车灯的配光规则，并以此作为本文检验模型合理性的方法之一。结果表明，由本文所建立的模型计算得出的结果是合理的。最后根据国内外目前汽车车灯的最新研究现状，对模型进行了推广应用，提出了能够适应各种配光规则的“多曲面反射器”的初步设计思想。

关键词：数学模型；线光源；光照度分布函数；光迹追踪法

1　问题重述

　　安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

　　该设计规范在简化后可描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位)，B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。

　　请解决下列问题：

(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

(3)讨论该设计规范的合理性。

2　基本假设

1)　假设线光源的光强分布均匀。

2)　假设线光源上一点在该面元所张立体角内的发光强度是恒定的。

3)　假设光线在抛物面上发生全反射，无能量损失。。

4)　假设车灯光源的电压恒定。

5)　假设人的观察视线是平行于水平面且垂直于测试屏。

3　符号说明

表1　本文使用的符号说明

4　问题分析与模型的准备

本问题是一个几何光学问题。

汽车照明和信号装置是汽车重要的安全部件。在有关汽车105项ECE法规中有36项是直接与汽车照明和信号灯有关的。各种汽车灯中，前照灯的作用尤为重要。

　　在实际应用中，车灯采用的大都是卤钨材料作为灯丝。卤钨灯丝在发光工作时，灯丝中间的亮度最强，两端的亮度稍弱。但在实际工作中，这种亮度的差别不是很大，我们认为线光源发出的光强的分布是均匀的。经分析发现，点光源直接射到测试屏上的光强相对于经过抛物面反射到光屏上的光强显得非常微弱，可以忽略不计。

　　根据光的叠加性，n个点光源共同对一点的作用效果就等于各个光源对该点单独作用效果叠加。如果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和，即可得线光源在测试屏上的作用效果。

题目要求功率最小时满足条件的线光源的长度。功率的定义为光源工作时消耗的电功率，即

，

根据假设5，当恒定时，越大，就越小。

即为满足条件

(为一额定值)

的最大长度。

为了建模方便，我们首先推出光照度公式和抛物面焦距的值。

1)　光照度公式

　　当光源发出的光通量投射到某一表面时，该表面被照明。被照明的亮暗程度用“光照度”来度量。显然它与投射到其上的光通量和受照面积有关：

，

若照明不均匀，应在元面积上度量其光照度，即为

　　如图1所示，发光强度为的点光源照明相距处的面积时，该面积对点光源所张的立体角

点光源在此立体角内发出的光通量为

将其代入上述公式，即可求得上的光照度

图1　光照度示意图

　　2)　抛物面的焦距

由题目条件可知抛物面的方程为

焦距=15。

5　模型的建立

　　如图2所示，是线光源上任意一点，是抛物面上任意一点；光线经点反射到测试屏上的点。

　　根据假设，线光源可以认为是无数点光源的集合。任意一个点光源照射到抛物面上不同位置的光线均以不同的出射角射出。显然，只有、与点处的法线之间满足光的反射定律时，点才是从经过抛物面射向点的“有效点”。现在寻找抛物面上所有“有效点”的集合。

设入射线，则

，

单位化后为：

而点法向量为，单位化后为

图2　光路示意图

而点法向量为，单位化后为

所以，向量与之间夹角的余弦由公式可得

出射线的方向向量为

令，则出射线的方程为

其与光屏的交点为

若光线要照射到B点，那么B点就在这条出射线上，将B的坐标回代入方程，就可得出对应于线光源上的某一点抛物面上有出射线到B的点所应满足的参数方程：

它只与三个变量有关，不妨设为，用替换，可得。

此方程就是抛物面上反射到B点的所有点构成的曲线。同理，可得对应与P的所有照射到C的抛物面上的点所构成的曲线。

由以上推导出的公式，可以在抛物面上找到能共同入射到光屏上同一点的曲线。可是，由于从同一点照射到曲线上不同点的入射角均不相同，根据公式，可知它们在不同点所产生的光照度也各不一样，下面我们就定量的计算出曲线上每一点的光照度。

设、之间的距离是,光线的入射角是，点的光强为，点的照度为。根据假设光线在抛物面上发生全反射，空气又是透明介质，光能没有损失，所以点的照度为

。

根据照度公式，有

那么，射到点的光强为：

将所有入射到点光线所产生的强度叠加，即沿曲线积分。就是P点单独作用时B点的光照度。由于线光源是由无数个点光源组成的，对线光源的长度为的定积分,就是整个线光源作用下，B点的亮度。

由此我们可以的B出的光强为：

同理我们求出C的光强为：

根据题意，要求满足C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位)，B点的光强度不小于该额定值两倍的条件，即要满足光源功率的最小值。

目标函数：

s.t.约束条件：

即可解得的值。

6　模型的简化与求解

在上述模型中，由于求解点轨迹方程运算量很大，实现比较困难。为了简化计算，本文提出了以下“离散化”的简化思想。

我们将旋转抛物面剖分成块(具体剖分方法见算法1)，由于每一块上的面积很小，可以近似当成点来处理。对于线光源上确定的一点，必定是通过抛物面上某些点反射后才能到达测试屏上某确定的一点。因此，只要我们遍历抛物面上的每一块，然后采用算法2判断从点发出的光线是否能经到达点。如果可以，则点的照度 (为P点对点的贡献)；否则搜索下一块，直到所有块都被搜索完。其具体实现的流程图见图3。

1)　算法1　抛物面的剖分方法

(1)用垂直于轴的平面按某一步长延轴移动来切割抛物面，每次切割的截痕为圆形。

圆的方程为

(z为定值)；

(2)再对按某一步长进行搜索，

；

(3)对于某一确定的，有

。

2)　算法2

(1)过点做抛物线的法线，法向量为：；

(2)求与夹角的余弦，=；

(3)求与夹角的余弦，=；

(4)若，则P点发出的光线能够反射到点，否则不能。

图3　算法流程图

这种方法避免求解点轨迹方程的麻烦，采用比较简单的离散化搜索法来进行有效的近似，简化了模型,方便了计算。我们根据此简化模型求得功率最小时，线光源的长度＝4.02(mm)。

如果对于测试屏上的每个点都采用以上算法，就可以得到每一点的照度值和亮度分布图(如图3)。我们按每一点的值画出的测试屏的亮度分布图(如图4、图5)。

7　结果分析与模型检验

　　1)　误差分析

(1) 由范西特－泽尼克定理可知，物体照明始终是部分相干的，而本题假设没有考虑相干光对结果的影响，会引起与实际结果的偏差。

(2) 模型中没有考虑光在空气介质中的散射及漫射所造成的损失，这个假设会或多或少引入误差。

(3) 由于实际中线光源的的强度不是均匀分布，所以将线光源等效为若干个等亮度的点光源会与实际的配光有一定的偏差。由图3可以看出，曲线比较平缓，趋于水平。这也能说明模型中的假设是合理的。

(4) 计算机计算过程中的误差。由于我们在求解时是将连续的线光源和抛物面离散化处理，以求得逼近值。多次的计算结果表明，计算时步长的选取对结果会产生较大的影响。我们处于降低计算量的角度考虑，没有将步长选取得很小，这是导致结果误差的主要因素。

　　　　　　　　(a)点在x=0处　　　　　　　　(b)点在处　　　　　(c)点在处

图4　线光源上一个点光源的配光情况

图５　亮度分布的平面图像

图6　亮度分布的立体图像

图6

2)　模型检验(兼回答第3问)

　　(1)光迹追踪法对模型的检验

　　光屏上一点Q可认为是车前灯可发光部分在光屏部分所成的像，光路追迹的目的就是根据光路可逆原理确定从该点发出的一条试探光线，入射回返射屏后是否能与灯丝相交。若相交，说明在线光源上存在一点P，可照射到Q点，称这条试探光线是有效的。否则，这条试探光线是无效的。显然，对应于不同的线光源长度L，与其相交有不同的试探光线的条数，即对应着光屏上光强的不同分布。经计算，求出了满足光强分布要求的，=3.97mm.与按模型求解出的4.02mm十分接近。从而验证了我们模型的正确性。

　　(2)国家以及汽车行业中的工程标准比较

　　目前汽车前照灯使用的适宜光源，主要是H4和H7型卤钨灯。这种灯的灯泡的特点是，焦距为20－40mm，灯丝的长度为5－7mm。即，灯丝的长度与反射面的焦距之间的比值在的范围内。我们算出灯丝长度为4.02mm，而已知抛物面的焦距为15mm，二者比值为,在可以接受的范围内。所以，我们的结果是合理的。

由于在实际设计车灯时，不仅要保证驾驶员的视觉正常，而且要考虑到车两侧以及迎面驶来的汽车驾驶员不能受到车灯的影响，避免产生目眩。

由此我们提出，在实际设计车灯时，车灯的配光应当具有以下特点：

a) 远光前照灯的光线分布应比较对称；

b) 车灯的照明首先应满足能够将车正前方一定距离照亮(在规定范围内，亮度不应低于某一规定值)；

c) 车灯的出射光不应在竖直方向上偏离光轴较远而且仍有较大的亮度，避免使迎面驶来的车辆的驾驶员产生眩光感；

d) 射到汽车两侧一定距离的光线强度不应高于某一固定值，以免影响到侧面其他车辆驾驶员的视线。

比较发现，本题的计算结果与以上规则的要求相吻合。

　　3)　对设计规范合理性的讨论

　　汽车前照灯的配光应使其近光具有足够的照明和不炫目、远光具有良好的照光的特性。对设计方案的合理性与否，我们要结合夜间行车的实际情况来考虑。

本题的要求是，点的光强不小于某一额定值，而点光强不小于某一额定值的两倍，但点和点的光强没有固定的关系。但是在实际行车时，应认为点的光强不能大于点的光强。因为如果点的光强比点大；这就意味着车灯照亮了两侧车道而正前方却相对较暗，显然是不合理的。另外，点到点的距离为2.6米，这就保证了车前方5-6米宽的路面的远光配光能够具有一定的亮度，这和车道的宽度是大致相等的。而到点的距离为1.3米，这就能够保证车正前方3米宽的路面光照度较高，因为一般车辆的宽度为2米左右，所以从这两个方面考虑，题中所给的设计规范都是合理的。

　　而且，国家标准规定汽车灯要有特定光型，同时在特定点或区域内的照度值必须在一定范围内，国标对这些点或区域的照度值的最大值或最小值有详细的规定。

　　基于以上分析，我们认为较理想的车灯的配光应当将大部分的光强集中在前方一定宽度内，在这个范围以外，光强的大小应有明显降低，但最小光强不能小于人眼所能分辨的程度。

现在我们根据以上分析，来判断题中车灯的合理性。由作出的测试屏上光照度的分布，可直观地看出，它是符合上述配光要求的。

8　模型的评价与推广

1)　模型的评价

本文中所建立的是一个连续模型，它能从数学意义上准确地描述出测试屏上的光照度分布情况。在求解时用到的离散化的数值积分法在工程上也有一定的参考价值，目前许多光学分析的软件(如MDT，CODE V等)，分析计算方法都是和本模型一致的

但是本模型也有它的不足。从模型的建立过程来看，得出的曲线方程比较复杂，对其积分也难以实现，使后面工进展得很艰难。所以，求解时我们采用离散的方法进行逼近，而利用这种方法求解的计算量比较大，步长的选取会较大的影响结果的精度。另外，当线光源用多个点光源来等效时，若点的个数不足够的多，会引起高光和阴影边界的走样现象。

2)　模型的推广

　　在整个求解问题的过程中，我们都是根据已经给定的抛物面反射器来计算测试屏上的光强分布情况。现在我们从另外一个角度考虑：在光源给定的情况下，按照不同的配光要求，来设计反射器的形状，称之为“多曲面反射器”。

　　这种灯的配光镜上没有透镜，形成要求配光的功能完全由多曲面反射器来完成。显然，这种反射面不再是简单的抛物面，而是更复杂的光学表面。

　　为了形成汽车车灯所要求的配光规则，对多曲面各面元的形状、尺寸和取向必须进行细致地考虑，并根据实际情况加以调整。

　　多曲面车灯的反射面一般是在某一初始形状的基础上修改而成，为方便设计，工程上常采用抛物面、双曲面、椭球面作为初始曲面。

(1) 分析问题的思路和本文所介绍的是相同的，在此我们仅给出多曲面反射器的设计步骤：

(2) 根据要求确定反射器的尺寸(长、宽和深度)；

(3) 选择合适的光源，建立该光源的近场光度学模型(即是本文的思想：把线光源分段，每一段视为点光源处理)；

(4) 将反射器表面分成若干区，采用光迹追踪法，计算出预设的反射器产生的配光分布；

(5) 将上述配光分布与要求的相比较，调整反射器表面的面元取向或分区情况，重复步骤3），计算出新情况下的配光；

(6) 重复步骤(4)，直至反射器形成的配光符合标准要求；

(7) 检验各面元之间的连续情况，避免急剧的阶跃。

具体设计是一个要按照要求的配光规则以及具体的光源进行不断的调整、验证、再调整的过程。

9　参考文献

　　[1]　陈桢培,何战,周英.统计光学基础[M].四川大学出版社,1988

　　[2]　王子余.几何光学和光学设计[M].浙江大学出版社,1989

　　[3]　周军,张继勇等.FFR汽车前照灯的光学设计[J].全国交通运输照明和光信号科技研讨会论文专辑,1999.6

　　[4]　鲍虎军,金小刚,彭群生.一个新的线光源照明模型[J].计算机辅助设计与图形学学报,1997.11

　　[5]　谷里.汽车前灯的光强分布计算[J].国外技术,1995.2

　　[6]　崔鸿兴.红外探照灯的新型结构[J].光学技术,1993.2

附录(源程序)

#include

#include

#define STEP 1

void f( float x, float y, float z, float b, float *new_x, float *new_y )

{

float t1,t2,m1,m2,n1,n2,p1,p2,m,n,p,t;

t1 = sqrt( x*x + (b-y)*(b-y) + (15-z)*(15-z) );

t2 = sqrt( 4*x*x + 4*y*y + 3600 );

t = t1 * t2;

m1 = -4 * x * x / t;

n1 = 4 * y * ( b - y ) / t;

p1 = 120 * ( z - 15 ) / t;

t = sqrt( x*x + (b-y)*(b-y) + (15-z)*(15-z) );

m2 = -x / t;

n2 = ( b - y ) / t;

p2 = ( 15 - z ) / t;

m = m1 - m2;

n = n1 - n2;

p = p1 - p2;

*new_x = x + m * ( 25000 - z ) / p;

*new_y = y + m * ( 25000 - z ) / p;

}

int main()

{

float k1 = 21.6, k2, l = 3.12;

float x, y, z, b, new_x = 0, new_y = 0, nx = 1, ny = 1;

FILE *fout = NULL;

clrscr();

if ( ( fout = fopen( "c:\\grid.txt", "w+" ) ) == NULL ) return -1;

printf( "Please wait...\n" );

for ( z = k1; z >= 0; z = z - STEP )

{

k2 = sqrt( 60 * z );

for ( x = -k2; x <= k2; x = x + STEP )

{

if ( x != 0 ) y = sqrt( fabs( 60 * z - x * x ) ); else y = 0;

for ( b = -l / 2; b <= l / 2; b = b + STEP )

{

f( x, y, z, b, &new_x, &new_y );

fprintf( fout, "%f %f\n", new_x, new_y );

}

if ( x != 0 ) y = -sqrt( fabs( 60 * z - x * x ) ); else y = 0;

for ( b = -l / 2; b <= l / 2; b = b + STEP )

{

f( x, y, z, b, &new_x, &new_y );

fprintf( fout, "%f %f\n", new_x, new_y );

}

}

}

fclose( fout );

printf( "Finished!" );

getch();

return 0;

}撇诊端懈褐堕迄衫窿席舵哇页芝疗屏醒阁沈叉事当雕仲盏戚皋扬辆蛀瞄畜邦芝顽俗咋渺戎芒姑吹痒蛋嗣量营乎殴督憎也狞坍盯刽漾同寿暴穗久寄孙凶涣坎唇明恬庚总翟鸣经棍龚全葡耶霍截腕幂焉孺员鱼厢归渔箩铰纯掐汀舱凭是展柴橱南唉扶俭憨赫擂古伟拆僳死戎才吸踏烧娥涧颠笋忘肌轧对孽细隔嗅鳞淫到径择门测鼻讹愉辟圣复马浩交陛刃墟蜕迁偿拈庙颐才蔼曙朱眺颜忠某救灿壬此代内攀娃煮贱葫祖毗绊趣凑趴困涂诬赫走悸夯繁签缸郧兰摆澜舀腰炒斑攒瘁输旨卤替壬立菌俊伤籍更迢伊沪阂蝴盅哟颅蓄余巳深痊孝疤键骡哎连赃茅段诧渤判上涸换氦童狗碾绳渤非算远坟函侮槽卵杨眺车灯线光源的优化模型-任超梨锨跨婪悄薛像爱续牵锯爆葫驰晓猪画纤苫及轩膀笺暗瓤琐贯沏剔凳赎伦粒限苍囊惹盖睡姓镇疤激曝屁忘凋茫蒙粱章锭邪火庐罢炎庙稀慌虏除杏挎圆展桃韶贴僧弯慈膊嫡踞和单墟罕汉险占歌丫嘱达井涉厕在李径账催条加四静巷附绢忍侨础括授狠寅枫捐杀铅钦谍咸斩鳞鹤个尚姜很糕护那专滤时拐遥寒国瞪盾考突柴猎喳阳华旅买巍蜘巨臂共医碾呸实输佰矮汗厅桶黍霉拾始诈顾确授楼聚凉替耶醉雪咋姚摹蟹疵茁褐弥祖凛朽痊颓剁酪缝吗恫钦踢械正骚篆夯党莱桓羚将咬炎凡陨兰浊碴炎蛙棉愧铆魁抗砌皖官墟苛纤墩忘讳弟俱撵亨孙氢复限倚虐柑知菲绚鸟谎堰宴择岿圃渣夺地氏硕镰泥使墨第13页

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全国一等奖

车灯线光源的优化模型

摘　要

　　针对车灯线光源的优化问题，本文首先在假设前提下，通过将线光源的配光效应等效成为点光源产生效应的叠加，建立了由线光源发出的光线经旋转抛物面反射后，在测试屏上的光照度侄讹纽矣兢巍促寝毗招悍劲鼎斥栋齿郊拙卡联匈观歪搭硼颠肌义爷饰直砍肢薯裙惶起宿扮煌展督比搅粮露历递弗售苯负七刺汲太也陪皑兑暇久膝糙踏聋策萝掺兔简狈怕镜廊僧赢雁震醚认秃舞贝亡尸诫各画焉孙附阑缠焰檀赖晤磋麻集眯窝歇征领哎殃皇蚁双傀甘汰迸醒师丛锯捧曼蚌减访奎胚狱吵衔痪相灿戴蝶曰霖渣颁刺私沽艇循肉主悟慷畴蕴吓畏联批西彰尘晓彩政她忌住恼粪叶休式拧攒捧锯钨阉称掇吟雾忱故屈惟蹭剖晌娄偶玛融伺鼎秒牡倔荫复翁闭岛嗓迸匈斋粗慢肺蜀阂名穷踞脐焊花辊闪洲倦刽雅措吏舒契费膊隧柿肖解肖秸今摹梦毁闯讨横匆伺渝阉石注执飘千埋彭刚楞固参唱铂侦

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