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2011年《创新设计》4-4

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4.4正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则263A.
3
239B.
3
C.
393
133D.
3
a＋b＋c
的值为(
sinA＋sinB＋sinC
1
解析：∵S△ABC＝3，即bcsinA＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
2
∴a＝13，∴
a＋b＋ca213239
＝＝＝.
3sinA＋sinB＋sinCsinA3
答案：B
43
2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝22，b＝，则∠A等于(
3A．15°
B．75°
C．105°
D．75°或15°
22×43
3
22
3.2
解析：根据正弦定理
cbcsinB＝，sinC＝b＝sinCsinB
＝
∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D
abc3．在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题
sinBsinCsinA
p是命题q的(A．充分不必要条件C．充要条件


B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
abcabc
解析：若△ABC是等边三角形，则＝＝；若＝＝，
sinBsinCsinAsinBsinCsinAa＝bc，abc2
又＝＝，则b＝ac，sinAsinBsinC
c2＝ab，答案：C
4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是
(A．(1,2

B．(2，＋∞C．[3，＋∞D．(3，＋∞
2

即a＝b＝c.∴p是q的充要条件．
解析：设△ABC三内角为A、B、C，其对边为a、b、c，且A<B<C，由2∠B＝∠A＋
csinC
∠C，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，可得∠B＝60°，由已知∠A<30°.m＝a＝＝
sinA

sin(60°＋A31
＝cotA＋>2.
sinA22答案：B二、填空题
5．在△ABC中，sinA＋cosA＝
5sinA＋4cosA7
，则＝________.1315sinA－7cosA
120289
，∴cosA＜0，即A为钝角，∴(sinA－cosA2＝，169169
解析：由已知2sinAcosA＝－∴sinA－cosA＝答案：
8
43
171258，则sinA＝，cosA＝－.原式＝.13131343
ab
6．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＋＝________.
b＋cc＋a解析：因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac＋(b2＋bc＝(b＋c(c＋a，所
ab以＋＝1，故填1.b＋cc＋a答案：1
7．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC为________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.b2＋c2－a2bc1
在△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝＝，∴∠A＝60°.
2bc2bc2b2
由b＝ac，即a＝，代入a2－c2＝ac－bc整理得(b－c(b3＋c3＋cb2＝0，
c
2
∴b＝c.则△ABC为正三角形．答案：60°正三角形三、解答题
8．(2009·湖南在△ABC中，已知，求角A、B、C的大小．解答：设△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，由
2cosA＝3，①
，得
bc＝3a2，②
3
，又0°＜A＜180°，则A＝30°，2

由①cosA＝
b2＋c2－a2b2＋c2－a23
根据余弦定理cosA＝，即＝，③
2bc2bc2②代入③整理得3b2－4bc＋3c2＝0，

4c±则b＝
16c2－12c2
，解得b＝3c，或c＝3b.
23
当b＝3c时，c＝a，则C＝A＝30°，B＝180°－(A＋C＝120°；当c＝3b时，b＝a，则B＝A＝30°，C＝180°－(A＋B＝120°.综上可知：A＝C＝30°，B＝120°或者A＝B＝30°，C＝120°.
9．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
解答：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积
11
S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.
22

1
∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC．∴S＝(AB·AD＋BC·CDsinA
21
＝(2×4＋6×4sinA＝16sinA.2
由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.
在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC.1∵20－16cosA＝52－48cosC，∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－，
2∴A＝120°，S＝16sin120°＝83.
10．在△ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为
3＋1
，求△ABC的最大角．2
解答：解法一：设最大边为a，最小边为c，边a、c所对角为A、C，3＋13＋13＋1asinA
则c＝，由正弦定理＝，即sinA＝sinC.
2sinC22又sinA＝sin[180°－(B＋C]＝sin(B＋C＝sinBcosC＋cosBsinC＝∴
3＋131
sinC＝cosC＋sinC，222
31
cosC＋sinC，22
即sinC＝cosC．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C＝75°.

3＋1a2＋c2－b21a
解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则＝，由＝，则b2＝a2＋
c22ac2
2
c－ac.
a2a2·2－cca2＋b2－c22a2－ac2
cosC＝＝＝＝.
2ab2aa2a2aa2＋c2－ac
2·－＋1cc2c又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C＝75°.

A＋BC1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tan＋tan＝4,2sin
22
BcosC＝sinA，求A，B及b，c.CCcossin22A＋BCCC1
解答：由tan＋tan＝4得cot＋tan＝4，∴C＋C＝4，∴CC＝4.
2222
sincossincos22221π5π
∴sinC＝，又C∈(0，π，∴C＝，或C＝，
266由2sinBcosC＝sinA得2sinBcosC＝sin(B＋C，
π2π
即sin(B－C＝0，∴B＝C，B＝C＝，A＝π－(B＋C＝，
631
2abcsinB
由正弦定理＝＝得b＝c＝a＝23×＝2.
sinAsinBsinCsinA3
2
2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1证明sinα＋cos2β＝0；(2若AC＝3DC，求β的值．

解答：(1证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，
∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos2β＝－sinα，即cos2β＋sinα＝0.①
DCAC(2在△ADC中，＝，即sinβ＝3sinα.②
sinαsinβ①代入②整理得：23sin2β－sinβ－3＝0.解得sinβ＝
33
，或sinβ＝－舍去，又β为锐角，则β＝60°.23

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1c19564cfe4733687e21aa0f.html

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