2018-2019学年江西省上饶市“山江湖”协作体高一(自招班)下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出集合A,B,即可求出,再利用交集概念即可求解.
【详解】
由题可得:,
所以,所以
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了集合的交、补集运算,属于基础题。
2.已知为等差数列的前项和,若,,则数列的公差( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为,公差为,由及列方程组即可求解。
【详解】
设等差数列的首项为,公差为,由及得:
,解得:
故选:B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式,考查方程思想及计算能力,属于基础题。
3.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】三视图复原的几何体为正方体中的一个四棱锥,再求其底面积与高,即可得到结果.
【详解】
由三视图可知几何体为正方体中的一个四棱锥S-ABCD,
其体积为:V
故选:A
【点睛】
本题考查几何体的三视图和体积,要求能把三视图还原成几何体,并能熟练求解几何体中的长度关系,要求有较好的空间想象力和读图识图能力,属基础题
4.已知数列的前项和为,对任意正整数,,则下列关于的论断中正确的是( )
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.可能是等差数列,但不会是等比数列 D.可能是等比数列,但不会是等差数列
【答案】C
【解析】试题分析:若数列中所有的项都为0,则满足,所以数列可能为等差数列;由得:,则,所以,另由得:,即,所以数列不是等比数列。故选C。
【考点】等差数列和等比数列的定义
点评:本题利用了等差和等比数列的定义进行判断,解决本题容易出现差错的是,当得到式子时,就认为数列是等比数列,这是错误的,因为这个式子不包括首项。
5.将函数y=3sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(,0)中心对称
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】B
【解析】设出将函数y=sin(2x+)的图象平移ρ个单位得到关系式,然后将x=﹣代入使其等于0,再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值,再对选项进行验证即可.
【详解】
假设将函数y=sin(2x+)的图象平移ρ个单位得到
y=sin(2x+2ρ+)关于点(﹣,0)中心对称
∴将x=﹣代入得到
sin(﹣+2ρ+)=sin(+2ρ)=0
∴+2ρ=kπ,∴ρ=﹣+,
当k=0时,ρ=﹣,向右平移,
故选:B.
【点睛】
本题考查的是三角函数的平移问题,首先保证三角函数同名,不是同名通过诱导公式化为同名,在平移中符合左加右减的原则,在写解析式时保证要将x的系数提出来,针对x本身进行加减和伸缩.
6.若向量与满足,且,,则向量在方向上的投影为()
A. B. C.-1 D.
【答案】B
【解析】利用向量垂直的充要条件求得,再由向量在方向上的投影的计算公式,即可求解,得到答案.
【详解】
利用向量垂直的充要条件有:,∴,
则向量在方向上的投影为,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的应用,以及向量的投影的计算问题,其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式,合理准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
7.设函数 ,若方程恰好有三个根,分别为 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由题意,则,
画出函数的大致图象,如图所示,
由图可得,当时,方程恰有三个根,
由得;由得,
由图可知,与点关于直线对称;
点和点关于对称, 所以,
所以,故选D.
点睛:本题考查了正弦函数的图象,以及正弦函数的图象及对称性的应用,考查了整体思想和数形结合思想的应用,有关问题,一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围,一般先根据图象的最高点或最低点确定,再根据周期,求出,最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式,求出满足条件的值,另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点,如对称轴或曲线经过的点的坐标,根据题意自己画出图象,再寻求待定的参变量,题型很活,求或的值或最值或范围等.
8.已知定义在R上的函数f(x)=-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),则a,b,c的大小关系为( )
A.a B.a
【答案】B
【解析】根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.
【详解】
解:∵f(x)为偶函数;
∴f(﹣x)=f(x);
∴﹣1=﹣1;
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;
(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;
∴mx=0;
∴m=0;
∴f(x)=﹣1;
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),
b=f(),c=f(2);
∵0<<2<;
∴a
故选:B.
【点睛】
本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.
9.在等腰直角三角形中,,点为所在平面上一动点,且满足,求的取值范围
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,用参数方程表示点P的坐标,从而求出的取值范围.
【详解】
根据题意,建立平面直角坐标系,如图所示
则A(0,2),B(2,0),C(0,0),
由||=1知,点P在以B为圆心,半径为1的圆上,
设P(2+cosθ,sinθ),θ∈[0,2π);
则=(cosθ,sinθ),
又+=(2,2);
∴•(+)=2cosθ+2sinθ=2sin(θ+),
当θ+=,即θ=时,•(+)取得最大值2,
当θ+=,即θ=时,•(+)取得最小值﹣2,
∴•(+)的取值范围是[﹣2,2].
故选:D.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与应用问题,是中档题.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
10.正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E为SC的中点,则BE与SA所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:如图,设,连接是的中位线,故,由异面直线所成角的.设,则,在中,运用余弦定理可得,故应选C.
【考点】异面直线所成角的概念及求法.
11.已知函数若方程有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先作出f(x)的图像,可知当直线时,直线y=a与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,即方程f(x)-a=0有三个不同的实数根.故应选D.
12.记为数列的前项和,已知和(为常数)均为等比数列,则的值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对的公比是否为1分类,可排除,再利用也是等比数列列方程即可得到,分别令,,,,可得只有时才存在满足方程,问题得解。
【详解】
当时,令(其中为非零常数),
整理得:,要使得它对任意的恒成立,
则:,解得:,这与为等比数列矛盾.
所以,
令(其中为非零常数),则,整理得:
,要使得它对任意的恒成立,
则,整理得:,
令,则,解得:,这与为等比数列矛盾.
令,则,整理得:,此方程无解。
令,则,整理得:,记,
,,所以在上必有一零点。即至少有一个实根.
令,则,整理得:,解得:,这与为等比数列矛盾.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及求和公式,考查分类思想及转化能力,还考查了计算能力及方程思想,属于中档题。
二、填空题
13.函数的对称中心,,则数列的前项和是_________.
【答案】
【解析】先由已知得到m=1,再计算出,再利用裂项相消法求和.
【详解】
由已知得到m=1,所以,
所以数列的前项和=
故答案为:
【点睛】
本题主要考查函数的对称性,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14.若等差数列满足,则当__________时,的前项和最大.
【答案】8
【解析】试题分析:由等差数列的性质,,,又因为,所以
所以,所以,,故数列的前8项最大.
【考点】等差数列的性质,前项和的最值,容易题.
15.已知且,则______。
【答案】1
【解析】整理得:
由此得到,问题得解。
【详解】
因为,
所以,整理得:
,又,
所以,所以,
所以
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式,考查计算能力,还考查了三角恒等式,属于基础题。
16.若函数的图象存在经过原点的对称轴,则称为“旋转对称函数”,下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.(填写所有正确结论的序号)
①;②;③.
【答案】①②
【解析】对于①,求出的反函数为,即可判断原函数是“旋转对称函数”,对于②,验证得:,即可判断原函数是“旋转对称函数”,对于③,可分析出当时,,时,,由函数特征即可判断③不是“旋转对称函数”.
【详解】
对于①中,的反函数为:,所以函数关于直线对称,故①是“旋转对称函数”.
对于②,,所以函数是偶函数,它关于轴对称,故②是“旋转对称函数”.
对于③,,当时,,则函数的图像只可能关于直线对称,又,当时,,这与函数的图像关于直线对称矛盾,故③不是“旋转对称函数”.
【点睛】
本题主要考查了反函数的求解及互为反函数的图像关系,考查了偶函数的图像特征,还考查了分析函数图像特征的能力以及极限思维,考查分析能力及新概念知识,属于中档题。
三、解答题
17.设为各项不相等的等差数列的前n项和,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列{}的前n项和,求.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)直接利用已知条件,根据等差数列的公式得到方程,求出数列的通项公式;(2)利用第一问的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】
(1)等差数列{an}的前n项和,已知a3a5=3a7,S3=9.
设{an}的公差为d,
则由题意知
解得(舍去)或,
∴an=2+(n﹣1)×1=n﹣1.
(2)∵,
∴
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.
18.如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,为与的交点,为棱上一点.
(1)证明:平面平面;
(2)若平面,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明AC平面PBD即可。
(2)由PD∥平面EAC可得:E为线段PB的中点,利用体积转换即可求解.
【详解】
(1)由底面ABCD是菱形可得:ACBD,
又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.
PD和BD为平面PBD的两条相交直线,
所以AC平面PBD,又AC平面EAC
所以平面EAC⊥平面PBD.
(2)由PD∥平面EAC可得:,又O为BD的中点,
所以E为线段PB的中点,
由题可得:,
所以.
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明,考查转化思想及空间思维能力,还考查了体积计算,属于基础题。
19.已知函数f(x)=4cosωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的值域.
【答案】(1) ; (2).
【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数,利用周期性即可得到ω的值;
(2)由题意得到≤2x+≤利用正弦型函数的图像与性质,即可得到结果.
【详解】
(1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx
=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin+.若0≤x≤,
则≤2x+≤, ≤sin(2x+)≤1,
2sin+的值域是[0,2+].
【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质,涉及函数的周期性,函数的值域,考查学生恒等变形的能力,考查数形结合的思想,属于中档题.
20.已知等比数列的前项和为,若,,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1); (2)
【解析】(1)由题意列关于首项与公比的方程组,解之即可得到结果;
(2)由(1)知,,利用错位相减法即可得到数列的前项和.
【详解】
(1)设等比数列的公比为,
因为,
解得,所以;
(2)由(1)知,,
则,
,
两式相减得
,
∴
【点睛】
本题考查等比数列的性质,着重考查数列的求和,突出考查错位相减法,考查方程思想与运算能力,属于中档题.
21.已知函数
(1)求函数的最小正周期与单调增区间;
(2)设集合,若,求实数的取值范围
【答案】(1)最小正周期 (2)
【解析】(1)先化简函数得,再求函数的最小正周期和单调递增区间.(2)先由题得,再求f(x)的最大值和最小值,即得m的范围.
【详解】
(1)=
=
所以函数f(x)的最小正周期T=π.
由得
函数f(x)的单调递增区间为.
(2)由 ,即f(x)-2<m<f(x)+2.
因为,
当时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,
所以
因为
所以.
【点睛】
(1)本题主要考查三角恒等变换,考查三角函数的单调区间和最小正周期的求法,考查三角函数的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
22.(本小题满分12分)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:关于直线对称.
(1)求圆C的方程:
(2)设Q为圆C上的一个动点,求最小值;
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C交与A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP与直线AB是否平行?请说明理由.
【答案】(1);(2)-4;(3)平行.
【解析】试题分析:(1)由题意圆心与圆心关于直线对称;(2)设,由(1)有,,可设,代入可求得的最小值;(3)本题证明用解析法,由于直线PA和直线PB的倾斜角互补,设方程为,则方程为,把它们代入圆的方程求得的坐标,计算得,即.
试题解析:(1)设圆心C(a,b),则 解得 a=0 b=0
所以圆C的方程为, 将点P的坐标代人得, 所以圆C的方程为.
(2)设Q(x,y) ,则
所以
所以的最小值为 -4 (可由线性规划或三角代换求得)
(3)由题意可知,直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数
故 可设PA: PB:
由 得
因为点P的横坐标是 x=1,一定是方程的解 故可得
同理
所以
所以直线OP与直线AB一定平行.
【考点】圆的方程,向量的数量积,圆的参数方程,直线与圆的交点,两直线平行的判定.
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