高中数学必修一函数大题（含详细解答）(1)

高中函数大题专练

２、对定义在word/media/image1_1.png上，并且同时满足以下两个条件的函数word/media/image2_1.png称为word/media/image3_1.png函数。

① 对任意的word/media/image4_1.png，总有word/media/image5_1.png；

② 当word/media/image6_1.png时，总有word/media/image7_1.png成立。

已知函数word/media/image8_1.png与word/media/image9_1.png是定义在word/media/image10_1.png上的函数。

（1）试问函数word/media/image11_1.png是否为word/media/image12_1.png函数？并说明理由；

（2）若函数word/media/image13_1.png是word/media/image12_1.png函数，求实数word/media/image14_1.png的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程word/media/image16_1.pngword/media/image17_1.png解的个数情况。

3.已知函数word/media/image18_1.png.

（1）若word/media/image19_1.png，求word/media/image20_1.png的值；

（2）若word/media/image21_1.png对于word/media/image22_1.png恒成立，求实数word/media/image23_1.png的取值范围.

4.设函数word/media/image24_1.png是定义在word/media/image25_1.png上的偶函数.若当word/media/image26_1.png时，word/media/image27_1.pngword/media/image28_1.png

（1）求word/media/image24_1.png在word/media/image29_1.png上的解析式.

（2）请你作出函数word/media/image24_1.png的大致图像.

（3）当word/media/image30_1.png时，若word/media/image31_1.png，求word/media/image32_1.png的取值范围.

（4）若关于word/media/image33_1.png的方程word/media/image34_1.png有7个不同实数解，求word/media/image35_1.png满足的条件.

5．已知函数word/media/image36_1.png。

（1）若函数word/media/image37_1.png是word/media/image38_1.png上的增函数，求实数word/media/image39_1.png的取值范围；

（2）当word/media/image40_1.png时，若不等式word/media/image41_1.png在区间word/media/image42_1.png上恒成立，求实数word/media/image43_1.png的取值范围；

（3）对于函数word/media/image44_1.png若存在区间word/media/image45_1.png，使word/media/image46_1.png时，函数word/media/image44_1.png的值域也是word/media/image47_1.png，则称word/media/image44_1.png是word/media/image47_1.png上的闭函数。若函数word/media/image48_1.png是某区间上的闭函数，试探求word/media/image49_1.png应满足的条件。

6、设word/media/image50_1.png，求满足下列条件的实数word/media/image51_1.png的值：至少有一个正实数word/media/image52_1.png，使函数word/media/image53_1.png的定义域和值域相同。

7．对于函数word/media/image54_1.png，若存在word/media/image55_1.png ，使word/media/image56_1.png成立，则称点word/media/image57_1.png为函数的不动点。

（1）已知函数word/media/image58_1.png有不动点（1，1）和（-3，-3）求word/media/image59_1.png与word/media/image60_1.png的值；

（2）若对于任意实数word/media/image60_1.png，函数word/media/image61_1.png总有两个相异的不动点，求word/media/image59_1.png的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数word/media/image62_1.png存在（有限的）word/media/image63_1.png 个不动点，求证：word/media/image63_1.png必为奇数。

8．设函数word/media/image64_1.png的图象为word/media/image65_1.png、word/media/image66_1.png关于点A（2，1）的对称的图象为word/media/image67_1.png，word/media/image67_1.png对应的函数为word/media/image69_1.png.

（1）求函数word/media/image70_1.png的解析式；

（2）若直线word/media/image71_1.png与word/media/image67_1.png只有一个交点，求word/media/image72_1.png的值并求出交点的坐标.

9．设定义在word/media/image73_1.png上的函数word/media/image74_1.png满足下面三个条件：

①对于任意正实数word/media/image75_1.png、word/media/image76_1.png，都有word/media/image77_1.png；

②word/media/image78_1.png；

③当word/media/image79_1.png时，总有word/media/image80_1.png.

（1）求word/media/image81_1.png的值；

（2）求证：word/media/image82_1.png上是减函数.

10． 已知函数word/media/image83_1.png是定义在word/media/image84_1.png上的奇函数，当word/media/image85_1.png时，word/media/image86_1.png（word/media/image87_1.png为常数）。

（1）求函数word/media/image83_1.png的解析式；

（2）当word/media/image88_1.png时，求word/media/image83_1.png在word/media/image89_1.png上的最小值，及取得最小值时的word/media/image90_1.png，并猜想word/media/image83_1.png在word/media/image91_1.png上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当word/media/image92_1.png时，证明：函数word/media/image93_1.png的图象上至少有一个点落在直线word/media/image94_1.png上。

11.记函数word/media/image95_1.png的定义域为word/media/image96_1.png，word/media/image97_1.png的定义域为word/media/image98_1.png，

（1）求word/media/image96_1.png：

（2）若word/media/image99_1.png，求word/media/image100_1.png、word/media/image101_1.png的取值范围

12、设word/media/image102_1.png。

（1）求word/media/image103_1.png的反函数word/media/image104_1.png：

（2）讨论word/media/image105_1.png在word/media/image106_1.png上的单调性，并加以证明：

（3）令word/media/image107_1.png，当word/media/image108_1.png时，word/media/image105_1.png在word/media/image109_1.png上的值域是word/media/image110_1.png，求word/media/image111_1.png 的取值范围。

13．集合A是由具备下列性质的函数word/media/image112_1.png组成的：

(1) 函数word/media/image112_1.png的定义域是word/media/image113_1.png；

(2) 函数word/media/image112_1.png的值域是word/media/image114_1.png；

(3) 函数word/media/image112_1.png在word/media/image115_1.png上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数word/media/image116_1.png，及word/media/image117_1.png是否属于集合A？并简要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数word/media/image112_1.png，不等式word/media/image118_1.png，是否对于任意的word/media/image119_1.png总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

14、设函数f(x)=axword/media/image120_1.png+bx+1（a,b为实数）,F(x)=word/media/image121_1.png

（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)word/media/image122_1.png成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当xword/media/image123_1.png时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

15．函数f(x)=word/media/image124_1.png(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？

(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案

２、对定义在word/media/image1_1.png上，并且同时满足以下两个条件的函数word/media/image2_1.png称为word/media/image3_1.png函数。

① 对任意的word/media/image4_1.png，总有word/media/image5_1.png；

② 当word/media/image6_1.png时，总有d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngword/media/image7_1.png成立。

已知函数word/media/image8_1.png与word/media/image9_1.png是定义在word/media/image10_1.png上的函数。

（1）试问函数word/media/image11_1.png是否为word/media/image12_1.png函数？并说明理由；

（2）若函数word/media/image13_1.png是word/media/image12_1.png函数，求实数word/media/image14_1.png的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程word/media/image16_1.pngword/media/image17_1.png解的个数情况。

解：（1） 当word/media/image126_1.png时，总有word/media/image127_1.png，满足①，　　　　　　　

当word/media/image6_1.png时，

word/media/image128_1.png，满足

（2）因为h（x）为G函数，由①得，h(0)13dea729e4229f3f0ae3ceb792668805.png,由②得，h(0+0)d871caac112fc0a2039d49b61a782304.pngh(0)+h(0)

所以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（3）根据（２）知：　a=1，方程为word/media/image131_1.png， 　　　　　

由word/media/image132_1.png　得　word/media/image133_1.png　　　　　　　　 　

令word/media/image134_1.png，则word/media/image135_1.png

由图形可知：当word/media/image136_1.png时，有一解；

当word/media/image137_1.png时，方程无解。　　 　

７．对于函数word/media/image54_1.png，若存在word/media/image55_1.png ，使word/media/image56_1.png成立，则称点word/media/image57_1.png为函数的不动点。

（1）已知函数word/media/image58_1.png有不动点（1，1）和（-3，-3）求word/media/image59_1.png与word/media/image60_1.png的值；

（2）若对于任意实数word/media/image60_1.png，函数word/media/image61_1.png总有两个相异的不动点，求word/media/image59_1.png的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数word/media/image62_1.png存在（有限的）word/media/image63_1.png 个不动点，求证：word/media/image63_1.png必为奇数。

解：（1）由不动点的定义：word/media/image138_1.png，∴word/media/image139_1.png

代入word/media/image140_1.png知word/media/image141_1.png，又由word/media/image142_1.png及word/media/image143_1.png知word/media/image144_1.png。

∴word/media/image145_1.png，word/media/image146_1.png。

（2）对任意实数word/media/image60_1.png，word/media/image58_1.png总有两个相异的不动点，即是对任意的实数word/media/image60_1.png，方程word/media/image138_1.png总有两个相异的实数根。

∴word/media/image139_1.png中word/media/image147_1.png，

即word/media/image148_1.png恒成立。故word/media/image149_1.png，∴word/media/image150_1.png。

故当word/media/image151_1.png时，对任意的实数word/media/image60_1.png，方程word/media/image54_1.png总有两个相异的不动点。 ………...................1’

（3）word/media/image62_1.png是R上的奇函数，则word/media/image152_1.png，∴（0，0）是函数word/media/image62_1.png的不动点。

若word/media/image62_1.png有异于（0，0）的不动点word/media/image153_1.png，则word/media/image154_1.png。

又word/media/image155_1.png，∴word/media/image156_1.png是函数word/media/image62_1.png的不动点。

∴word/media/image62_1.png的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，

所以有word/media/image157_1.png个（word/media/image158_1.png），加上原点，共有word/media/image159_1.png个。即word/media/image63_1.png必为奇数

８．设函数word/media/image64_1.png的图象为word/media/image65_1.png、word/media/image66_1.png关于点A（2，1）的对称的图象为word/media/image67_1.png，word/media/image67_1.png对应的函数为word/media/image69_1.png.

（1）求函数word/media/image70_1.png的解析式；

（2）若直线word/media/image71_1.png与word/media/image67_1.png只有一个交点，求word/media/image72_1.png的值并求出交点的坐标.

解．（1）设word/media/image160_1.png是word/media/image161_1.png上任意一点，word/media/image162_1.png ①

设P关于A（2，1）对称的点为word/media/image163_1.png

代入①得word/media/image164_1.png

word/media/image165_1.png

（2）联立word/media/image166_1.png

word/media/image167_1.png或word/media/image168_1.png

（1）当word/media/image169_1.png时得交点（3，0）； （2）当word/media/image170_1.png时得交点（5，4）.

9．设定义在word/media/image73_1.png上的函数word/media/image74_1.png满足下面三个条件：

①对于任意正实数word/media/image75_1.png、word/media/image76_1.png，都有word/media/image77_1.png；

②word/media/image78_1.png；

③当word/media/image79_1.png时，总有word/media/image80_1.png.

（1）求word/media/image81_1.png的值；

（2）求证：word/media/image82_1.png上是减函数.

解（1）取a=b=1，则word/media/image171_1.png

又word/media/image172_1.png. 且word/media/image173_1.png.

得：word/media/image174_1.png

（2）设word/media/image175_1.png则：word/media/image176_1.pngword/media/image177_1.png

word/media/image178_1.png 依word/media/image179_1.png

再依据当word/media/image180_1.png时，总有word/media/image181_1.png成立，可得word/media/image182_1.png

即word/media/image183_1.png成立，故word/media/image184_1.png上是减函数。

10． 已知函数word/media/image83_1.png是定义在word/media/image84_1.png上的奇函数，当word/media/image85_1.png时，word/media/image86_1.png（word/media/image87_1.png为常数）。

（1）求函数word/media/image83_1.png的解析式；

（2）当word/media/image88_1.png时，求word/media/image83_1.png在word/media/image89_1.png上的最小值，及取得最小值时的word/media/image90_1.png，并猜想word/media/image83_1.png在word/media/image91_1.png上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当word/media/image92_1.png时，证明：函数word/media/image93_1.png的图象上至少有一个点落在直线word/media/image94_1.png上。

解：（1）word/media/image185_1.png时，word/media/image186_1.png， 则 word/media/image187_1.png， ∵函数word/media/image83_1.png是定义在word/media/image84_1.png上的奇函数，即word/media/image188_1.png，∴word/media/image189_1.png，即 word/media/image86_1.png，又可知 word/media/image190_1.png，∴函数word/media/image83_1.png的解析式为 word/media/image86_1.png ，word/media/image191_1.png；

（2）word/media/image192_1.png，∵word/media/image88_1.png，word/media/image193_1.png，∴word/media/image194_1.png，

∵ word/media/image195_1.png，∴word/media/image196_1.png，

即 word/media/image197_1.pngword/media/image198_1.png时，word/media/image199_1.png 。

猜想word/media/image83_1.png在word/media/image91_1.png上的单调递增区间为word/media/image200_1.png。

（3）word/media/image92_1.png时，任取word/media/image201_1.png，∵word/media/image202_1.png，

∴word/media/image203_1.png在word/media/image84_1.png上单调递增，即word/media/image204_1.png，即word/media/image205_1.png，word/media/image92_1.png，∴word/media/image206_1.png，

∴word/media/image207_1.png，∴当word/media/image92_1.png时，函数word/media/image93_1.png的图象上至少有一个点落在直线word/media/image94_1.png上。

11.记函数word/media/image95_1.png的定义域为word/media/image96_1.png，word/media/image97_1.png的定义域为word/media/image98_1.png，

（1）求word/media/image96_1.png：

（2）若word/media/image99_1.png，求word/media/image100_1.png、word/media/image101_1.png的取值范围

解：（1）word/media/image208_1.png，

（2）word/media/image209_1.png，由word/media/image99_1.png，得word/media/image210_1.png，则word/media/image211_1.png，即

word/media/image212_1.png， word/media/image213_1.pngword/media/image214_1.png。

12、设word/media/image102_1.png。

（1）求word/media/image103_1.png的反函数word/media/image104_1.png：

（2）讨论word/media/image105_1.png在word/media/image106_1.png上的单调性，并加以证明：

解：（1）word/media/image215_1.png

（2）设word/media/image216_1.png，∵word/media/image217_1.png

∴word/media/image218_1.png时，word/media/image219_1.png，∴word/media/image220_1.png在word/media/image106_1.png上是减函数：word/media/image221_1.png时，word/media/image222_1.png，∴word/media/image220_1.png在word/media/image106_1.png上是增函数。

13．集合A是由具备下列性质的函数word/media/image112_1.png组成的：

(1) 函数word/media/image112_1.png的定义域是word/media/image113_1.png；

(2) 函数word/media/image112_1.png的值域是word/media/image114_1.png；

(3) 函数word/media/image112_1.png在word/media/image115_1.png上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数word/media/image116_1.png，及word/media/image117_1.png是否属于集合A？并简要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数word/media/image112_1.png，不等式word/media/image118_1.png，是否对于任意的word/media/image119_1.png总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

解：（1）函数word/media/image223_1.png不属于集合A. 因为word/media/image224_1.png的值域是word/media/image225_1.png,所以函数word/media/image223_1.png不属于集合A.(或word/media/image226_1.png，不满足条件.)

word/media/image227_1.pngword/media/image228_1.png在集合A中, 因为: ① 函数word/media/image229_1.png的定义域是word/media/image113_1.png；② 函数word/media/image229_1.png的值域是word/media/image114_1.png；③ 函数word/media/image229_1.png在word/media/image115_1.png上是增函数．

（2）word/media/image230_1.png，

word/media/image231_1.png对于任意的word/media/image232_1.png总成立

14、设函数f(x)=axword/media/image120_1.png+bx+1（a,b为实数）,F(x)=word/media/image121_1.png

（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)word/media/image122_1.png成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当xword/media/image123_1.png时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

解：（1）word/media/image233_1.pngf(-1)=0 ∴word/media/image234_1.png由f(x)word/media/image235_1.png0恒成立 知△=bword/media/image236_1.png-4a=(a+1)word/media/image237_1.png-4a=(a-1)word/media/image238_1.png0

∴a=1从而f(x)=xword/media/image237_1.png+2x+1 ∴F(x)=word/media/image239_1.png ，

（2）由（1）可知f(x)=xword/media/image236_1.png+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=xword/media/image120_1.png+(2-k)x+1，由于g(x)在word/media/image240_1.png上是单调函数,知-word/media/image241_1.png或-word/media/image242_1.png，得kword/media/image243_1.png-2或kword/media/image244_1.png6 ，

（3）word/media/image245_1.pngf(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴word/media/image246_1.png在word/media/image247_1.png上为增函数

对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函数且F(x)在word/media/image248_1.png上为增函数，

word/media/image249_1.pngm>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)

∴F(m)+F(n)>0 。

15．函数f(x)=word/media/image124_1.png(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？

(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程word/media/image250_1.png=x的解，

所以word/media/image251_1.png=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=word/media/image252_1.png。

(2)f(x)=word/media/image253_1.png，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即word/media/image254_1.png=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，f(x)+f(–4–x)=word/media/image255_1.png=……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

(3)|AP|2=(x+3)2+(word/media/image256_1.png)2，设x+2=t，t≠0， 则|AP|2=(t+1)2+(word/media/image257_1.png)2=t2+2t+2–word/media/image258_1.png+word/media/image259_1.png=(t2+word/media/image259_1.png)+2(t–word/media/image260_1.png)+2=(t–word/media/image261_1.png)2+2(t–word/media/image262_1.png)+10=( t–word/media/image262_1.png+1)2+9，

所以当t–word/media/image262_1.png+1=0时即t=word/media/image263_1.png，也就是x=word/media/image264_1.png时，|AP| min = 3 。

16、已知函数word/media/image265_1.png是奇函数。

（1）求word/media/image266_1.png的值；

（2）请讨论它的单调性，并给予证明。

解（1）word/media/image267_1.pngword/media/image268_1.png是奇函数，word/media/image269_1.png；

即word/media/image270_1.png，解得：word/media/image271_1.png，其中word/media/image272_1.png（舍）；

经验证当word/media/image271_1.png时，word/media/image273_1.png确是奇函数。

（2）先研究word/media/image274_1.png在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则

word/media/image275_1.png

得word/media/image276_1.png>0，即word/media/image274_1.png在（0，1）内单调递减；

由于word/media/image274_1.png是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数word/media/image274_1.png在（－1，0）内单调递减。

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