志鸿优化设计2015届高考数学（人教版，文科）一轮总复习课时规范练44 双曲线

课时规范练44　双曲线

一、选择题

1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是(　　)

A.双曲线 B.双曲线左边一支

C.双曲线右边一支 D.一条射线

答案:C

解析:∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.

又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.

2.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A.-y2=1 B.-y2=1

C.=1 D.x2-=1

答案:B

解析:椭圆+y2=1的焦点为(±,0).

因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A,C.

又双曲线-y2=1经过点(2,1),所以选B.

3.如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是(　　)

A.+1 B.-1

C. D.

答案:A

解析:令正六边形的边长为m,则有AD=2m,AB=m,BD=m,

该双曲线的离心率等于+1.

4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为(　　)

A.±2 B.± C.± D.±

答案:C

解析:由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.

又由e=,可解得c=,

则b2=c2-a2=,即b=.

由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.

5.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,的值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

答案:B

解析:设点P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2=4,

|F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1.

又∵=1,∴=3(+1)=6,

·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.

6.(2013山东高考)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:设M,y'='=,故在M点处的切线的斜率为,故M.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选D.

二、填空题

7.(2013江苏高考)双曲线=1的两条渐近线的方程为　　　　　. 

答案:y=±x

解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

8.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为　　　　　. 

答案:-2

解析:由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),

则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.

∵x≥1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,

∴当x=1时,·取得最小值-2.

9.中心在原点的双曲线,一个焦点为F(0,),一个焦点到最近顶点的距离是-1,则双曲线的方程是　　　　　. 

答案:y2-=1

10.设双曲线x2-=1的两个焦点为F1,F2,P是双曲线上的一点,且|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△PF1F2的面积等于　　　　　. 

答案:8

解析:依题意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,又|PF1|∶|PF2|=3∶4,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰△PF1F2的面积为S=×8×=8.

11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,M是双曲线上任意一点,若直线MA1,MA2的斜率之积等于2,则该双曲线的离心率是　　　　　. 

答案:

解析:设点M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),

则直线MA1的斜率是,直线MA2的斜率是,直线MA1,MA2的斜率之积是·,故=2,故该双曲线的离心率e=.

三、解答题

12.已知双曲线C1:=1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,求抛物线C2的方程.

解:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴双曲线的渐近线方程y=±x即为y=±x,

即±x+y=0.

又抛物线的焦点坐标为F,F到渐近线的距离为2,

即=2,解得p=8.

∴抛物线C2的方程为x2=16y.

13.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-),点M(3,m)在双曲线上.

(1)求双曲线方程;

(2)求证:=0;

(3)求△F1MF2的面积.

(1)解:因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.

因为双曲线过点(4,-),

所以16-10=λ,即λ=6.

所以双曲线方程为x2-y2=6.

(2)证明:由(1)可知a=b=,所以c=2.

所以F1(-2,0),F2(2,0).

所以=-.

因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.

故·=-1,所以MF1⊥MF2.所以·=0.

(3)解:△F1MF2的底边长|F1F2|=4,

△F1MF2的高h=|m|=,所以=6.

14.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.

解:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).

在△PF1F2中,由余弦定理,得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos

=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,

即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,

又∵=2,

∴|PF1|·|PF2|·sin=2,

∴|PF1|·|PF2|=8.

∴4c2=4a2+8,即b2=2.

又∵e==2,∴a2=,

∴双曲线的方程为=1.

15.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.

(1)求双曲线C的离心率;

(2)求双曲线C的方程.

解:(1)设双曲线C:=1过一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为α.

因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P.

而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q点.

依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.

又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,

所以tan 30°=.于是e2==1+=1+,

所以e=.

(2)由,可设双曲线方程为=1,即x2-3y2=3k2.

将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-3·3(x-2)2=3k2.化简得8x2-36x+36+3k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|

=2=2

=,求得k2=1.

故所求双曲线C的方程为-y2=1.

四、选做题

1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两曲线交点的连线过点F,则双曲线的离心率为(　　)

A.2+ B.1+ C.2 D.

答案:B

解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,故双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为,根据图形的性质可知两曲线交点的连线AB垂直于x轴,故AB为双曲线的通径,则有=2p,∴p2=,又A在双曲线上,故=1,整理得=1.

设=t,∴t2-4t-4=0,∴t=2+2.

∵e2==1+2+2=3+2=(1+)2,

∴e=1+.

2.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为　　　　　. 

答案:2

解析:不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,

所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.

3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且>2(其中O为原点),求k的取值范围.

解:(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0).

由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1,

所以双曲线C的方程为-y2=1.

(2)将y=kx+代入-y2=1中,

整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,

由题意得

故k2≠且k2<1.①

设A(xA,yA),B(xB,yB),

则xA+xB=,xAxB=,

由·>2得xAxB+yAyB>2,

xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·k·+2=,

于是>2,即>0,解得2<3.②

由①②得2<1,

所以k的取值范围为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2f2fb10a7fd5360cbb1adb0c.html