初一几何题

2018年08月03日初中数学组卷几何专练

一．选择题（共12小题）

1．下列说法中，正确的个数是（　　）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（　　）

A．36° B．42° C．45° D．48°

3．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是（　　）

A．正方形2块，正三角形2块 B．正方形2块，正三角形3块

C．正方形1块，正三角形2块 D．正方形2块，正三角形1块

4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）度．

A．450 B．540 C．630 D．720

5．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（　　）

A．α B． C．90﹣α D．90﹣α

7．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（　　）

A．40° B．36° C．20° D．18°

8．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（　　）

A．30° B．40° C．45° D．70°

9．若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

10．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

11．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

二．填空题（共8小题）

13．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　 　．

14．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为　 　．

15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　 　．

16．一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形是　 　边形．

17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是　 　．

18．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为　 　°．

19．如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是　 　．

20．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影=　 　cm2．

三．解答题（共5小题）

21．如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．

（1）求∠B的度数．

（2）求∠C的度数．

22．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　；

（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？

（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．

23．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE交于点F，∠C=30°，∠BFD=70°，求∠BAC的度数．

24．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．

（Ⅰ）问题引入：

如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC=　 　度；若∠A=α，则∠BOC=　 　（用含α的代数式表示）；

（Ⅱ）类比探究：

如图②，在△ABC中，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α．

试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．

（Ⅲ）知识拓展：

如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．

25．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．

（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．

（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．

2018年08月03日panda的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列说法中，正确的个数是（　　）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；

三角形的三条角平分线都在三角形内部；

三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．

【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；

②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；

③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；

④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．

所以正确的有1个．

故选：A．

【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．

2．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（　　）

A．36° B．42° C．45° D．48°

【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．

【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，

180°﹣120°=60°，

正五边形的每一个内角=（5﹣2）•180°÷5=108°，

∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°=48°．

故选：D．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的性质，仔细观察图形并作出辅助线是解题的关键，难度中等．

3．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是（　　）

A．正方形2块，正三角形2块 B．正方形2块，正三角形3块

C．正方形1块，正三角形2块 D．正方形2块，正三角形1块

【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．

【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，

∵3×60°+2×90°=360°，

∴需要正方形2块，正三角形3块．

故选：B．

【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）度．

A．450 B．540 C．630 D．720

【分析】根据题意，画出图象，由图可知∠3+∠4=∠8+∠9，因为五边形内角和为540°，从而得出答案．

【解答】解：如图

∵∠3+∠4=∠8+∠9，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，

=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7，

=五边形的内角和=540°，

故选：B．

【点评】本题考查了五边形内角和，同时需要考生认真通过图形获取信息，通过连线构造五边形从而得出结论．

5．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．

【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得

（n﹣2）180°=2340°，

解得n=15，

原多边形是15﹣1=14，

故选：B．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（　　）

A．α B． C．90﹣α D．90﹣α

【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，依据BC平分∠DBE，AC平分∠BAD，即可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数．

【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，

∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，

∴∠DBC=∠CBE=64°，

∴BC平分∠DBE，

∴CE=CF，

又∵AC平分∠BAD，

∴CE=CG，

∴CF=CG，

又∵CG⊥AD，CF⊥DB，

∴CD平分∠BDG，

∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，

∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB=（∠DBE﹣∠DAB）=∠ADB，

∴∠ADB=2∠ACB=2α°，

∴∠BDG=180°﹣2α°，

∴∠BDC=∠BDG=90°﹣α°，

故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形的外角与内角、三角形外角的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作垂线，进而得到CD平分∠BDG．

7．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（　　）

A．40° B．36° C．20° D．18°

【分析】先根据∠ABC=40°，∠ACD=76°，得出∠ACD﹣∠ABC=36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC=18°，即∠E=∠ECD﹣∠EBC=18°．

【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，

∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，

∴∠ACD﹣∠ABC=36°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，

∵∠ECD是△BCE的一个外角，

∴∠ECD=∠EBC+∠E，

∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．

故选：D．

【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．

8．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（　　）

A．30° B．40° C．45° D．70°

【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠ECF，根据平行线的性质得到∠F=∠ECF，根据三角形的外角的性质列式计算即可．

【解答】解：∵CE平分∠ACD，

∴∠1=∠ECF，

∵FG∥CE，

∴∠F=∠ECF，

∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，

∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，

∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，

∴∠2+∠3=∠1，

又∵∠1=70°，∠2=30°，

∴∠3=70°﹣30°=40°，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

9．若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

【分析】设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．

【解答】解：设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．

根据三角形的内角和定理，得5k+2k+3k=180°，

解得k=18°．

∴最大的内角为90°．

∴该三角形是直角三角形．

故选：C．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形叫直角三角形．

10．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【分析】求出∠B=∠C即可，利用角平分线得到角相等，由平行线得到角相等，再进行等量代换可得△ABC是等腰三角形．

【解答】证明：∵AE平分∠DAC，

∴∠1=∠2，

∵AE∥BC，

∴∠1=∠C，∠B=∠2，

∴∠B=∠C，

即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定定理及平行线的性质、角平分线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．

11．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏，按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个．

【解答】解：C点所有的情况如图所示：

故选：D．

【点评】此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏．

12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【分析】先根据五边形内角和求得∠ECD+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．

【解答】解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，

∴∠ECD+∠BCD=240°，

又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，

∴∠PDC+∠PCD=120°，

∴△CDP中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．

二．填空题（共8小题）

13．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　八　．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，

（n﹣2）•180°=3×360°，

解得n=8，

∴这个多边形为八边形．

故答案为：八．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

14．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为　8　．

【分析】利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．

【解答】解：多边形的外角的个数是360÷45=8，

所以多边形的边数是8．

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．

15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　40°　．

【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．

【解答】解：

∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，

∵五边形OAGFE内角和=（5﹣2）×180°=540°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，

∴∠BOD=540°﹣500°=40°，

故答案为：40°．

【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．

16．一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形是　十　边形．

【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，

依题意得（n﹣2）×180°=360°×4，

解得n=10，

∴这个多边形的边数是10．

故答案为：十．

【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．

17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是　150米　．

【分析】根据题意判断出小华走过的路线图形是正多边形，用360°除以24°求出多边形的边数，再根据多边形的周长公式列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，小华走过的路线图形是正多边形，

360°÷24°=15，

15×10=150米，

所以，一共走的路程是150米．

故答案为：150米．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，判断出走过的路线图形是正多边形并利用多边形的外角和定理求出边数是解题的关键．

18．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为　95　°．

【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=80°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．

【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，

∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，

∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，

∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，

∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，

∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°．

故答案为：95．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．

19．如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是　190°　．

【分析】根据正九边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）先求出正九边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．

【解答】解：如图，

（9﹣2）×180°÷9×2

=7×180°÷9×2

=280°，

∠3+∠4=180°﹣90°=90°，

∠1+∠2=280°﹣90°=190°．

故答案为：190°．

【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．

20．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影=　1　cm2．

【分析】根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．

【解答】解：∵点E是AD的中点，

∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．

则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．

∵点F是CE的中点，

∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．

【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，知三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．

三．解答题（共5小题）

21．如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．

（1）求∠B的度数．

（2）求∠C的度数．

【分析】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，再由∠ADC=80°，∠B=∠BAD即可得出∠B的度数；

（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数．

【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD，

又∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD，

∴∠B=∠ADC=×80°=40°；

（2）在△ABC 中，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．

22．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　n﹣3　；②　n（n﹣3）　；

（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？

（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．

【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；

（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；

（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话，据此进行判断．

【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；

故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；

（2）∵3×6=18，

∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18﹣3）=135（个）；

（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；

每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；

两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；

数学社团有18名同学，当n=18时，×18×（18﹣3）=135．

【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）．

23．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE交于点F，∠C=30°，∠BFD=70°，求∠BAC的度数．

【分析】根据高线的定义可得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠FBD，再根据角平分线的定义求出∠ABD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∵AD是高线，

∴∠ADB=90°，

∵∠BFD=70°，

∴∠FBD=90°﹣70°=20°，

∵BE是角平分线，

∴∠ABD=2∠FBD=40°，

在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠ABD﹣∠C=180°﹣40°﹣30°=110°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．

24．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．

（Ⅰ）问题引入：

如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC=　125　度；若∠A=α，则∠BOC=　90°+α　（用含α的代数式表示）；

（Ⅱ）类比探究：

如图②，在△ABC中，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α．

试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．

（Ⅲ）知识拓展：

如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．

【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；

（Ⅱ）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；

（Ⅲ）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=﹣α．

【解答】解：（Ⅰ）∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，

∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，

∴∠BOC=125°；

∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣α，

∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=90°﹣α，

∴∠BOC=90°+α；

（Ⅱ）∠BOC=120°+α．

理由如下：

∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=120°+α．

（3）∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）

=180°﹣（∠DBC+∠ECB）

=180°﹣（180°+∠A）

=•180°﹣．

故答案为：125°；90°+α．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

25．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．

（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．

（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后根据角平分线的性质，即可得出；

（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．

【解答】解：（1）∠1+∠2=90°；

∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，

∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∴2（∠1+∠2）=180°，

∴∠1+∠2=90°；

（2）BE∥DF；

在△FCD中，∵∠C=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∴BE∥DF．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3d96e0141fb91a37f111f18583d049649a660e1c.html