求点的轨迹方程的教学实践与反思

《求点的轨迹方程》的教学实践与反思

――新课程理念下的一堂高三复习课

高三复习中，如何在新的课改理念的指导下，更新观念，转换角色，调整教学策略，提高课堂教学的有效性，全面发展学生能力，是我们每个教师应关注的问题，本人就《求点的轨迹方程》一课，在课堂教学中如何落实双基与发展学生的能力作了一些尝试。

课前设计：

教学目标：

知识与技能：

1.能从课前练习中归纳求动点的轨迹方程的四种常用方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法；

2.注意求轨迹方程问题中的易出错误，注意方程的纯粹性和完备性；

3.能选择适当的方法求轨迹方程。

过程与方法：

1.进一步强化类比联想的方法，领会方程，数形结合，分类讨论等数学思想；

2.培养思维的灵活性和严密性；

3.学会在求轨迹时，如何思考问题。

情感态度价值观：

1.感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美；

2.树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。

教学重点：

1.求曲线方程的四种方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法；

2.注意求曲线方程的纯粹性和完备性

教学难点：灵活运用求曲线方程的几何法，代入法。

教学程序与策略：

一． 问题引入：

练习：1.已知向量与关于y轴对称，且，则点的轨迹方程是_________________.

2.中，已知B、C的坐标分别为（－3，0）和（3，0），且的周长为16，则顶点A的轨迹方程为__________________.

3.已知点满足，过P作PF垂直x轴于F点，则PF的中点M的轨迹方程为______________________.

4.已知点满足，则点的轨迹方程为_______________.

学生解决问题，教师巡视，学生口答并归纳求率哟然四种方法。

设计意图：设置问题情境，学生思考，练习，能理解和掌握求曲线方程的四种常用方法，并能自我小结，归纳出求动点轨迹方程的四种常用高度计的规律。

二． 探索研究：

问题1：如图，在中，若的内切圆切边于点且，建立适当的直角坐标系，求顶点的轨迹方程。

word/media/image13_1.png通过师生共同分析，掌握问题1的解法。

设计意图：利用变式教学根据约束动点变动的几何条件，利用圆锥曲线的定义得出动点轨迹方程，并注意方程的纯粹性。

问题2：如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，求重心的轨迹方程（其中为坐标原点）。

word/media/image20_1.png

师生分析寻求解决问题的多种方法。

设计意图：如果没有找到约束动点变化的几何条件，则解决问题的关键是寻找引起变化的原因。

三． 归纳小结：指导并由学生自我小结。

1 求曲线方程的步骤。

2 求曲线方程的常用方法。

3 本节课渗透的数学思想方法

教学实录：

出示练习并由学生单独完成，并请一位同学口答

生1：练1：

练2：

练3：

练4：

师：有没有同学需要补充？

生2：1，3两题答案是对的，2，4两题的答案不完整，结论中少了限制条件。练2应该加上，练4要加上。

师：为什么要加上这些限制条件？

生2：练4中，因为点在圆上，所以应该有这个限制条件。练2中，因为当共线时，不能构成三角形，所以应该有这个条件。

师：我再提个问题，这4个练习分别用了求轨迹方程中的什么方法，求轨迹方程的步骤是什么？

生3：求轨迹方程的过程，应体现五个步骤，它们是：

⑴建立适当的直角坐标系，设动点坐标;

⑵有根据限制条件写出动点的集合

⑶坐标代入;

⑷化简方程;

⑸说明坐标满足方程的点在曲线上。

4个练习中，1是直接法，2是定义法，3是相关点代入法，4是参数法。

师：口答得很好，在这5个步骤中你们认为最关键的是哪一步？

生4：是第2步，写出约束动点变化的限制条件，将此条件转化为代数形式，就可以得出动点的轨迹方程了。

师：很好，找出约束动点变化的限制条件是求动点轨迹方程的关键！在求解此类问题时要有找“限制条件的意识”。

教师把练2中的条件改变一下，接着提问题。

出示问题1，学生思考，解答，教师巡视。

学生解答过程用多媒体展示，现摘录其一。

生5：以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立如图所示直角坐标系。

word/media/image31_1.png

，，

动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，

方程为。

师：你是如何得出？

生5：设是⊙与相切的切点，则, , ,

。

师：动点的轨迹为什么不是整支双曲线？

生5：这个约束条件不是双曲线的定义，是双曲线的一个分支。

师：回答得很好。如果限制条件符合自己已经学习过的曲线定义，则可以比较容易地写出动点的轨迹方程，如果限制条件不符合圆锥曲线的定义，又如何解决这类问题呢？

继续出示问题2，请同学思考，请一个学生回答。

生6：设直线的方程为，

设。

联立方程，

;

;

又G是的重心，

;

消去，得点G的轨迹方程是。

师：解法对吗？大家说说看。

生7：直线可以垂直轴，所以有可能不存在。解题时要分为两种情况。当不存在时，满足所求方程。

生8：设直线的方程为：，则可以避免对直线的斜率的讨论，结论和方法都不会改变。

师;你真聪明。本题与问1的题设条件不一样，不易写出动点G在变动时所满足的几何条件，但却容易看出，直线绕焦点F转动是引起点G变动的原因。因些，我们可以用直线的斜率过渡，建立起G横、纵坐标之间的联系，也就是动点G的轨迹方程。

接下来，教师继续改变问题。

问题3：已知椭圆的一动弦与长轴垂直，且与相交于点，求点的轨迹方程。

这个问题有一定难度，问2是直线绕F点旋转引起变化，现在是动直线平移，求两条动直线的交点的轨迹。

教师借助几何画板的演示，让学生观察、讨论，寻求解题途径，几分钟后，有学生举手回答。

生9：设

则的方程为：;

的方程为：

两直线的交点为，联立方程组，解得

又点在椭圆上，代入椭圆方程得

师：为什么先设点的坐标呢？

生9：因为直线是引起动点运动的原因。

师：这样说来，寻找到了引起动点运动的原因是解决问题的关键。很好。如果把椭圆改为，其余条件不变，则点的轨迹方程是什么？

若将椭圆类比到双曲线，试写出类似的结论。

生10：在的条件下，轨迹方程为，

类比为双曲线，则轨迹方程为。

教师用几何画板演示，验证结论的正确性。

师： 现在我们回顾刚才几个问题的解题过程，当你在遇到求点的轨迹方程问题时，你该从何思考？

生11：首先应该看一看，根据题意是否能找出约束动点变动的限制条件，如果有，则可以直接把几何条件用代数形式表示出来，如果限制条件是我们熟悉的曲线形状，就可以直接根据定义写出它的方程。

生12：寻找约束动点的限制条件是关键，如果题中没有约束动点变化的限制条件，我们就要寻找动因。

……

师：大家都谈得很好，我们在求点的轨迹方程问题时，通常可以从下面两条思路来思考。

一是题中是否可以找到约束动点变化的限制条件，如果有，而且曲线形状还是我们熟悉的，我们就可以直接写出方程。如果有，但曲线形状是未知的，我们就可以利用求轨迹方程的五个步骤去探求。

二是寻找引起动点运动的原因。如果动因找到了，我们就可以将动因与所求动点坐标建立起联系，从而解决问题。

教后反思：

一． 强调基础知识

这节课是一堂高三复习课，学生已经学习了曲线方程的概念，求曲线的方程的步骤等基础知识，设计中我以4个填空题作为基本问题，学生通过对4个填空题的分析解答，找到求点的轨迹方程的4种方法。一方面加深了对曲线和方程概念的理解、记忆和运用基础知识的目的，另一方面也巩固了求曲线方程的基本方法。

二． 重视基本技能训练

在课堂教学中要落实双基教学，让学生熟练地掌握基本技能，必须将基本技能由浅入深、由低到高、由简单到复杂，形成系列，先让学生运用基础知识和基本热能解决一些简单的基本问题，最后综合和灵活运用它们解决一些较复杂的问题，本节课中，求曲线的轨迹方程的热能训练有三个层次：

1. 运用求点的轨迹方程的常用方法解决简单的基本问题（如练习）

2. 运用求点的轨迹方程的常用方法解决一般的轨迹问题（如问1）

3. 灵活运用点的轨迹方程的方法解决较复杂的轨迹问题

三． 教学生“学会思考”

在高三阶段，相对来说，学生缺少的主要是“能力”――知识运用的能力、分析问题的能力、解决问题的能力。所以，我们要始终把对学生能力的培养、提高放在十分重要的位置，因此在本堂课的设计中，把求轨迹问题思考的出发点作为本课的核心内容。通过本课的复习，力求使学生在遇到求轨迹问题时，学会自己思考问题，知道自己该如何下手，而不是利用各种方法进行简单机械地操作，设计问1力求培养学生纵向思维和横向思维，提升学生分析问题，解决问题的能力。问3中设计了研究性问题，使得学生不仅要复习数学知识，还需要通过复习发现问题进而解决问题，着重培养学生类比、推广等探究能力，整堂课强调过程教学、启发思维，调动学生学习数学的积极性，让学生真正参与其中。

四． 如何实施解题教学

解题教学在高三总复习中占有相当的比重。在解题教学中，必须让学生养成良好的习惯，强调表达规范。这里包括审题规范、语言表达规范、答案规范，因此在高三教学中，应尽量做到至少示范一道题的解题过程，因此在本堂课中，我展示了学生的解答过程，其目的就是想在发现问题的同时，起到规范解题过程的作用，让学生自己教育自己。

解题教学还要注意变式练习。本堂课对练2这个问题，不断地改变题中的条件，加强了逻辑性，提高了效率。同时也培养了学生的发散思维，形成探究意识，从而提高应变能力。

解题教学必须注意总结反思。必须做到题后反思，条件用在哪里了？结论合理吗？解题的规律是什么？必须在质量上下功夫。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2ce60572cec789eb172ded630b1c59eef9c79a6e.html