数学笔记排列组合

排列组合题型总结

一． 直接法

1． 特殊元素法

例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复得四位数,试求满足下列条件得四位数各有多少个

(1)数字1不排在个位与千位

(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位与千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理:=240

2.特殊位置法

(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下得有,共有=192所以总共有192+60=252

二． 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法=252

例2 有五张卡片,它得正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同得三维书？

分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同得三位数个,其中0在百位得有个,这就是不合题意得。故共可组成不同得三位数-=432(个)

三． 插空法 当需排元素中有不能相邻得元素时,宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目得节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法？

分析:原有得8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有=100中插入方法。

四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻得元素时,宜用捆绑法。

例4 4名男生与3名女生共坐一排,男生必须排在一起得坐法有多少种？

分析:先将男生捆绑在一起瞧成一个大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排法,又乘法原理满足条件得排法有:×=576

练习1.四个不同得小球全部放入三个不同得盒子中,若使每个盒子不空,则不同得放法有 种()

2． 某市植物园要在30天内接待20所学校得学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同得安排方法有()(注意连续参观2天,即需把30天种得连续两天捆绑瞧成一天作为一个整体来选有其余得就就是19所学校选28天进行排列)

五． 阁板法 名额分配或相同物品得分配问题,适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班得学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。

分析:此例得实质就是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种得11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额得分配方式,故有种

练习1、(a+b+c+d)15有多少项？

当项中只有一个字母时,有种(即a、b、c、d而指数只有15故。

当项中有2个字母时,有而指数与为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即

当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可

当项种4个字母都在时 四者都相加即可.

练习2.有20个不加区别得小球放入编号为1,2,3得三个盒子里,要求每个盒子内得球数不少编号数,问有多少种不同得方法？()

3.不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同得整数解有()

六． 平均分堆问题 例6 6本不同得书平均分成三堆,有多少种不同得方法？

分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同得书平均分成三堆方式有=15种

练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法？

2.某年级6个班得数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法得种数。

七． 合并单元格解决染色问题

例7 (全国卷(文、理))如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同得着色方法共有 种(以数字作答)。

分析:颜色相同得区域可能就是2、3、4、5.

下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同得着色方法相当于4个元素 ①③⑤得全排列数

(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法.

(ⅲ)当2、4与3、5分别同色时,将2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格

①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有种方法.

由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)

练习1(天津卷(文))将3种作物种植

在如图得5块试验田里,每快种植一种作物且相邻得试验田不能种植同一作物 ,

不同得种植方法共 种(以数字作答) (72)

2.(江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色得花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色得话,不同得栽种方法有 种(以数字作答).(120)

图3 图4

3.如图4,用不同得5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求得不同着色种数.(540)

4.如图5:四个区域坐定4个单位得人,有四种不同颜色得服装,每个单位得观众必须穿同种颜色得服装,且相邻两区域得颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同得着色方法就是 种(84)

图5 图6

5.将一四棱锥(图6)得每个顶点染一种颜色,并使同一条棱得两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同得染色方法共 种(420)

八． 递推法

例八 一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同得走法？

分析:设上n级楼梯得走法为an种,易知a1=1,a2=2,当n≥2时,上n级楼梯得走法可分两类:第一类:就是最后一步跨一级,有an-1种走法,第二类就是最后一步跨两级,有an-2种走法,由加法原理知:an=an-1+ an-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89、故走上10级楼梯共有89种不同得方法。

九、几何问题

1.四面体得一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点,使它们与点A在同一平面上,不同得取法有 种(3+3=33)

2、四面体得棱中点与顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面？

(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)

(2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

一十． 先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同得选派方法有( )

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5054种

分析:先从10人中选出2人

十一.用转换法解排列组合问题

例10.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同得结果有多少种.

解 把问题转化为四个相同得黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻得排列问题.=20种

例11． 个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟不同得带法.

解 把问题转化为5个相同得白球不相邻地插入已经排好得10个相同得黑球之间得9个空隙种得排列问题.=126种

例12 从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续得自然数,有多少种不同得去法.

解 把稳体转化为10个相同得黑球与990个相同白球,其其中黑球不相邻得排列问题。

例13 某城市街道呈棋盘形,南北向大街5条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短得走法有多少种.

解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同得白球与四个相同得黑球得排列问题.=35(种)

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同得走法.

解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个相同得黑球与6个相同得白球得排列问题.=924(种).

例15 求(a+b+c)10得展开式得项数.

解 展开使得项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2个相同得黑球与10个相同得白球得排列问题.=66(种)

例16 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好得顺序参加擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现得比赛过程有多少种？

解 设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列得出场顺序,若以依次被淘汰得队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插得一个排列,最后师胜队种步被淘汰得队员与可能未参加参赛得队员,所以比赛过程可表示为5个相同得白球与5个相同黑球排列问题,比赛过程得总数为=252(种)

十二.转化命题法

例17 圆周上共有15个不同得点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内得交点最多有多少各？

分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦得四端点为顶点得圆内接四边形,则问题化为圆周上得15个不同得点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内得交点最多有=1365(个)

十三.概率法

例18 一天得课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,那么该天得课程表有多少种排法？

分析:在六节课得排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前得概率相等,均为,故本例所求得排法种数就就是所有排法得,即A=360种

十四.除序法 例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字得七位数中,

(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个？

(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7得次序也一定得有多少个？

解(1)(2)

十五.错位排列

例20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出得卡片,则不同得分配方法有 种(9)

公式 1) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.

2)=n!(1-+-+…+

练习 有五位客人参加宴会,她们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,她们得妻子都发现她们戴了别人得帽子,问5位客人都不戴自己帽子得戴法有多少种？(44)

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