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佩尔方程

发布时间：2023-02-16 23:18:20   来源：文档文库   
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Pell方程新解本文主要研究如何用渐进分数来求pell方程的整数解的问题。xx2何谓渐进分数？如果有一个分数y1，与另一个分数y相减，它的差的分12x1x2x1子为1，那么分数就是分数y2的一个渐进分数。实际上分数y1有许多的渐y1kx1+x2进分数，分数ky+y（k=0，±1，±2，……）都是它的渐进分数。先考察下12面的数列（k和k均为正整数）x，…，xkx(k-1x+xxx+(k-1xx+kx121+x2121+x21212，，…，，…，，，…，y1y2ky1+y2(k-1y1+y2y1+y2y1+(k-1y2y1+ky2在数列中可以看出在k或k等于1时，分数为x1+x2。在其左边的分数都y1+y2x1x2x1+x2是分数y1的渐进分数；在其右边的都为分数y2的渐进分数；而分数y+y同12x1x2时为分数y1和y2的渐进分数，并且相邻的二个分数也互成渐进分数。x1x2如果分数<，那么数列就成为从小到大的排列。设想一下，如果yy12x1x2含有非整数平方根的正整数D，它的平方根√D落在区间（y1，y2）内，那么它也一定会落在数列中某一个由相邻的渐进分数组成的区间内。我们的研究就是寻找这个区间。这样做有二个作用：其一，不断缩小区间的范围，使之缩小与平方根的误差；其二，由渐进分数为端点组成的区间里面，在与平方√D根D具有相同误差条件的所有分数中，区间两端的分数其分子（或分母）的数√2字是最小的。因为pell方程是求x-Dy=1的整数解，未知数x和y正是满足2了区间右端分数的条件。同样地若存在x-Dy=-1的解，那么x和y也满足22了区间左端分数的条件。由此可见只要不断地建立新的渐进分数组成的区间，缩小其区间的范围，那么pell方程的解一定会出现在某个区间的端点上。
第一节求pell方程的解22x1x2x1x2要求pell方程x-Dy=1的解先要建立以渐进分数y1和y2（y1<y2）为端点的区间，使平方根√D落入区间内。如果x2，y2不是方程的解，那么再求系数k（或k），计算出新的渐进分数，建立新的区间。具体的步骤如下：x1x21、找渐进分数y1和y2最简单的x1=[D]，即√D的整数部分，y1=1，x2=[D]+1，y2=1，√√x1x2所得的分数y1和y2就成为一对渐进分数，也是所在第一个区间的二个端√D点。2、求系数k（或k）如果x2，y2不是方程的解，求系数k（k是正整数）。求解下面的不等式+kxx12>D√y1+ky2Dy1y2-x1x2+√D得k>22……①x2-Dy2Dy1y2-x1x2+√D取k=[22]+1x2-Dy2当k=1时，求不等式kx1+x2<（k也是正整数）ky1+y2√Dx1x2-Dy1y2+√D得k>22……②Dy1–x1xx-Dy1y2+√D取k=[1222]+1Dy1–x1x1+kx很显然，当k>1时，D落在区间（x1+(k-1x2，2）中，而当k√y1+(k-1y2y1+ky2=1时，D落在区间（kx1+x2，(k-1x1+x2）内。√ky1+y2(k-1y1+y2在新的区间的基础上继续上述的步骤，不断地求系数k（2，……），ii=1，就可以得到一系列新的逐步缩小的区间，方程的解也就在某个区间的端点上。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/307a9f19bcd126fff6050b35&title=%E4%BD%A9%E5%B0%94%E6%96%B9%E7%A8%8B.html

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