线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1.线面垂直

直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:

直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直

两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直面面垂直)

如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:

两平面垂直的性质定理:(面面垂直线面垂直)

若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.

例题:1.如图,AB就是圆O的直径,C就是圆周上一点,PA⊥平面ABC.

(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(2)若D也就是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图,棱柱的侧面就是菱形,

证明:平面平面

3、如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M就是棱CC1的中点

(Ⅰ)求异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值;

(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M1

4、如图,就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,平面ABC.若AE⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB上任意一点,求证:平面AEF⊥平面PBC.

5、如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA1 ＝,D 就是A1B1 中点.(1)求证C1D ⊥平面A1B ;(2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明您的结论

6、S就是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC、

7、在四棱锥中,底面ABCD就是正方形,侧面VAD就是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD

证明:AB⊥平面VAD

8、如图,平行四边形中,,,将沿折起到的位置,使平面平面、

求证:

9、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别就是AP、AD的中点

求证:(1)直线EF‖平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD

10、如图,在三棱锥中,平面平面,、过作,垂足为,点分别就是棱的中点。

求证:(1)平面//平面

（2）

11、如图,在三棱锥中,分别就是棱的中点,已知、

求证:(1)直线平面;

（2）平面平面

12、如图,在正方形中,就是的中点,就是的中点。现在沿将向上折起,在折起的图形中解答下列问题:

（1）在线段上就是否存在一点,使得平面?若存在,请正明您的结论;若不存在,请说明理由。

（2）若平面平面,求证:平面平面

13、如图,在四棱锥中,,,

分别就是的中点。

（1）求证:平面;

（2）求证:平面平面

14、如图,直四棱柱中,,AD=,,为上一点,

（1）证明:平面;

（2）求点到平面的距离。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/27e30a4416791711cc7931b765ce050877327512.html