“垂径定理”与解题思路分析
垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据,也是学好本章的基础,在学习中要注意以下几点:
一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础
同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折,直径两边的两个半圆就会重合在一起。因此,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折,直径两侧的两个半圆能重合这一事实,指出圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,然后利用这一性质给出了垂径定理,并利用圆的对称性证明。所以,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系
在垂径定理(推论)中,一是隐含着一条直线;二是该直线具有以下性质:(1)经过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分这条弦,(4)平分这条弦所对的劣弧,(5)平分这条弦所对的优弧。垂径定理可以简记为:
由于垂径定理本身的结论有多个,因此在构造逆命题时也会有多个,这就需要掌握构造逆命题的技巧。例如:以(1)、(3)为条件的逆命题为:如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径),那么这条直线垂直于弦,且平分弦所对的弧。类似地,同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时,这条直线唯一确定,所以,上述九个逆命题都是真命题,它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。对于这十条定理,同学们切不可死记硬背,关键要抓住它们的特点,即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质,就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时,所说的弦不是直径,这是因为如果这里的弦是直径的话,两条直径总是互相平分的,但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题
垂径定理及其推论,主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系,其内容虽然简单,但要能灵活应用却非易事。现举例说明。
1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角
例1.已知如图,△ABC内接于⊙O,BD⊥AO交AC于D,求证:AB·BC=BD·AC。
思路分析:欲证AB·BC=BD·AC
即证AB/AC=BD/BC,
需证△BAD∽△CAB,已有公共角∠BAD=∠BAC,还需证圆周角∠ABD=∠C,则需证明,
显然延长BD交△ABC的外接圆于E,运用垂径垂直平分弦所对的弧即可得证。
2、利用垂径垂直平分弦,构成等分线段
例2.如图,AB是⊙O的直径,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求证:CE=DF。
思路分析:过O作OH⊥CD,即得证。
例3.已知如图3,AB是⊙O的直径,弦CD在AB一侧,CE⊥CD于E,DF⊥CD于F。求证:AE=BF。
思路分析:此题是圆和直角梯形,且点O是AB的中点,由此联想梯形基本辅助线,故作OG⊥CD于G,再联系垂径垂直平分弦有OE=OF,故AE=BF。
3、利用垂径垂直弦,构造成特殊四边形
例4.如图,半径为10cm的⊙O中,弦AB⊥CD于E,AB=CD=16cm,求OE的长。
思路分析:把OE放到三角形或特殊四边形才有利于计算。故作OF⊥AB于F,OG⊥CD于G, EGOF为正方形,得OE。
4、利用垂径垂直弦,构造特殊三角形
例5.如图,⊙O的弦AB>CD,AB、CD的弦心距分别为OM和ON,
求证:OM
思路分析:连结OA,OC,在Rt△OAM和Rt△OCN中得到
,因为AB>CD,则,
又OA=OC,从而OM
5、利用垂径是过圆心的直径,构造成勾股定理
例6. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是的中点,BD交AC于E,CDword/media/image12_1.png,O到AC的距离为1,求⊙O的半径。
思路分析:欲求半径R,须过D作⊙O直径DG,
则FG=R+1,DF=R-1,利用勾股定理、相交弦定理和垂径定理
可得到word/media/image14_1.png,
故word/media/image15_1.png,
由此解得R=3。
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