北京民大附中2019-2020学年高二下学期3月月考数学试题Word版含解析

北京民大附中2019-2020学年下学期3月月考

高二数学试题

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1．若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（　　）

A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅

2．已知，是非零向量，若向量是平面α的一个法向量，则“•=0”是“向量所在的直线平行于平面α”的（　　）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（　　）

A．8 B．5 C．3 D．2

4．一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．60 B．84 C．96 D．120

5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（　　）

A．800 B．1000 C．1200 D．1500

6．已知实数x、y可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（　　）

A．1 B．17 C．1或17 D．9

8．在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m，则等于（　　）

A．1 B． C． D．0

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．

9． =　　．

10．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=　　．

11．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n（n∈N*）上”为事件Cn，若事件Cn发生的概率最大，则n的取值为　　．

12．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn，且Sn，an，1成等差数列，则an=　　．

13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是　　．

14．设函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：

①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；

②在区间（﹣∞，﹣4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；

则实数m的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）．

15．某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数 据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1．

（1）请完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；

（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；

（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

17．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣3（m∈R），g（x）=xlnx

（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，求m的值；

（Ⅱ）求函数g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；

（Ⅲ）∀x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点A．B．

（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；

（Ⅱ）若△PAB的面积为时，求直线l的方程．

19．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=|F1F2|．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

20．如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）=x就是N函数．

（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2，②y=2x﹣1，③y=[]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；

（Ⅱ）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；

（Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•ax]都不是N函数．

（注：“[x]”表示不超过x的最大整数）

北京民大附中2019-2020学年下学期3月月考

高二数学试题答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1．若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（　　）

A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅

【考点】交集及其运算．

【分析】据集合的表示法知两个集合一个表示直线一个表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集．

【解答】解：∵M={（x，y）|x+y=0}表示的是直线x+y=0

又N={（x，y）|x2+y2=0}表示点（0，0）

∵（0，0）在直线x+y=0上

∴M∪N=M

故选项为A

2．已知，是非零向量，若向量是平面α的一个法向量，则“•=0”是“向量所在的直线平行于平面α”的（　　）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：若向量是平面α的法向量，则⊥α，

若•=0，则∥α，则向量所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，

若向量所在直线平行于平面α或在平面α内，则∥α，

∵向量是平面α的法向量，

∴⊥α，

则⊥，即•=0，即必要性成立，

则•=0是向量所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，

故选：B．

3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（　　）

A．8 B．5 C．3 D．2

【考点】循环结构．

【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．

【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1

k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2

k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3

k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3

故选：C

4．一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．60 B．84 C．96 D．120

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图还原原图形，可得原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．然后由正方形面积及三角形面积公式求得该几何体的表面积．

【解答】解：由三视图还原原几何体，原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．

∴该几何体的表面积为：

S=6×6+4×=96．

故选：C．

5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（　　）

A．800 B．1000 C．1200 D．1500

【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式．

【分析】根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

【解答】解：∵a、b、c构成等差数列，

∴a+c=2b，

则第二车间生产的产品数为=1200，

故选：C

6．已知实数x、y可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】几何概型．

【分析】根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0＜x＜2，0＜y＜2”表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，而（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1表示的区域为圆内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．

【解答】解：设取出的两个数为x、y；

则有0＜x＜2，0＜y＜2，其表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，

而（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1表示的区域为以（1，1）为圆心，1为半径的圆内部的部分，如图，

易得其面积为S圆=π；

则（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是P=；

故选A．

7．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（　　）

A．1 B．17 C．1或17 D．9

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．

【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，

点P在双曲线上

（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17

（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1

故选：C

8．在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m，则等于（　　）

A．1 B． C． D．0

【考点】计数原理的应用．

【分析】确定n，m的值，即可得出的值．

【解答】解：由题意，以这4个顶点确定的三角形的个数为n==24，在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m==12，所以等于，

故选B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．

9． =　﹣+　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求解．

【解答】解：

=

=

=

=﹣+．

故答案为：．

10．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=　1　．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．

【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，

∴sinB=，

∵b＜c，

故B=，则A=

由正弦定理得

∴a==1

故答案为：1

11．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n（n∈N*）上”为事件Cn，若事件Cn发生的概率最大，则n的取值为　3，4　．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】由题意，基本事件个数为有限个，且概率相等，故为古典概型．

【解答】解：由题意，点P的所有可能情况有：

（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共6种；

事件C2有1种，事件C3有2种，事件C4有2种，事件C5有1种，

故若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4．

故答案为：3，4．

12．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn，且Sn，an，1成等差数列，则an=　2n﹣1　．

【考点】数列的求和．

【分析】Sn，an，1成等差数列，可得Sn+1=2an．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．

【解答】解：∵Sn，an，1成等差数列，

∴Sn+1=2an，即Sn=2an﹣1．

∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an=2an﹣1，

∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为2．

∴anz=2n﹣1．

故答案为：2n﹣1．

13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是　　．

【考点】分层抽样方法．

【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求出所求．

【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，

∴高三每一位学生被抽到的概率是 ．

高一年级每一位学生被抽到的概率是

故答案为：．

14．设函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：

①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；

②在区间（﹣∞，﹣4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；

则实数m的取值范围是　（﹣4，﹣2）　．

【考点】函数的值．

【分析】由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立；由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．

【解答】解：解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，

又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，

则，

∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0．

又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0

∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立

∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，

（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，

（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，

（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．

综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．

故答案为：（﹣4，﹣2）．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）．

15．某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数 据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1．

（1）请完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率．

【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35．故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1．

（2）用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1．

（3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为．

【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35．

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