2020年高考数学（理）二轮专项复习专题08-解析几何

专题08 解析几何

平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．

在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．

§8－1 直角坐标系

【知识要点】

1．数轴上的基本公式

设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称x2－x1叫做向量ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png的坐标或数量，即数量AB＝x2－x1；数轴上两点A，B的距离公式是

d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．

2．平面直角坐标系中的基本公式

设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是7665b9bd98d4ce4d7b2abfccc4996fea.png

A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是2c505dba137a05c74d2e9ac17abea53d.png

3．空间直角坐标系

在空间直角坐标系O－xyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是

ca1d7ccd2cd11e818c5026ff8a9c872f.png

【复习要求】

1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．

2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．

【例题分析】

例1 解下列方程或不等式：

(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．

略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，

则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，

图8－1－1

所以，原方程的解为x＝4或x＝2．

(2)与(1)类似，如图8－1－2，

图8－1－2

则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，

所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．

(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，

将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，

得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．

【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．

例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．

解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．

图8－1－3

设AB＝a，AD＝b，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，

设P(x，y)，

则d1c99c67efe9597d17c3704e6a51c288.png

＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，

07c1ba0dd18ec0f850c05e34642f394d.png

＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，

所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2．

【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．

例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，－1)，B(2，0，2)．

(1)求A，B两点的距离；

(2)在x轴上求一点P，使｜PA|＝｜PB|；

(3)设M为xOy平面内的一点，若|MA｜＝｜MB｜，求M点的轨迹方程．

解：(1)由两点间的距离公式，得f767cfb4e4bc4f230eda98d5b63c5cb4.png

(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得271f7f34addce97818d52b3570420b6f.png

，

即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P(1，0，0)．

(3)设M(x，y，0)，则有

整理可得x－2y－1＝0．

所以，M点的轨迹方程为x－2y－1＝0．

【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．

练习8－1

一、选择题

1．数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，－1，－5，则AC＋CB等于( )

A．－4 B．4 C．－12 D．12

2．若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中x∈R)，则向量的数量的最小值为( )

A． B．0 C． D．word/media/image18_1.png

3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz平面的对称点是( )

A．(1，－2，－3) B．(1，2，3) C．(－1，－2，3) D．(－1，2，3)

4．已知平面直角坐标内有三点A(－2，5)，B(1，－4)，P(x，y)，且｜AP|＝｜BP|，则实数x，y满足的方程为( )

A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0

C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0

二、填空题

5．方程｜x＋2｜＝3的解是______；不等式｜x＋3｜≥2的解为______．

6．点A(2，3)关于点B(－4，1)的对称点为______．

7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4的解为______．

8．如图8－1－4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|DD1|＝2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是______，点M的坐标是______，M关于点B1的对称点为______．

图8－1－4

三、解答题

9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．

10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．

11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．

§8－2 直线的方程

【知识要点】

1．直线方程的概念

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．

2．直线的倾斜角和斜率

x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°．

我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线y＝kx＋b上任意两点，其中x1≠x2，则斜率word/media/image20_1.png

倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α的直线的斜率k＝tanα(α≠90°)．

3．直线方程的几种形式

点斜式：y－y1＝k(x－x1)；

斜截式：y＝kx＋b；

两点式：word/media/image21_1.png

一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．

4．两条直线相交、平行与重合的条件

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

(1)l1与l2相交word/media/image22_1.pngA1B2－A2B1≠0或

(2)l1与l2平行

(3)l1与l2重合

当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则

l1与l2相交word/media/image28_1.pngk1≠k2；

l1∥l2word/media/image29_1.pngk1＝k2，b1≠b2；

l1与l2重合word/media/image30_1.pngk1＝k2，b1＝b2．

5．两条直线垂直的条件

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2word/media/image31_1.pngA1A2＋B1 B2＝0．

当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2word/media/image32_1.pngk1k2＝－1．

6．点到直线的距离

点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d的计算公式

【复习要求】

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

【例题分析】

例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；

(2)设A(2，3)，B(－3，2)，C(－1，－1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为______．

略解：(1)直线可以化简为

所以此直线的斜率为，倾斜角

(2)如图8－2－1，设直线AC的倾斜角为α，

图8－2－1

因为此直线的斜率为word/media/image40_1.png，所以word/media/image41_1.png

设直线BC的倾斜角为β，因为此直线的斜率为word/media/image42_1.png

所以

因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角θ满足α≤θ≤β，

由正切函数图象，得tanθ≥tanα 或tanθ≤tanβ，

故l斜率k的取值范围为．

【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：

①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k＝tanα；

②已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，k＝；

③已知直线的方程Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，k＝．

(2)已知直线的斜率k求倾斜角α时，要注意当k>0时，α＝arctank；当k<0时，α＝π－arctan|k|．

例2 根据下列条件求直线方程：

(1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；

(2)过点P(－2，1)，且点Q(－1，－2)到直线的距离为1．

解：(1)设所求直线方程为y－3＝k(x－2)，或x＝2(舍)，

令y＝0，得x＝2－(k≠0)；令x＝0，得y＝3－2k，

由题意，得2－＝3－2k，解得k＝或k＝－1，

所以，所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0；

(2)设所求直线方程为y－1＝k(x＋2)或x＝－2，

当直线为y－1＝k(x＋2)，即kx—y＋(2k＋1)＝0时，

由点Q(－1，－2)到直线的距离为1，得word/media/image50_1.png＝1，解得word/media/image51_1.png，

所以，直线word/media/image52_1.png，即4x＋3y＋5＝0符合题意；

当直线为x＝－2时，检验知其符合题意．

所以，所求直线方程为4x＋3y＋5＝0或x＝－2．

【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．

例3 已知直线l1：(m－2)x＋(m＋2)y＋1＝0，l2：(m2－4)x—my－3＝0，

(1)若l1∥l2，求实数m的值；

(2)若l1⊥l2，求实数m的值．

解法一：(1)因为l1∥l2，所以(m－2)(－m)＝(m＋2)(m2－4)，

解得m＝2或m＝－1或m＝－4，

验证知两直线不重合，

所以m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；

(2)因为l1⊥l2，所以(m－2)(m2－4)＋(－m)(m＋2)＝0，

解得m＝－2或m＝1或m＝4．

解法二：当l1斜率不存在，即m＝－2时，代入直线方程，知l1⊥l2；

当l2斜率不存在，即m＝0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；

当l1，l2斜率存在，即m≠0，m≠－2时，

可求l1，l2，如的斜率分别为k1＝－word/media/image53_1.png，k2＝，截距b1＝－，b2＝，

若l1∥l2，由k1＝k2，b1≠b2，解得m＝2或m＝－1或m＝－4，

若l1⊥l2，由k1k2＝－1，解得m＝1或m＝4

综上，(1)当m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；

(2)当m＝－2或m＝1或m＝4时，l1⊥l2．

【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用．

例4 已知直线l过两直线l1：3x－y－1＝0与l2：x＋y－3＝0的交点，且点A(3，3)和B(5，2)到l的距离相等，求直线l的方程．

【分析】所求直线l有两种情况：一是l与AB平行；二是点A，B在l的两侧，此时l过线段AB的中点．

解：解方程组得交点(1，2)，

由题意，当①l与AB平行；或②l过A，B的中点时．可以使得点A，B到l的距离相等．

①当l∥AB时，因为，此时，即x＋2y－5＝0；

②当l过AB的中点时，因为AB的中点坐标为所以word/media/image61_1.png

即l：x－6y＋11＝0．

综上，所求的直线l的方程为x＋2y－5＝0或l：x－6y＋11＝0．

例5 已知直线l1：y＝kx＋2k与l2：x＋y＝5的交点在第一象限，求实数k的取值范围．

解法一：解方程组word/media/image62_1.png，得交点word/media/image63_1.png

由题意，得word/media/image64_1.png，解得

解法二：如图8－2－2，由l1：y＝k(x＋2)，知l1过定点P(－2，0)，

图8－2－2

由l2：x＋y＝5，知l2坐标轴相交于点A(0，5)，B(5，0)，

因为

由题意，得

【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．

例6 如图8－2－3，过点P(4，4)的直线l与直线l1：y＝4x相交于点A(在第一象限)，与x轴正半轴相交于点B，求△ABO面积的最小值．

图8－2－3

解：设B(a，0)，则word/media/image70_1.png

将y＝4x代入直线l的方程，

得点A的坐标为word/media/image71_1.png

则△ABO的面积word/media/image72_1.png

所以当a＝6时，△ABO的面积S取到最小值24．

练习8－2

一、选择题

1．若直线l的倾斜角的正弦为word/media/image73_1.png，则l的斜率k是( )

A．word/media/image74_1.png B．word/media/image75_1.png C．或 D．或

2．点P(a＋b，ab)在第二象限内，则bx＋ay－ab＝0直线不经过的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．“”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．若直线word/media/image81_1.png与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则l的倾角的取值范围( )

A．word/media/image82_1.png B．word/media/image83_1.png Cword/media/image84_1.png． D．word/media/image85_1.png

二、填空题

5．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1∥l2，则a＝_______．

6．已知点A(3，0)，B(0，4)，则过点B且与A的距离为3的直线方程为_______．

7．若点P(3，4)，Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则a＋2b＝_______．

8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则word/media/image86_1.png的值等于_______．

三、解答题

9．已知点P在直线2x＋3y－2＝0上，点A(1，3)，B(－1，－5)．

(1)求｜PA｜的最小值；

(2)若|PA|＝|PB|，求点P坐标．

10．若直线l夹在两条直线l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l的方程．

11．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为word/media/image87_1.png，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

§8－3 简单的线性规划问题

【知识要点】

1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．

(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．

(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．

(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：

①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．

②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．

2．简单线性规划

(1)基本概念

目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．

约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．

线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．

线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．

线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．

最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．

可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．

可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．

(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

①分析并将已知数据列出表格；

②确定线性约束条件；

③确定线性目标函数；

④画出可行域；

⑤利用线性目标函数，求出最优解；

⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．

【复习要求】

1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

【例题分析】

例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；

(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．

解：(1)将直线化为

由题意，得，解得a＜－7．

(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，

则(3×3－2＋a)[3×(－4)－12＋a]＜0，即(a＋7)(a－24)＜0，

所以，实数a的取值范围是(－7，24)．

例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；

图8－3－1

(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域．

略解：(1)

(2)由题意，得b2－4a2＞0，即(2a＋b)(2a－b)＜0，

所以或word/media/image93_1.png，点(a，b)表示的平面区域如图8－3－2．

图8－3－2

【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．

例3 已知x，y满足word/media/image95_1.png求：

(1)z1＝x＋y的最大值；

(2)z2＝x－y的最大值；

(3)z3＝x2＋y2的最小值；

(4)word/media/image96_1.png的取值范围(x≠1)．

略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．

图8－3－3

易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)．

(1)作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；

(2)作直线x－y＝0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；

(3)作圆x2＋y2＝r2，显然当圆与直线2x＋y－2＝0相切时，r2有最小值，即z3有最小值

(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．

【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z的几何意义．z的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．

例4 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须

满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )

(A)80 (B)85 (C)90 (D)95

略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域．

如图8－3－4．

图8－3－4

作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z＝10x＋10y有最大值，易得word/media/image104_1.png

又由题意，知x，y∈N，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，

所以，zmax＝10×5＋10×4＝90，选C．

【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．

例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?

解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克)．

由题意，得word/media/image105_1.png

上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．

图8－3－5

作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得Mword/media/image107_1.png，此时z取到最大值

答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．

例6 设函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．

(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；

(2)试利用(1)所得的区域，求f(－2)的取值范围．

解：(1)∵f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，

∴即

如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．

图8－3－6

(2)目标函数f(－2)＝4a－2b．

在平面直角坐标系aOb中，作直线l：4a－2b＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．

这里B点是直线a－b＝2和a＋b＝4的交点，容易解得B(3，1)，

此时f(－2)取到最大值4×3－2×1＝10．

同理，其中有一条直线经过可行域上的C点，此时目标函数达到最小值．这里C点是直线a－b＝1和a＋b＝2的交点，容易解得word/media/image115_1.png

此时f(－2)取到最小值word/media/image116_1.png

所以5≤f(－2)≤10．

【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．

练习8－3

一、选择题

1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是 ( )

A．a＜0或a＞2 B．a＝0或a＝2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2

2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是( )

A．－1 B．1 C．2 D．－2

3．已知x和y是正整数，且满足约束条件word/media/image117_1.png则z＝2x＋3y的最小值是( )

A．24 B．14 C．13 D．11.5

4．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北αword/media/image118_1.png方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S可以用不等式组表示为( )

图8－3－7

A． B．

C． D．

二、填空题

5．在平面直角坐标系中，不等式组word/media/image124_1.png表示的平面区域的面积是______．

6．若实数x、y满足word/media/image125_1.png，则word/media/image126_1.png的取值范围是______．

7．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是______．

8．若当实数x，y满足word/media/image127_1.png时，z＝x＋3y的最小值为－6，则实数a等于______．

三、解答题

9．如果点P在平面区域word/media/image128_1.png内，点Q(2，2)，求|PQ|的最小值．

10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％(word/media/image129_1.png)，可能的最大亏损率分别为30％和10％(

)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?

11．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0．

(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；

(2)试利用(1)所得的区域，指出a的取值范围．

§8－4 圆的方程

【知识要点】

1．圆的方程

(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中点(a，b)为圆心，r为半径．

(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，其中圆心为，半径为

2．点和圆的位置关系

设圆的半径为r，点到圆的圆心距离为d，则

d＞rword/media/image135_1.png点在圆外；

d＝rword/media/image136_1.png点在圆上；

d＜rword/media/image137_1.png点在圆内．

3．直线与圆的位置关系

(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y，得关于x的一元二次方程，则

word/media/image138_1.png＞0word/media/image139_1.png方程组有两解word/media/image140_1.png直线和圆相交；

word/media/image141_1.png＝0方程组有一解直线和圆相切；

＜0方程组无解word/media/image146_1.png直线和圆相离．

(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d，设圆的半径为r，则

d＜rword/media/image147_1.png直线和圆相交；

d＝rword/media/image148_1.png直线和圆相切；

d＞rword/media/image149_1.png直线和圆相离．

4．圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R，r(R≥r)，两圆的圆心距为d(d＞0)，则

d＞R＋rword/media/image150_1.png两圆相离；

d＝R＋rword/media/image151_1.png两圆外切；

R－r＜d＜R＋rword/media/image152_1.png两圆相交；

d＝R－r两圆内切；

d＜R－r两圆内含．

【复习要求】

1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．

2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．

【例题分析】

例1根据下列条件，求圆的方程：

(1)一条直径的端点是A(3，2)，B(－4，1)；

(2)经过两点A(1，－1)和B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上；

(3)经过两点A(4，2)和B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．

【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．

解：(1)由题意圆心为AB的中点M，即word/media/image156_1.png，

因为word/media/image157_1.png

所以圆的半径word/media/image158_1.png

所以，所求圆的方程为word/media/image159_1.png

(2)方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则

word/media/image160_1.png，解得

所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB的垂直平分线上．易得AB的垂直平分线为y＝x．

由题意，解方程组，得圆心C为(1，1)，

于是，半径r＝｜AC|＝2，

所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

(3)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

因为圆过点A，B，所以

4D＋2E＋F＋20＝0，①

－D＋3E＋F＋10＝0，②

在圆的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1＋x2＝－D．

在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1＋y2＝－E．

由题意，得－D＋(－E)＝2，③

解①②③，得D＝－2，E＝0，F＝－12，

所以，所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．

【评析】①以A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．

例2 (1)点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上，求过点P的圆的切线方程；

(2)若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)内，判断直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系．

解：(1)方法一：因为切线l与半径OP垂直，又可求出直线OP的斜率，所以可得切线l的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．

方法二：设Q(x，y)为所求切线上任一点，则，即(x－a，y－b)·(a，b)＝0．

整理得ax＋by＝a2＋b2，

又因为P在圆上，所以a2＋b2＝r2，

故所求的切线方程为ax＋by＝r2．

(2)由已知，得a2＋b2＜r2，

则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离

所以此直线与圆C相离．

【评析】随着点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝r2的位置关系的变化，直线l：ax＋by＝r2与圆C的位置关系也在变化．①当点P在圆C上时，直线l与圆C相切；②当点P在圆C内时，直线l与圆C相离；③当点P在圆外时，直线l与圆C相交．

例3 已知点A(a，3)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．

(1)设a＝3，求过点A且与圆C相切的直线方程；

(2)设a＝4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

(3)设a＝2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程．

解：(1)如图8－4－1，此时A(3，3)，

图8－4－1

设切线为y－3＝k(x－3)或x＝3，

验证知x＝3符合题意；

当切线为y－3＝k(x－3)，即kx－y－3k＋3＝0时，

圆心(1，2)到切线的距离word/media/image167_1.png

解得word/media/image168_1.png

所以，切线方程为3x＋4y－21＝0或x＝3．

(2)如图8－4－2，此时A(4，3)，

图8－4－2

设直线l为y－3＝k(x－4)或x＝4(舍)，

设弦PQ的中点为M，则word/media/image170_1.png｜CP|＝r＝2，

所以word/media/image171_1.png，即圆心到直线l的距离为1，

于是，解得k＝0或，

所以，直线l的方程为或y＝3．

(3)如图8－4－3，此时A(2，3)，设所截得的线段为DE，圆心到直线l1的距离为d，

图8－4－3

则，即word/media/image177_1.png

因为直线l1过点A，

所以圆心到直线l1的距离为d≤|CA｜＝word/media/image178_1.png

故当d＝word/media/image179_1.png时，word/media/image180_1.png，

此时AC⊥l1，因为word/media/image181_1.png

所以word/media/image182_1.png＝－1，

故直线l1方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0．

【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；

(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt△CMP中，有｜CM|2＋｜MP|2＝｜CP｜2，CM⊥MP等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt△ABC．

例4 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．

【分析】要证明直线l与圆C恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l恒过圆内一定点，那么直线l与圆C显然有两个交点．

解：因为直线l：mx＋y＋m＝0可化为y＝－m(x＋1)，

所以直线l恒过点A(－1，0)，

又圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，

且点A到圆C的圆心的距离等于

所以点A为圆C内一点，则直线l恒过圆内一点A，

所以直线l与圆C恒交于两点．

例5 四边形ABCD的顶点A(4，3)，B(0，5)，C(－3，－4)，DO为坐标原点．

(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；

(2)记△ABC的外接圆为W，过W上的点E(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)作圆W的切线l，设l与x轴、y轴的正半轴分别交于点P、Q，求△OPQ面积的最小值．

【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．

解：(1)设△ABC的外接圆为W，圆心M(a，b)，半径为r(r＞0)．

则W为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

由题意，得，解得，所以W：x2＋y2＝25．

将点D的坐标代入W的方程，适合．

所以点D在△ABC的外接圆W上，

故四边形ABCD有外接圆，且外接圆的方程为x2＋y2＝25．

(2)设切线l的斜率为k，直线ME(即OE)的斜率为k1，

∵圆的切线l垂直于过切点的半径，∴

word/media/image188_1.png

∴切线，整理得而word/media/image191_1.png，

∵点E(x0，y0)在圆W上，即word/media/image192_1.png，∴切线l：x0x＋y0y＝25．

在l的方程中，令x＝0，得word/media/image193_1.png，同理word/media/image194_1.png

∴△OPQ的面积word/media/image195_1.png

∵，(其中x0＞0，y0＞0)

∴当且仅当时，等号成立．

即当时，△OPQ的面积有最小值25．

练习8－4

一、选择题

1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9

2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )

A． B． C．1 D．5

3．若直线word/media/image202_1.png与圆x2＋y2＝1有公共点，则( )

A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 C．word/media/image203_1.png D．word/media/image204_1.png

4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )

A．(x＋4)2＋(y－2)2＝5 B．(x－4)2＋(y－4)2＝5

C．(x＋4)2＋(y＋4)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝5

二、填空题

5．由点P(－1，4)向圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0所引的切线长是______．

6．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线word/media/image205_1.png相切，则这个圆的方程为______．

7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为word/media/image206_1.png的点共有______个．

8．若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意的实数x、y都成立，则实数a的取值范围是______．

三、解答题

9．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点．

(1)当a＝－2时，求弦AB的垂直平分线方程；

(2)当l被圆C截得弦长为word/media/image207_1.png时，求a的值．

10．已知圆满足以下三个条件：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为．求该圆的方程．

11．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时l的方程．

§8－5 曲线与方程

【知识要点】

1．轨迹方程

一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

2．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间有如下关系：

(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；

(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．

3．曲线的交点

已知两条曲线C1和C2的方程分别是F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，那么求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．

【复习要求】

1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想．

2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．

【例题分析】

例1 已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点P到点A的距离与它到点B的距离之比为2，求动点P的轨迹方程．

解：设P(x，y)，则，即

化简得x2＋y2－6x＋5＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＋y2－6x＋5＝0．

【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：①建立平面直角坐标系；②设所求动点的坐标为(x，y)；③找出动点满足的几何关系；④几何关系代数化，并将其化简；⑤检验以方程的解为坐标的点是否都在所求轨迹上．

例2 已知P为抛物线y＝x2＋1上一动点，A(2，3)，P关于A的对称点为点P′，求动点P′的轨迹方程．

解：设P '(x，y)，P(x0，y0)，由题意，得

所以x0＝4－x，y0＝6－y，

因为点P(x0，y0)在抛物线y＝x2＋1上，所以6－y＝(4－x)2＋1，

即动点P '的轨迹方程为y＝－(x－4)2＋5．

例3 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ｜的比等于常数2．求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

解：如图8－5－1，设直线MN切圆于N，

图8－5－1

则动点M组成的集合是：P＝{M｜｜MN｜＝2｜MQ|}，

因为圆的半径｜ON|＝1，所以｜MN|2＝｜MO|2－｜ON|2＝｜MO|2－1．

设点M的坐标为(x，y)，则word/media/image214_1.png

整理得3x2＋3y2－16x＋17＝0，化简得word/media/image215_1.png

即动M的轨迹方程为word/media/image216_1.png它是以为圆心，以径的圆．

【评析】求轨迹方程的方法有多种，常见的有：动点轨迹法，相关点法，几何法等．但不论用何种方法求轨迹方程，其最终是要找出所求动点的横纵坐标x，y满足的方程．

例4 已知曲线C：｜xy|＝1．

(1)画出曲线C的图象，并研究其对称性；

(2)讨论圆x2＋y2＝r2(r＞0)与C的交点情况．

解：(1)图象如图8－5－2．图象关于x轴、y轴、原点、直线y＝x，直线y＝－x都对称．

图8－5－2

(2)由，得x4－r2x2＋1＝0，则＝r4－4，

当＝r4－4＜0，即0＜r＜时，圆与曲线C无交点；

当word/media/image224_1.png＝r4－4＝0，即r＝时，结合图象对称性，得圆与曲线C有四点；

当word/media/image225_1.png＝r4－4＞0，即r＞时，结合图象对称性，得圆与曲线C有八点．

【评析】利用方程思想可以研究图象交点的个数，但有时较复杂，若能结合图象常常可以使问题得到简化．

练习8－5

一、选择题

1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( )

A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．｜x|－y＝0 D．｜x｜－|y|＝0

2．下列方程的曲线关于x＝0对称的是( )

A．x2－x＋y2＝1 B．x2－y2＝1 C．x－y＝1 D．x2y＋xy2＝1

3．已知等腰△ABC的底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，－4)，则顶点A的轨迹方程是( )

A．y＝x B．y＝x(x≠2) C．y＝－x D．y＝－x(x≠2)

4．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(k∈R，k≠0)的公共点的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

5．曲线x＋y－7＝0与xy＝10的交点坐标是______．

6．曲线(x－2)2＋x(y－2)＝0关于点A(1，1)的对称曲线方程是______．

7．与直线word/media/image226_1.png和直线y＝4距离相等的点的轨迹方程为______．

8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______．

三、解答题

9．已知两圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝9，C2：x2＋y2＝16．圆C过圆C1，C2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C的方程．

10．已知曲线C：y2＝x＋1，定点A(3，1)，B为曲线C上任一点，点P在线段AB上且有｜BP｜∶｜PA｜＝1∶2，当B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程．

11．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，求动点Q的轨迹方程．

§8－6 椭 圆

【知识要点】

1．椭圆定义：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于定长(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：

3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：

(1)在两种标准方程中，总有a＞b＞0；

(2)椭圆的焦点总在长轴上；

(3)在方程Ax2＋By2＝C中，只要A、B、C同号，且A≠B就是椭圆方程；

(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式．

【复习要求】

掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用

【例题分析】

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点；

(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；

(3)以边长为4的正△ABC的顶点B、C为焦点，经过顶点A．

解：(1)化简椭圆方程4x2＋9y2＝36，得word/media/image233_1.png，所以其焦点在x轴上，

故可设所求椭圆方程为word/media/image234_1.png，且c2＝a2－b2，

由题意，c2＝9－4＝5，所以a2－b2＝5， ①

因为点(3，－2)在椭圆上，所以word/media/image235_1.png ②

由①②，解得a2＝15，b2＝10，所以所求椭圆方程为word/media/image236_1.png

(2)当焦点在x轴上时，设所求的椭圆方程为word/media/image237_1.png，

由题意，得，解得．所以焦点在x轴上的椭圆方程为，

同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为，因此，所求的椭圆方程为和

(3)以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

设所求的椭圆方程为word/media/image244_1.png，由椭圆的定义，

得|BC|＝2c，｜AB|＋｜AC｜＝2a，即2c＝4，2a＝8，

因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为word/media/image245_1.png

同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为word/media/image246_1.png因此，所求的椭圆方程为word/media/image247_1.png和

【评析】求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设椭圆的标准方程(要注意标准方程有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程．

例2 已知椭圆C的方程为

(1)求实数m的取值范围；

(2)若椭圆C的离心率为，求实数m的值．

解：(1)由椭圆的方程知m－2＞0且m－2≠8，所以m∈(2，10)∪(10，＋∞)．

(2)当2＜m＜10时，椭圆C的焦点在x轴上，

此时a2＝8，b2＝m－2，c2＝a2－b2＝10－m，

所以，解得m＝8；

当m＞10时，椭圆C的焦点在y轴上，

此时a2＝m－2，b2＝8，c2＝a2－b2＝m－10，所以，解得

综上，可得m＝8或word/media/image254_1.png

【评析】这是一个含有参数的问题．曲线word/media/image255_1.png表示椭圆的充要条件是word/media/image256_1.png；

表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是word/media/image257_1.png；表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是word/media/image258_1.png.

例3在平面直角坐标系xOy中，A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足，设动点P的轨迹为C．

(1)求轨迹C的方程；

(2)若C上有一点M满足∠AMB＝30°，求△MAB的面积．

解：(1)由椭圆定义，得动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，

设轨迹C的方程为，则a＝5，c＝3，

所以轨迹C的方程为

(2)在△MAB中，由余弦定理，

得|AB|2＝|MA|2＋|MB｜2－2|MA|·|MB｜cos∠AMB，

即36＝|MA|2＋|MB|2－|MA｜·|MB｜

＝(｜MA|＋｜MB|)2－2｜MA|·｜MB|－|MA｜·｜MB｜，

因为｜MA|＋｜MB|＝10，

所以36＝100－2|MA｜·｜MB|－|MA｜·|MB｜，

解得|MA|·|MB|＝64(2－)，

所以△MAB的面积

[评析]要关注圆锥曲线定义在求曲线方程和“焦点三角形”(如本题中的△MAB)中的应用．

例4 如图8－6－1，已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线为l，垂足B，l交MA于点P．则

图8－6－1

(1)点B曲轨迹方程是______；

(2)点P的轨迹方程是______．

解：(1)如图8－6－2，在△AMN中，

图8－6－2

因为｜AB｜＝｜BN｜，｜OM｜＝｜ON|，所以word/media/image267_1.png

所以点B在以O为圆心，半径为3的圆上，即其轨迹方程为x2＋y2＝9．

(2)如图8－6－2，因为PB为线段AN的垂直平分线，所以|PA｜＝|PN｜，

所以｜PM|＋|PN|＝｜PM|＋｜PA|＝6，

由椭圆定义，得点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为word/media/image268_1.png

【评析】①要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合＝等．

②在求轨迹方程、研究圆锥曲线性质时，常常要结合圆锥曲线的定义、基本性质．

例5 已知直线l：y＝x＋1与椭圆word/media/image269_1.png相交于A、B两点．

(1)求AB的中点坐标；

(2)求｜AB｜．

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去y得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，，

因为点A、B在直线y＝x＋1上，所以y1＝1，，

所以交点A(0，1)，，所以(1)AB的中点坐标为；

(2)word/media/image275_1.png

【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标．如直线或曲线的方程中含有参数，联立它们的方程可以得到交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．

例6 已知椭圆word/media/image276_1.png过点M(0，1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．

(1)若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；

(2)设点word/media/image277_1.png，求word/media/image278_1.png的最大值．

解：(1)设A(x1，y1)，

因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，

所以word/media/image279_1.png，解得y1＝－1，

又因为点A(x1，y1)在椭圆C上，所以，即，解得

则点A的坐标为或，

所以直线l的方程为，或．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

所以＝（x1＋x2,y1＋y2－1)，

则

当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝0，A(0，2)，B(0，－2)，此时word/media/image290_1.png

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，

由题设可得A、B的坐标是方程组word/media/image291_1.png的解，

消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，

所以word/media/image292_1.png＝(2k)2＋12(4＋k2)＝16k2＋48＞0，

word/media/image293_1.png

则

所以

当k＝0时，等号成立，即此时取得最大值1．

综上，当直线AB的方程为x＝0或y＝1时，有最大值1．

【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．

练习8－6

一、选择题

1．已知F(c，0)是椭圆的右焦点，设b＝c，则椭圆的离心率为( )

A． B． C．word/media/image300_1.png D．2

2．如果方程x2＋my2＝2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)

3．已知椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上一点，且｜F1F2｜是|PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )

A．word/media/image301_1.png B．word/media/image302_1.png C．word/media/image303_1.png D．

4．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上任一点，记△PF1F2的内切圆为⊙M，则点P到⊙M的切线长为( )

A． B．2 C．4 D．

二、填空题

5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______．

6．在平面α内，有一条线段｜AB｜＝4，P为α内一个动点，满足｜PA｜＋｜PB｜＝6．设M为AB的中点，则｜PM｜的最大值为______，最小值为______．

7．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，则当时，点P的横坐标的取值范围是______．

8．设F为椭圆word/media/image310_1.png的右焦点，A(4，4)，点P为椭圆C上任意一点，则｜PF｜－｜PA｜的最大值为______．

三、解答题

9．已知△ABC的两个顶点为B(－2，0)，C(2，0)，周长为12．

(1)求顶点A的轨迹方程；

(2)若直线word/media/image311_1.png与点A的轨迹交于M，N两点，求△BMN的面积．

10．设F1、F2为椭圆word/media/image312_1.png的两个焦点，P为椭圆上的－点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求word/media/image313_1.png的值．

11．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，A(0，5)，求｜PA｜的最值．

§8－7 双曲线

【知识要点】

1．双曲线定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2｜叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)：

【复习要求】

了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．

【例题分析】

例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为

解：(1)当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为word/media/image321_1.png

由题意，得word/media/image322_1.png，解得word/media/image323_1.png,

所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为word/media/image324_1.png

同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为word/media/image325_1.png

因此所求的双曲线方程为或word/media/image325_1.png

(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为

由题意，得，解得，所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为＝1．

同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为word/media/image331_1.png

因此所求的双曲线方程为word/media/image332_1.png或word/media/image333_1.png

方法二：设以word/media/image334_1.png为渐近线的双曲线的方程为word/media/image335_1.png

当λ＞0时，由题意得word/media/image336_1.png，解得，此时双曲线方程为

当λ＜0时，由题意得，解得λ＝－1，此时双曲线方程为

因此所求的双曲线方程为或word/media/image342_1.png

【评析】(1)求双曲线的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设双曲线的标准方程(要注意标准方程可能有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．

(2)已知渐近线方程为word/media/image343_1.png时，可借助于共渐近线双曲线系方程word/media/image344_1.png来求双曲线的标准方程．

例2 设F1，F2是双曲线word/media/image345_1.png的两个焦点，点P在双曲线上，且word/media/image346_1.png则的||值等于______．

解：因为所以则

由双曲线定义，知

所以

所以word/media/image353_1.png

例3 如图8－7－1，从双曲线word/media/image354_1.png的左焦点F1引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|TF1|＝_______；｜MO|－｜MT|_______．

图8－7－1

解：连接OT，设此双曲线的实半轴、虚半轴，半焦距的长分别为a，b，c，

则｜OF1｜＝c，｜OT｜＝a，

又OT⊥F1T，所以word/media/image356_1.png

因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2｜MF1｜，2｜MO｜＝｜PF2｜，

所以｜MF1｜－｜MO｜＝a，即｜MT｜＋｜TF1｜－｜MO｜＝a，

则｜MO｜－｜MT｜＝｜TF1｜－a＝2．

【评析】①圆锥曲线的定义反映了它的本质属性，灵活巧妙地利用它可简捷地解决一些问题．②要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合一等．

例4 已知点和，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2．记点C的轨迹为W．

(1)求轨迹W的方程；

(2)设W与直线y＝x－2交于两点D，E，求线段DE的长度．

解：(1)设C(x，y)，则｜｜CA｜－｜CB｜｜＝2，

所以点C的轨迹W为双曲线

且2a＝2，2c＝｜AB｜＝，则a＝1，b2＝c2－a2＝2，

所以轨迹W的方程为

(2)由，得x2＋4x－6＝0，

因为＞0，所以直线与双曲线有两个交点，

设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，

故word/media/image364_1.png

【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标，或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．

例5 如图8－7－2，△AOB的顶点A在射线l：word/media/image365_1.png上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．

图8－7－2

(1)求轨迹W的方程；

(2)设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．

解：(1)因为A，B两点关于x轴对称，

所以AB边所在直线与y轴平行．

设M(x，y)，由题意，得A(x，word/media/image367_1.pngx)，B(x，－word/media/image367_1.pngx)

所以｜AM｜＝x－y，｜MB｜＝y＋word/media/image367_1.pngx，

因为｜AM｜·｜MB｜＝3，

所以(x－y)×(y＋x)＝3，即

所以点M的轨迹W的方程为(x≥1)．

(2)设M(x，y)，则word/media/image373_1.png

因为点M在word/media/image374_1.png，所以y2＝3x2－3，

所以word/media/image375_1.png

若word/media/image376_1.png，即m＜4，则当x＝1时，|MP｜min＝｜m－1|，

若word/media/image377_1.png，即m≥4，则当时，

所以，｜PM｜的最小值

【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；

②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．

练习8－7

一、选择题

1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )

A． B． C． D．word/media/image384_1.png

2．已知双曲线word/media/image385_1.png的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )

A．2 B． C．word/media/image388_1.png D．word/media/image389_1.png

3．已知双曲线word/media/image390_1.png，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )

A．a B．b C．word/media/image391_1.png D．word/media/image392_1.png

4．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则等于( )

A． B． C．word/media/image398_1.png D．word/media/image399_1.png

二、填空题

5．设F1、F2为双曲线word/media/image400_1.png的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F1F2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．

6．与双曲线word/media/image401_1.png共渐近线，且过点word/media/image402_1.png的双曲线的方程______．

7．设双曲线x2＋my2＝1的离心率e＞2，则实数m的取值范围是______．

8．设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若｜PF1｜：｜PF2｜＝3∶2，则△PF1F2的面积为______．

三、解答题

9．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．

10．如图8－7－3，已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．

图8－7－3

(1)求双曲线C的方程；

(2)当k＝1时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为

11．设A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(1)求直线AB的方程；

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?

§8－8 抛物线

【知识要点】

1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：

3．几点注意

(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．

(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．

(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．

【复习要求】

了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．

【例题分析】

例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；

(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．

解：(1)由于点A(2，－4)在第四象限，且坐标轴为对称轴，

所以设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，

将A点的坐标代入，分别得p＝4或word/media/image421_1.png

所以所求的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y．

(2)方法一：设动点P(x，y)，

所以点P到直线l：x＝－6的距离为d＝｜x＋6｜，

由题意得｜PF｜＝d－2，即word/media/image422_1.png

当x＞－6时，上式化为word/media/image423_1.png，即y2＝16x；

当x≤－6时，上式化为，

因为

所以符合的点P不存在．

所以动点P的轨迹方程为y2＝16x．

方法二：由图象易分析出点P不可能在y轴左侧(在此略)，

设直线l1：x＝－4，则y轴右侧的点P到直线l1的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，

由题意，P到点F(4，0)的距离等于它到直线l1：x＝－4的距离，

根据抛物线的定义，知动点P的轨迹方程为y2＝16x．

【评析】求圆锥曲线的方程时，要注意：①其标准方程的不唯一性；②灵活使用圆锥曲线的定义常常可以使问题简化．

例2 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．

(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；

(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；

(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．

(1)解：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为

由抛物线的定义，知｜PF｜等于P到准线的距离，所以

(2)证明：由(1)知

所以2｜PF｜＝2m＋p，｜P1F｜＋｜P2F｜＝x1＋x2＋p，

因为2m＝x1＋x2，

所以2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜．

(3)结论：以AB为直径的圆与y轴相交，理由如下：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB的中点为M

由(1)知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝xA＋xB＋p，

所以以AB为直径的圆的半径为word/media/image431_1.png

因为AB的中点M到y轴的距离为word/media/image432_1.png

所以以AB为直径的圆与y轴相交．

【评析】求抛物线的焦点弦长，利用定义比利用弦长公式更为简便．即：已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与C相交于两点A，B．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则有｜AB|＝xA＋xB＋p．

例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．

解：(1)由抛物线定义知：抛物线C的准线方程为x＝－1．

因为抛物线方程为标准方程，所以word/media/image433_1.png，即p＝2，

所以抛物线C的标准方程是y2＝4x．

(2)设直线PQ：y－2＝k(x－3)或x＝3(舍去)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，