2020年湖南省株洲市中考数学试卷（附答案解析）

2020年湖南省株洲市中考数学试卷

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）的相反数为，则等于　　

A． B．3 C． D．

2．（4分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

3．（4分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）一实验室检测、、、四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是　　

A． B． C． D．

5．（4分）数据12、15、18、17、10、19的中位数为　　

A．14 B．15 C．16 D．17

6．（4分）下列哪个数是不等式的一个解？　　

A． B． C． D．2

7．（4分）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是　　

A．1 B． C． D．4或

8．（4分）下列不等式错误的是　　

A． B． C． D．

9．（4分）如图所示，点、、对应的刻度分别为0、2、4、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为　　

A． B．6 C． D．

10．（4分）二次函数，若，，点，，，在该二次函数的图象上，其中，，则　　

A． B．

C． D．、的大小无法确定

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）关于的方程的解为　　．

12．（4分）因式分解：　　．

13．（4分）计算的结果是　　．

14．（4分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：

则该班学生所穿校服尺码为“”的人数有　　个．

15．（4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形为正九边形，其中心点为点，点、分别在射线、上，则　　度．

16．（4分）如图所示，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为　　．

17．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、分别在轴、轴上，点在函数，为常数且的图象上，边与函数的图象交于点，则阴影部分的面积为　　．（结果用含的式子表示）

18．（4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠yuè、合、升、斗、斛hú也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜huán其外，旁有庣tiāo焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　　尺．（结果用最简根式表示）

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19．计算：．

20．先化简，再求值：，其中，．

21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．

（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）

（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：

（1）求该数据中每天代寄包裹数在范围内的天数；

（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．

①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？

②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：

求这40件包裹收取费用的平均数．

23．如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足．

（1）求证：．

（2）若正方形的边长为1，，求的值．

24．是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．

（1）如图①，求证：直线是的切线；

（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．

25．如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．

（1）若点为线段的中点，求的值；

（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．

①求证：；

②把称为，，，两点间的“距离”，记为，求，，的值．

26．如图所示，二次函数的图象（记为抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、，点、的横坐标分别记为，，且．

（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；

（2）若关于的一元二次方程的判别式△．求证：当时，二次函数的图象与轴没有交点．

（3）若，点的坐标为，，过点作直线垂直于轴，且抛物线的的顶点在直线上，连接、、，的延长线与抛物线交于点，若，求的最小值．

参考答案

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）

1．【解答】解：因为3的相反数是，所以．

故选：．

2．【解答】解：选项，根据同底数幂的乘法法则可得，选项正确；

选项，根据合并同类项法则可得，选项错误；

选项，根据幂的乘方的运算法则可得，选项错误；

选项，根据积的乘方的运算法则可得，选项错误．

故选：．

3．【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，

故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：．

故选：．

4．【解答】解：，，，，

又，

从轻重的角度看，最接近标准的是选项中的元件．

故选：．

5．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是．

故选：．

6．【解答】解：解不等式，得，

因为只有，所以只有是不等式的一个解，

故选：．

7．【解答】解：点是第二象限内的点，

，

四个选项中符合题意的数是，

故选：．

8．【解答】解：、根据两个负数绝对值大的反而小可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；

、由，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；

、，，可得，原不等式错误，故此选项符合题意；

、由，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意．

故选：．

9．【解答】解：由题意，知，，．

由旋转的性质，得．

在△中，．

．

扇形的面积为．

即线段扫过的图形的面积为．

故选：．

10．【解答】解：，，

．

又，

，

，，

，．

点，，，在该二次函数的图象上，

，．

．

．

故选：．

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

11．【分析】方程移项、合并同类项、把系数化为1，即可求出解．

【解答】解：方程，

移项，得，

合并同类项，得．

解得．

故答案为：4．

12．【分析】运用提公因式法分解因式即可．

【解答】解：．

故答案为：．

13．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．

【解答】解：原式

．

故答案是：2．

14．【分析】直接用尺码的频率乘以班级总人数即可求出答案．

【解答】解：由表可知尺码的频率为0.2，又因为班级总人数为40，

所以该班学生所穿校服尺码为“”的人数有．

故答案是：8．

15．【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出的度数．

【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：

，

．

故答案为：80．

16．【分析】先证明为的中位线，得到四边形为平行四边形，求出，根据中位线定理即可求解．

【解答】解：、分别是的边、的中点，

为的中位线，

，，

，

四边形为平行四边形，

，

．

故答案为：．

17．【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为1，矩形的面积为，从而可以求出阴影部分的面积．

【解答】解：是反比例函数图象上一点

根据反比例函数的几何意义可知：的面积为．

点在函数，为常数且的图象上，四边形为矩形，

根据反比例函数的几何意义可知：矩形的面积为．

阴影部分的面积矩形的面积的面积．

故答案为：．

18．【分析】根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，求出，问题得解．

【解答】解：如图，

四边形为正方形，

，，

为直径，，

由题意得，

，

，

正方形周长为尺．

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19．【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．

【解答】解：原式

．

20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将，的值代入计算可得．

【解答】解：原式

，

当，，原式．

21．【分析】（1）运用勾股定理解题即可；

（2）根据勾股定理列出方程，求出，问题得解．

【解答】解：（1）在中，；

答：该斜坡的坡高长为米；

（2），

，

，

在中，，

，

，

．

综上所述，长度增加了2米．

22．【分析】（1）根据统计图读出的天数，的天数，的天数，再将三个数据相加即可；

（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；

②求加权平均数即可．

【解答】解：（1）结合统计图可知：

每天代寄包裹数在范围内的天数为天；

（2）①因为，故重量超过了，

除了付基础费用8元，还需要付超过部分的费用2元，

则该顾客应付费用为（元；

②（元．

所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．

23．【分析】（1）已知，根据全等三角形的对应角相等可得，再由，可得，即可证得；

（2）由，根据全等三角形的对应角相等可得，由对顶角相等可得，即可证得；又因正方形边长为1，，可得，．在中，即可求得结论．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，

正方形边长为1，．

，．

．

24．【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得，由可得，推出，从而可得结论；

（2）由已知条件易求出的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得，根据余角的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质变形可得，即可求出结果．

【解答】（1）证明：连接，如图①，

是的直径，

，

，

，

，

，

，即，

是的切线；

（2）解：如图②，是的直径，的半径为1，

，

，即，

，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

．

25．【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出；

（2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明；

②由“距离”的定义可知为两点的水平距离与垂直距离之和，故，，，即只需求出点坐标即可，设点，由可得，进而代入直线解析式求出值即可解答．

【解答】解：（1）点为线段的中点，，

，即：点坐标为，

又轴，，

，

．

（2）①在为等腰直角三角形中，，，

，

又轴，

，

，

在和中，

，

，

②解：设点坐标为，

，

，，

，

设直线解析式为：，将两点代入得：

则．

解得，．

当时，，，，符合；

，，，

当时，，，，不符，舍去；

综上所述：，，．

26．【分析】（1）根据题意，把，，点，代入解析式，即可求出解析式；

（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；

（3）根据二次函数的性质，得到，结合根与系数的关系，得到，然后证明，得到，然后得到，利用二次函数的性质即可得到答案．

【解答】解：（1）由题意得：，

函数过点，

，

，

；

（2）由题意，一元二次方程的判别式△．

△，

，

在函数中，，

，

，

即函数图象与轴没有交点；

（3）因为函数顶点在直线上，则有，

即①，

，

，

即，

，

由①得：②，

，，

，

，，

，

则．

，

，

．

，

．

由②得：，

，

当时，．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3ab4134c122de2bd960590c69ec3d5bbfc0ada70.html