浙教版数学九年级下册1.2 锐角三角函数的计算（二）.docx

1.2 锐角三角函数的计算(二)

1.利用计算器，求锐角α的度数(精确到1″).

(1)sinα＝0.3475，则α≈20°20′4″ .

(2)cosα＝0.4273，则α≈64°42′13″ .

(3)tanα＝1.2189，则α≈50°38′3″ .

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝.

(1)若BC＝3x，则AB＝5x，AC＝4x，tanA＝，tanB＝，sinB＝.

(2)用计算器可以求得∠A≈36°52′12″，∠B≈53°7′48″(精确到1″).

3.已知梯形的上底长为10 cm，下底长为15 cm，一腰长为8 cm，高线长为4 cm，则两个下底角的度数分别为60°，82°(精确到1°).

4.若一个等腰三角形的三边长分别为6 cm，6 cm，8 cm，则顶角约为(A)

A.83.62° B.93.39°

C.67.38° D.72°

5.现要加工形状如图所示的零件，请根据图示尺寸(单位：mm)计算斜角α的度数(精确到1″).

(第5题)

【解】　∵EG＝DC－AB＝150－124＝26(mm)，

∴FG＝EF－EG＝83－26＝57(mm)，

∴tanα＝＝，∴a≈22°9′12″.

6.根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α＋cos2α＝1.如果关于x的方程3x2sinα－4xcosα＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围.

【解】　由Δ＝16cos2α－24sinα＝16(1－sin2α)－24sinα≥0，得2sin2α＋3sinα－2≤0，

∴(sinα＋2)(2sinα－1)≤0.

∵sinα＋2＞0，∴2sinα－1≤0，

∴sinα≤，∴α≤30°，∴0°＜α≤30°.

7.如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高1.5 m，为了安全，现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1 m的不锈钢架杆AD和BC，且∠DAB＝66.5°.

(第7题)

(1)求点D与点C之间的高度差DH.

(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD＋AB＋BC的长)(精确到1 m，参考数据：cos66.5°≈0.4，sin66.5°≈0.9).

【解】　(1)DH＝1.5×＝1.2(m).

(2)过点B作BM⊥AH于点M.

∵在矩形BCHM中，MH＝BC＝1 m，

∴AM＝AD＋DH－MH＝1＋1.2－1＝1.2(m)，

∴在Rt△AMB中，AB＝≈3 m，

∴不锈钢材料的总长度为1＋3＋1＝5(m).

8.四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m,n，可以证明当AC⊥BD时(如图①)，四边形ABCD的面积S＝mn，那么当AC，BD所夹的锐角为θ时(如图②)，四边形ABCD的面积S＝mnsinθ(用含m,n，θ的代数式表示).

(第8题)

【解】　如解图，设AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F.

(第8题解)

∵AC，BD的夹角为θ，

∴AE＝OA·sinθ，CF＝OC·sinθ，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC

＝BD·AE＋BD·CF

＝BD·(AE＋CF)＝mnsinθ.

9.如图所示，某施工队准备在一段斜坡上铺上台阶以便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4 m，斜面距离BC＝4.25 m，斜坡总长DE＝85 m.

(第9题)

(1)求坡角∠D的度数(精确到1°).

(2)若这段斜坡用厚度为17 cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？

(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95.)

【解】　(1)cosD＝cos∠ABC＝＝≈0.94，∴∠D≈20°.

(2)EF＝DE·sinD＝85×sin20°≈28.9(m)，

28.9×100÷17＝170(级)，∴共需170级台阶.

10.图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.已知BC＝0.64 m，AD＝0.24 m，AB＝1.30 m.

(1)求AB的倾斜角α的度数(精确到1°).

(2)若测得EN＝0.85 m，试计算小明头顶由点M运动到点N的路径的长度(精确到0.01 m).

(第10题)

【解】　(1)过点A作AF∥DC，分别交BC，NE的延长线于点F，H.

∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC，

∴四边形AFCD为矩形，

∴BF＝BC－FC＝BC－AD＝0.40 m.

在Rt△ABF中，∵sinα＝＝，

∴α≈18°.

(2)∵NE⊥AF，∴∠AEH＝90°－α≈90°－18°＝72°，

∴∠MEN＝180°－∠AEH＝108°，

∴l＝≈1.60(m).

11.如图，延长等边三角形ABC的一边CB到点D，连结AD.以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AD于点E，连结BE.已知AC＝2，∠D＝20°，求BE的长(精确到0.1，参考数据：≈1.73，tan 20°≈0.36，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94).

(第11题)

【解】　如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作BG⊥AD于点G.

(第11题解)

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°.

在△ABF中，∵sin∠ABC＝，

∴AF＝sin∠ABC·AB＝≈1.73.

在△ADF中，∵sin D＝，∠D＝20°，

∴AD＝≈5.09.

∵S△ADB＝DB·AF＝AD·BG，DB＝DF－BF＝－BC≈3.79，

∴BG≈1.29.

∵∠D＋∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠DAB＝40°.

又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝(180°－∠EAB)＝70°，

∴∠GBE＝90°－70°＝20°，

∴BE＝≈1.4.

初中数学试卷

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