关于几类不定积分求解方法探讨毕业论文

毕 业 论 文（设计）

论文（设计）题目：关于几类不定积分求解方法的探讨

系 别： 数学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 2008104223

姓 名： 庞娟

指导教师： 黄妙

时 间： 2012年5月

河 池 学 院

毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告

系别: 数学系 专业:数学与应用数学

目 录

摘要 …………………………………………………………………………………1

关键词…………………………………………………………………………………1

引言……………………………………………………………………………………1

1在分部积分中的应用 …………………………………………………………2

1.1 求…………………………………………………………………2

1.2 求和 ………………………………………………2

2 关于形如的解 …………………………………4

2.1 求……………………………………………4

2.2 对的推广 ……………………………………4

3 的递推公式 ………………………………………………8

参考文献 ……………………………………………………………………………9

Abstract………………………………………………………………………………11

Key words……………………………………………………………………………11

图1……………………………………………………………………………………1

致谢 …………………………………………………………………………………12

关于几类不定积分求解方法的探讨

专业：数学与应用数学 庞继娟 指导教师：黄春妙

[摘 要]不定积分是数学分析的一个重要内容，我们常用的求不定积分的方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等. 不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式及性质，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则有一定难度． 有时，我们在计算中也发现有些不定积分不能用直接的方法来计算，这就要求我们在平时运算的过程中，多进行归纳总结及推广.针对我们在学习中遇到的困难，本文将介绍几种类型不定积分的求法.

[关键词] 不定积分；分部积分；万能代换

引言

函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作

，

其中称为积分号，为被积表达式，为积分变量．

不定积分的几何意义是：

（1）若是的一个原函数，则称曲线

为的一条积分曲线．

（2）函数的不定积分

表示的某一条积分曲线沿着纵轴方向任意的向 图（1）

上向下平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线簇．

（3）在每一条积分曲线上横坐标相同的点处

作切线，则这些切线是互相平行的[1]，如图（1）．

不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的.除课本提供的方法外，本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行归纳.

1 在分部积分中的应用

在不定积分的分部积分法中，、和是两类典型的题目．根据函数的导数与只差一个常数因子，以及多项式和三角函数、导数的特点，得出求解上述不定积分的一种方法待定系数法．

1.1 求

因为一个次多项式与的乘积的导数仍是一个次多项式与的乘积，所以，一个次多项式与的乘积的积分仍是一个次多项式与的乘积．故令，其中．两端求导可得：，即：．比较等式两端的系数得 ，．

由此方程组可得的系数，即可求得的不定积分[2].

例1 求．

解 令，则

；；；，

解得 ；；；．

所以 ．

由此可见，用待定系数法解此类题要比用部分积分法解简单.

1.2 求和

因为与的导数仍是这两类函数的线性组合，所以，它们的积分也应是这两类函数的线性组合．故设 两边同时求导得，即

． 比较系数得，代入假设即可求得

．

同样可设，求导化简得，代入假设求得

　．

在实际应用中，我们可以将和的计算结果当做公式来记忆，以提高解题速度． 但是，上述的两个结果与被积函数或不相似，不易记忆，为此我们用以下公式来记忆．

，

，

其中为二阶行列式，等于[3]． 当然，我们可以验证公式与等价，公式与等价．首先验证公式与等价，因为

，

所以有 ，

即公式与等价．同理可证公式与等价．

2 关于形如的解法

2.1求

对于形如，

1. 若，，则

．

2. 若，，则

．

3. 若，，，中至少有一个不为，则

于是有

所以

．

2.2 对的推广

对于的不定积分，其中，，，，，为常数且，，不同时为零，我们也可以类似讨论其解法．

若，或，，为常数，则变得非常简单，在此就不赘述了．

若，，，，，中至少有一个不为，则

于是有

所以

．

至此，还需要求不定积分的解，我们可以用万能代换法，将其化为有理不定积分的形式．

令，则，，，，故

．

在这里我们需要讨论，，的情况.下面进行分类讨论：

情况一：当时，

当时，

为常数．此时，所求的不定积分

为常数．

当时， 为常数．

此时，所求的不定积分

为常数．

当，时与已知条件矛盾，在这里我们可以不讨论．

情况二：当时，

．

令，则当时，

(为常数)．

此时，所求的不定积分

(为常数)．

当时，

(为常数)．

此时，所求的不定积分

(为常数)．

当时，，且

为常数)．

则此时所求的不定积分

(为常数)．

3 的递推公式[6]

平时，在进行不定积分的运算的过程中，我们常会碰到，这类型的，如，，等等.因此，如果我们能推导出这类型不定积分的公式，那么就可以提高我们的解题速度了.下面我们一起来推导出其通用公式：

整理后得：

．

当时有

，

，

，

由此可导出一切，如：

，

，

，

在不定积分运算中，不仅方法是多样的，而且灵活性也较强.那么在实际运算中采用哪种方法，还要因题而宜. 积分问题多样、灵活而复杂，仅仅用教材中的方法不能解决所有的不定积分问题，为了更好地掌握好更多求不定积分的方法，通过多做习题来积累经验，以求在掌握各种方法的同时，灵活运用它们解决问题.

归纳不定积分的计算，其要点是：（1）抓住被积函数的表现特征；（2）选用适当的积分方法；（3）通过一定的计算把积分式子变成13个基本公式中的一个或是几个；（4）应用公式得结果.

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[2] 王洪英.一类不定积分的计算及应用[J].山东师大学报（自然科学版），2001,16（3）:317-318.

[3] 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法[J].广东民族学院学报（自然科学版），1998（4）:92-95.

[4] 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论[J].西南民族大学学报自然科学版，2010,36（2）:169-171.

[5] 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广[J].平顶山学院学报，2009,24（5）：68-70.

[6] 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法[J].重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.

[7] 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解[J].高等数学研究，2005，8（6）：20-24.

A few kinds of Methods of Solving Indefinite Integral

Major：Mathematics and Applied Mathematics Pang Jijuan

Supervisor: Huang Chunmiao

[Abstract] Indefinite integral mathematical analysis is one of the important content, we commonly used for the indefinite integral method is: direct integral method, change yuan integral method and the division of integral method, etc. Indefinite integral is very simple in theory, but use of basic formulas and nature, can only find out some simple integral, for more complex integral, the operation is has the certain difficulty. Sometimes, we also found in the calculation of some indefinite integral can't use direct way to calculate, which require us in the process of operation at ordinary times, many are summarized and promoted. According to our difficulties in study, this paper introduces several types of indefinite integral is also given.

[Key words]Indefinite integral; Division points; Universal substitution

致谢

在这大学四年中，我要感谢所有教过我的老师，感谢他们对我孜孜不倦的教诲。感谢所有给过我帮助的同学们，感谢他们对我的无微的关心。我能够顺利完成毕业论文地撰写，更要感谢我的指导老师黄春妙老师，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，黄老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨向郑黄老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢！

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毕业论文（设计）指导教师评阅表

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毕业论文（设计）评阅教师评阅表

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注：评阅教师至少1人.

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毕业论文（设计）答辩记录表

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毕业论文（设计）答辩情况评价表

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毕业论文（设计）总评成绩评定表

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注：1. 初评成绩由答辩小组评定. 成绩等级：优秀：90－100分；良好：80－89分；中等：70－79分；及格：60－69分；不及格：60分以下.

2. 需重新组织答辩的毕业论文（设计）只限于由答辩小组提出的优秀和不及格毕业论文（设计）.

其他毕业论文（设计）不需要通过系（院）答辩委员会重新组织答辩

3. 重新组织答辩的毕业论文（设计）由系（院）答辩委员会评定成绩.

4. 系（院）答辩委员会主任对初评成绩或系（院）答辩委员会的意见及成绩做最后审定.

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毕业论文（设计）指导记录表

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注：1. 本表由指导教师填写.指导形式包括与学生见面、电话、网络指导等。

2. 指导教师至少指导3次.本表不够填写，可续页。

3. 此表填写一式一份，由学生所在系（院）保存。

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2012 届本科生毕业论文中期检查表

注： 1．此表1－4栏由学生填写。学生填写完后交教学系秘书处。

2．指导教师填写第5栏。

3．此表由学生所在系、院存档。

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毕业论文（设计）学生自主选题审批表

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注:本表分选题填写,每题一页,由系（院）存档。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2e92e002e43a580216fc700abb68a98270feac42.html