数学试卷

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合 M = {x ∈ Z | -1 ≤ x ≤ 1}, N = {x ∈ Z | x(x - 2) ≤ 0} ，则 M ⋂ N = ( )

A．{-1,2}

B.{0,1}

C.{-1,0,1}

D.{-1,0,1,2}

2. 若 z = 3 + 4i + iz （ i 是虚数单位），则 z = （ ）

1- i

3 5

A． B．2 C．

2 2

D．3

→ → → → → → → →

3. 已知向量 a ，b 满足 a = 2 ， b = 1 且 a+ b = 2 ，则 a 与 b 夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

2 3 8 4

4. 已知数列{an }是公比不为 1 的等比数列， sn 为其前 n 项和，满足a2 = 2 ，且

16a1 ,9a4 ,2a7 成等差数列，则 s3 = （ ）

A．5 B．6 C．7 D．9

A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高

C. 从两图看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D. 从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长

 1+ ex ⎪

10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别为线段CD 和 A1B1 上的动点

且满足CE = A1F ，则四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）

3

A. 有最小值

2

5

B. 有最大值

2

C. 为定值 3 D．为定值 2

11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为 1 的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋

线，它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为90 的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

π

A． B．

4

39π

160

19π+1

C．

80

19π+ 2

D．

80

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13.某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按

1，2，…，360 随机编号，则抽取的 20 人中，编号落入区间[181, 288] 的人数为 ．

14.已知圆C : (x - 3)2 + ( y -1)2 = 3 及直线l : ax + y - 2a - 2 = 0 ，当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为 .

15.如图，矩形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，将∆ABM 沿直线 AM 翻折成∆AB1M ， 连结 B1D ， N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是 .

①存在某个位置，使得CN ⊥ AB ；

②翻折过程中， CN 的长是定值；

③若 AB = BM ，则 AM ⊥ B1D ；

④若 AB = BM = 1 ，当三棱锥 B1 - AMD 的体积最大时，三棱锥 B1 - AMD 的外接球的表面积是 4π.

16.在∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，c = 4 ，a = 4 2 sin A ，且C 为锐角 ，则∆ABC 面积的最大值为 .

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共 60 分．

17．（12 分）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 = 4 ， S5 = 25 ．

（1）求数列{a }的通项公式；（2）记b = 1 ，求数列{b }的前 n 项和T ．

an+1a

n n

n+2

18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， PD ⊥ 平面 ABCD ，点 E ， F 分别为 AD ， PC 的中点．

PD = DC = 2 ，

（Ⅰ）证明：

DF / / 平面 PBE ；

（Ⅱ）求点 F 到平面 PBE 的距离．

19．（12 分）近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的 A 指标 x 和 B 指标 y ，数据如下表所示：

（1） 试求 y 与 x 间的相关系数 r ，并说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系（若

| r |≥ 0.75 ，则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.

（2） 建立 y 关于 x 的回归方程，并预测当 A 指标为 7 时， B 指标的估计值.

（3） 若某城市的共享单车 A 指标 x 在区间( x - 3s, x + 3s) 的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至 A 指标 x 在区间( x - 3s, x + 3s) 内现已知C 省某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由.

参考公式：回归直线 y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为

数学参考答案

1、选择题

1—5：BCDCD 6—10：DBCCD 11—12：DC

2、填空题

13：6 14： 15：②④ 16：

3、解答题

17：（1）设等差数列的首项为，公差为，因为 ，，

则：，解得，

所以．---------------------------------------------------------------------（6分）

（2）由于，

所以．

则．-------（12分）

18：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接， ，则，且，

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面．----------（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法： ，即， ，

∵， ，∴，∴．--------------------（12分）

19：（1）由题得，

所以，，

则.

因为，所以与具有较强的线性相关关系.-------------------------------------（5分）

（2）由（1）得，，

所以线性回归方程为.------------------------------------------------------------（8分）

当时，，

即当指标为7时，指标的估计值为4.6.--------------------------------------------------（10分）

（3）由题得，

因为，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.----------------------------------（12分）

20：（1）直线的一般方程为.

依题意，解得，故椭圆的方程式为.--------（4分）

（2）假若存在这样的直线，

当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，

所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.

由，得.

由，得.

记，的坐标分别为，，

则，，

而 .---------------------------------（8分）

要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，

即 ，

所以 ，

整理解得或，

所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.-------------------------------（12分）

21：（1）函数的定义域为，，

令，则，，

（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，------------（2分）

（ii）若，则，

当时，0' altImg='10644bc491a071b5b5b1c90f133b5ac1.png' w='88' h='21' class='_21'>，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，0' altImg='10644bc491a071b5b5b1c90f133b5ac1.png' w='88' h='21' class='_21'>，是增函数，-----------------------------------------（4分）

（iii）若，则，

当时，0' altImg='10644bc491a071b5b5b1c90f133b5ac1.png' w='88' h='21' class='_21'>，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，0' altImg='10644bc491a071b5b5b1c90f133b5ac1.png' w='88' h='21' class='_21'>，是增函数

综上所述：当时，在上是增函数，

当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

--------------------------------------------------------------------------------------------------------（6分）

（2）当时，

在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

所以的极小值为，

的极大值为,

设，其中，

0' altImg='992615bf221d01e61d08b2b4d832c582.png' w='396' h='50' class='_21'>,

所以在上是增函数，

所以，

因为，

所以有且仅有1个，使.

所以当时，有且仅有1个零点.------------------------------------------（12分）

22：（1）曲线，，

曲线的直角坐标方程为，即，

直线的参数方程为：（为参数），

直线的普通方程为：----------------------------------------------（5分）

（2）直线的参数方程为：（为参数），

代入，得，

，

．---------------------------------（10分）

23：（I）因为，所以.

① 当时，得，解得，所以;

② 当时，得，解得，所以;

③ 当时，得，解得，所以;

综上所述，实数的取值范围是 ------------------------------------------------（6分）

（II） ，因为,

所以 -----------------------------------------------（10分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2789cdef2a4ac850ad02de80d4d8d15abe2300cc.html