3.1.2 用二分法求方程的近似解
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．
答案：B
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．
答案：D
3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过( )
A．ε B.ε C．2ε D.
ε
解析：最大误差即为区间长度ε.
答案：A
4．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
解析：对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，
即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)>0.所以f(x)＝|x|的函数值非负，
即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，
所以不能用二分法求零点．
答案：C
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1在区间(0，1)内的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
以上横线上应填的内容分别为( )
A．(0，0.5)，f(0.25)
B．(0，1)，f(0.25)
C．(0.5，1)，f(.025)
D．(0，0.5)，f(0.125)
解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
答案：A
二、填空题
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．
解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0；f(－0.8)<0，f(－0.4)>0，
所以根在区间(－0.8，－0.6)内，
所以a＝－1或a＝－0.8.
答案：－1或－0.8
7．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．
解析：设等分的最少次数为n，
则由＜0.01，得2n＞10，所以n的最小值为4.
答案：4
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
三、解答题
9．用二分法求的近似值(精确度为0.1)．
解：设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3)，
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25.
10．从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点，就要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m之间，要查多少次？
解：①如图所示，他首先从中点C检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD段中点E查……
②设需要排查n次，因为每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，所以50<<100，
即100<2n<200，n＝7.因此，只要7次就够了．
B级 能力提升
1．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的四个结论：
①若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则(x0，0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．3 D．4
解析：因为x0∈[a，b]且f(x0)＝0，所以x0是f(x)的一个零点，而不是(x0，0)，所以①不正确；因为函数f(x)不一定连续，所以②不正确；因为方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以③不正确；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④不正确．
答案：A
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2，3)．
答案：(2，3)
3．中央电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价机会．如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点625；若遇到小数取整数．照这样的方案游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次即可猜中价格．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3ba13aaf00f69e3143323968011ca300a7c3f6d4.html
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