万有引力和航天专题复习

专题： 万有引力与航天

一、 开普勒行星运动定律

（1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是_____,太阳处在____上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。

（2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的____.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。

（3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值____。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。

若用R表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（k 是一个与行星无关的量）。

二、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比．

2．公式：F＝ ，其中G＝ N·m2/kg2，叫引力常量．

3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离．

【例】1、(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）

A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。若以R表示月球的半径，则

A.卫星运行时的向心加速度为 B.卫星运行时的线速度为

C．物体在月球表面自由下落的加速度为 D．月球的第一宇宙速度为

三、人造卫星

1、三种宇宙速度

补充：第一宇宙速度的理解和推导

1．由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。

根据论述可推导如下： 或

其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，注意（1）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。（2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度

【例】1、某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？

2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( )

A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关

C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力

2. 近地卫星

所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大________的速度。

3、同步卫星

（1）轨道平面一定：轨道平面与 共面．

（2）周期一定：与 周期相同，即T＝24 h.

（3）角速度一定：与 的角速度相同．

（4）高度一定：由G＝m (R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝－R. ≈3.56×107m

（5）速率一定：v＝

（6）向心加速度大小一定

【例】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）

A．运行速度大于7.9 km/s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

4、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系

①由得_____________,所以r 越大， _______

②由 得=_______，所以r 越大， _______

③由得T=_____，所以r越大，T _______

万有引力定律应用的基本方法：

（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．

“万能”连等式：G＝man=m＝mω2r＝m()2r＝m(2πf)2r

（2）不考虑中心天体的自转。

黄金代换式：

考向一：天体的质量M、密度ρ的估算

（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，

由G＝m()2r，可得天体质量为：M＝.

该中心天体密度为：ρ＝＝＝（R为中心天体的半径）．

当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝.

（2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于G＝mg，故天体质量M＝，

天体密度ρ＝＝＝.

【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（ ）

A．1.8×103 kg/m3　　B．5.6×103 kg/m3　 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3　

考向二：卫星的运行和变轨问题

1．人造卫星的动力学特征

万有引力提供向心力．即G＝m＝mrω2＝m()2r

2．人造卫星的运动学特征

（1）向心加速度， 随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。

（2）由线速度 v＝，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。

（3）角速度ω＝， 随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。

（4）周期T＝2π， 随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。

【例】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是（ ）

A．a、b的线速度大小之比是∶1

B．a、b的周期之比是1∶2

C．a、b的角速度大小之比是3∶4

D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4

3．卫星的环绕速度和发射速度

不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即发射速度＞环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．

4．人造地球卫星的超重和失重

(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．

(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）

5.卫星的变轨

卫星做匀速圆周运动时满足：＝ma =＝mrω2＝mr()2

当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F引>时,卫星向近地心的轨道运动,即做向心运动;当F引<时,卫星向远地心的轨道运动,即做离心运动。

变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力F引=，在开始变轨时F引不变；

二是飞船所需要的向心力F向=，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。

(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．

(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知

运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)

【例】1、如图4－4－2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是(　　)

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c

D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2<r1)，用Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则(　　)

A．Ek2<Ek1，T2<T1 B．Ek2<Ek1，T2>T1

C．Ek2>Ek1，T2<T1 D．Ek2>Ek1，T2>T1

3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）

（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ）

A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力

B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力

C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度

D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度

（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（ ）

A．从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速

C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速

考向三：“双星模型”问题

在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图

（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力

（2）具有相同的周期T和角速度

（3）轨道半径和质量成反比

（4）双星总质量 （其中L为双星间距，T为周期）

【例】如图4－4－6，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)

考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较

【例】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(　　)

A．v1>v2>v3 B．v1<v2<v3 C．a1>a2>a3 D．a1<a3<a2

考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）

关键是：重力加速度g

（1）由黄金代换得g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得g

【例】我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．

(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．

考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题

1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间： 据则，

而则

2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：

据则，

而则

【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：

(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？

(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

【课时训练】

1．对万有引力定律的表达式F＝G，下列说法正确的是（ ）

A．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的

B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大

C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关

D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力

2．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 (　　)

A．6小时 B．12小时 C．24小时 D．36小时

3．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图4－4－7所示．下列说法正确的是(　　)

A．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间

B．若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上

C．宇航员将不受地球的引力作用

D．宇航员对“地面”的压力等于零

4．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时

A．r、v都将略为减小 B．r、v都将保持不变

C．r将略为减小，v将略为增大 D． r将略为增大，v将略为减小

5．天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上．若在某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近，火星较远)所需要的时间是（ ）

A． B．

C． D．

6．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。

（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)

8．如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

1 求两星球做圆周运动的周期。

2 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

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