广东省广州市西关外国语学校2018-2019学年第二学期九年级数学综合测试（一）试卷（解析版）

广东省广州市西关外国语学校2018-2019学年第二学期九年级

数学综合测试（一）试卷

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1．在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（　　）

A．﹣1 B．π C．0 D．1

2．若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：3，则S△ABC：S△DEF＝（　　）

A．1：3 B．1：9 C．1： D．1：1.5

3．如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（　　）

A．70° B．20° C．35° D．110°

4．下列运算正确的是（　　）

A．3x2•4x2＝12x2 B． a

C．（x5）2＝x10 D．a10÷a2＝a5

5．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A＝40°，∠B＝110°，则∠BCA′的度数是（　　）

A．100° B．90° C．70° D．110°

6．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（　　）

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差

7．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，下列说法一定正确的是（　　）

A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝DO D．AO＝CO

8．已知数轴上点A（表示整数a）在点B（表示整数b）的左侧，如果|a|＝|b|，且线段AB长为6，那么点A表示的数是（　　）

A．3 B． 6 C．﹣6 D．﹣3

9．已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C＝90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0根的情况是（　　）

A．方程无实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个相等的实数根

D．无法判断

10．若点M、N是一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝（k≠0，x＞0）图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论：①一次函数y1＝﹣x+5的图象不经过第三象限；②点N的纵坐标为1；③若将一次函数y1＝﹣x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y2＝（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；④当1＜x＜4时，y1＜y2．其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题（每小题3分共18分，）

11．若梯形的中位线长为8，高为4，则梯形的面积为　 　．

12．分解因式：ay2+2ay+a＝　 　．

13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为　 　．

14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　 　．

15．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则菱形AECF的周长为　 　．

16．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为　 　．

三、解答题（本题共9个小题，共102分）

17．（9分）已知a、b分别是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求的值．

18．（9分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；

（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；

（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．

19．（10分）广州市中山大道快速公交（简称BRT）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了100米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路10米，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？

20．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD＝BD＝2，求⊙O的面积．

21．（12分）某校九年级有400名学生参加全国初中数学竞赛初赛，从中抽取了50名学生，他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）都不低于40分，把成绩分成六组：第一组39.5～49.5，第二组49.5～59.5，第三组59.5～69.5，第四组69.5～79.5，第五组79.5～89.5，第六组89.5～100.5．统计后得到下图所示的频数分布直方图（部分）观察图形的信息，回答下列问题：

（1）第五组的频数为　 　（直接写出答案）

（2）估计全校九年级400名学生在69.5～79.5的分数段的学生约有　 　个．（直接写出答案）

（3）在抽取的这50名学生中成绩在79.5分以上的学生组成一个培训小组，再从这个小组中随机挑选2名学生参加决赛，用树状图或列表法求出挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的概率．

22．（12分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．

（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；

（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

23．（12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（﹣5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．

（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；

（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．

24．（14分）已知：如图，二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象的顶点，CD＝．

（1）求a的值．

（2）点M在二次函数y＝a（x+1）2﹣4图象的对称轴上，且∠AMC＝∠BDO，求点M的坐标．

（3）将二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF⊥FC1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF＝kEF，则k＝　 　；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE﹣DE＝2CF；

（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．解：∵﹣1＜0＜1＜π，

∴最小的数是﹣1，

故选：A．

2．解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：3，

∴S△ABC：S△DEF＝1：9．

故选：B．

3．解：如图，连接AB，

∵两正北方向平行，

∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°，

∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°．

故选：A．

4．解：A、3x2•4x2＝12x4，错误；

B、，错误；

C、（x5）2＝x10，正确；

D、a10÷a2＝a8，错误；

故选：C．

5．解：如图，∵∠A＝40°，∠B＝110°，

∴∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°；

由题意得：∠ACA′＝60°，

∴∠BCA′＝30°+60°＝90°，

故选：B．

6．解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自已的成绩和中位数．

故选：C．

7．解：由平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分，可知选项D是正确的．

故选：D．

8．解：∵数轴上点A（表示整数a）在点B（表示整数b）的左侧，|a|＝|b|，

∴点A和点B的中点是原点，

∵线段AB长为6，

∴点A表示的数是﹣3．

故选：D．

9．解：∵a、b、c分别为Rt△ABC（∠C＝90°）的三边的长，

∴a2+b2＝c2，

∵△＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2），

∴△＝0，

∴方程有两个相等的两个实数根．

故选：C．

10．解：由一次函数y1＝﹣x+5可知，一次函数y1＝﹣x+5的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；

故①正确；

∵点M的横坐标为1，

∴y＝﹣1+5＝4，

∴M（1，4），

∴k＝4，

∴反比例函数y2＝（k≠0，x＞0），

解得或，

∴N的纵坐标为1，

故②正确；

将一次函数y1＝﹣x+5的图象向下平移1个单位长度，则函数的解析式为y＝﹣x+4，

解解得，，

∴将一次函数y1＝﹣x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y2＝（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；

故③正确；

∵M（1，4），N（4，1），根据图象可知当1＜x＜4时，一次函数图象部分在反比例函数图象的上方，所以y1＞y2．

故④错误．

故选：B．

二、填空题（本題共6个小题，每小题3分共18分，）

11．解：梯形的面积＝中位线×高＝8×4＝32．

故答案是：32．

12．解：ay2+2ay+a

＝a（y2+2y+1）

＝a（y+1）2．

故答案为：a（y+1）2．

13．解：如图，

∵OD＝CD＝6，

∴由勾股定理得AD＝6，

∴由垂径定理得AB＝12，

故答案为：12．

14．解：根据三视图可得该几何体是一个三棱柱，底面积为×4×＝4，侧面积为4×3×6＝72，

则该几何体的全面积为4×2+72＝8+72，

故答案为：8+72．

15．解：∵矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，

∴AD＝AO，CO＝BC，∠BCE＝∠OCE，

而AD＝BC，

∴AC＝2BC，

∴∠CAB＝30°，

∴BC＝AB＝，∠ACB＝60°，

∴∠BCE＝30°，

∴BE＝BC＝1，

∴CE＝2BE＝2，

∴菱形AECF的周长＝4×2＝8．

16．解：第一个：正多边形的面积等于a；

第二个：如图作AE⊥BD于E，

设正六边形的边长为2，

∵正六边形的一个内角为120°，

∴∠ABE＝30°，

则AE＝1，BE＝，

△ABD的面积为：×2×1＝，

a＝2×2＝4，

∴正六边形的面积为： a，

第三个：如图，

∵正八边形的一个内角为135°，

∴∠ABD＝45°，

设正八边形的边长为2，

则BD＝AD＝，△ABD的面积为1，

四边形ABEF的面积为1+2+1＝2+2，

a＝2×（2+2）＝4+4，

∴正八边形的面积为2a，

通过计算可以看出：第n个正多边形的面积为a．

三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17．解：原式＝[﹣]×

＝﹣

＝﹣，

∵a、b分别是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，

∴a+b＝3，

∴原式＝．

18．解：（1）

（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；

（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．

19．解：设原计划每天改造x米，则实际每天改造（x+10）米，由题意，得

＝+5，

解得：x1＝﹣20，x2＝10，

经检验，x﹣20，x＝10都是原方程的根，但x﹣20不符合题意，舍去．

∴x＝10．

答：原计划平均每天改造道路10米．

20．解：（1）直线BD与⊙O相切． （1分）

证明：如图1，连接OD． （2分）

∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．

∵∠C＝90°，

∴∠CBD+∠CDB＝90°

又∵∠CBD＝∠A，（5分）

∴∠ADO+∠CDB＝90°，

∴∠ODB＝180°﹣（∠ADO+∠CDB）＝90°．

∴直线BD与⊙O相切． （6分）

（2）连OD、DE．

∵AD＝BD，

∴∠A＝∠DBA． （7分）

在Rt△BDC中，

∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A＝∠DBA，

∴3∠A＝90°，即有∠A＝30°． （8分）

由，得．（10分）

又∠DOE＝60°，OD＝OE，

∴△DOE为等边三角形，

∴． （10分）

即⊙O的半径，

故⊙O的面积． （12分）

21．解：（1）50﹣12﹣10﹣17﹣7﹣2＝2

（2）7÷50×400＝56（6分）

（3）设分数79.5～89.5的两个学生为A、B，

分数89.5～100.5的两个学生为C、D

树状图：（9分）

共有12种等可能出现的结果，

其中挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的结果共有

2个（CD，DC）

所以P（两个学生都不小于90分）＝（12分）

22．解：（1）由題意得，

在Rt△ADC中，AD＝＝≈36.33（米），…2分

在Rt△BDC中，BD＝≈12.11（米），…4分

则AB＝AD﹣BD＝36.33﹣12.11＝24.22≈24.2（米）…6分

（2）超速．

理由：∵汽车从A到B用时2秒，

∴速度为24.2÷2＝12.1（米/秒），

∵12.1×3600＝43560（米/时），

∴该车速度为43.56千米/小时，…9分

∵大于40千米/小时，

∴此校车在AB路段超速．…10分

23．解：（1）∵双曲线过A（3，），

∴k＝20．

把B（﹣5，a）代入，得

a＝﹣4．

∴点B的坐标是（﹣5，﹣4）．（2分）

设直线AB的解析式为y＝mx+n，

将A（3，）、B（﹣5，﹣4）代入，得

，

解得：，

∴直线AB的解析式为：；（4分）

（2）四边形CBED是菱形．理由如下：（5分）

∵直线AB的解析式为：，

∴当y＝0时，x＝﹣2，

∴点C的坐标是（﹣2，0）；

∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A（3，），

∴点D的坐标是（3，0），

∵BE∥x轴，

∴点E的坐标是（0，﹣4）．

而CD＝5，BE＝5，且BE∥CD．

∴四边形CBED是平行四边形．（6分）

在Rt△OED中，ED2＝OE2+OD2，

∴ED＝＝＝＝5，

∴ED＝CD．

∴平行四边形CBED是菱形．（8分）

24．解：（1）∵C（﹣1，﹣4），CD＝，

∴D（0，﹣3）

∴a＝1

∴y＝（x+1）2﹣4

即y＝x2+2x﹣3．

（2）如右图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则N（﹣1，0）；

由（1）的抛物线：y＝x2+2x﹣3，得：A（﹣3，0）、B（1，0）

在Rt△OBD中，OD＝3，OB＝1，tan∠BDO＝＝．

若∠AMC＝∠BDO，则tan∠AMN＝tan∠BDO＝；

在Rt△AMN中，AN＝OA﹣ON＝2，MN＝AN÷tan∠AMN＝6；

故M（﹣1，6）或（﹣1，﹣6）．

（3）存在．

∵CC1＝DD1＝k，CC1∥DD1，

∴四边形CC1D1D为平行四边形，

∴C1D1∥CD，

∴∠D1 C1C＝∠DCN＝45°，

∵CF⊥FC1，

∴∠CC1F＝45°

即△CFC1为等腰直角三角形，CFC1D1是正方形．FD1与CC1互相垂直平分．

且CC1＝k，

∴F（﹣k﹣1，﹣k﹣4），

由点F在新抛物线y＝x2+2x﹣3﹣k上，

∴（﹣k﹣1）2+2（﹣k﹣1）﹣3﹣k＝﹣k﹣4，

解得k＝2或k＝0（舍），

∴k＝2．

当k＝2时，CF⊥FC1．

25．【解答】解：（1）∵DE⊥AB于E，F为BD中点．

∴，，

∴CF＝EF．

∵CF＝kEF，

∴k＝1；

（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．

由题意，tan∠BAC＝，

∴．

∵D、E、B三点共线，

∴AE⊥DB．

∵∠BQC＝∠AQD，∠ACB＝90°，

∴∠QBC＝∠EAQ．

∵∠ECA+∠ACG＝90°，∠BCG+∠ACG＝90°，

∴∠ECA＝∠BCG．

∴△BCG∽△ACE．

∴．

∴GB＝DE．

∵F是BD中点，

∴F是EG中点．

在Rt△ECG中，，

∴BE﹣DE＝EG＝2CF；

（3）情况1：如图，当AD＝时，取AB的中点M，连结MF和CM，

∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，且BC＝6，

∴AC＝12，AB＝．

∵M为AB中点，∴CM＝，

∵AD＝，

∴AD＝4．

∵M为AB中点，F为BD中点，

∴FM＝＝2．

∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF＝CM+FM＝．

同理最小值为﹣2．

情况2：如图，当AD＝时，取AB的中点M，连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF的最大值为．

综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的

三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．

同理最小值为﹣4．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/35a9a757b1717fd5360cba1aa8114431b80d8e1f.html