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大学物理课后习题详解(第八章)中国石油大学

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第8章
8-1目前可获得的极限真空为1.331011Pa，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?（设温度为27℃）
[解]由理想气体状态方程pnkT
得p
NV
kT，
11
6
故N
pVkT

1.3310110300
1.3810
23
3.2110
3
cm
3

8-2使一定质量的理想气体的状态按pV图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线．
（1）已知气体在状态A时的温度是TA300K，求气体在B、C、D时的温度．
（2）将上述状态变化过程在VT图（T为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向．
[解]（1）由理想气体状态方程B这一等压过程中
VATAVBVA
VBTB
pVT
恒量，可得A→

则TB
TA
2010
300600K
因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则
TCTB600K
C→D为等压过程，则
VDTD

VCTC

TD
VDVC
TC
2040
600300K
（2）
VL
40
C
3020
D
B
100
A
300
600
TK

8-1

8-3有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1和N2个,它们的方均根速率都是v0，求：（1）两部分的分子数密度和压强各是多少?
（2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?
[解]（1）分子数密度n1由压强公式：p
13
nmv
2
N1V1
2
N1V
n2
N2V2
2
N2V

可得两部分气体的压强为
p1
13n1mv
20

2mN1v0
3V
2
p2
13
n2mv
20

2mN2v0
3V
2

（2）取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为n
NV

N1N2
V
混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：
p
13nmv
2

N1N2mv3V
20


8-4在容积为2.5103m3的容器中，储有11015个氧分子，41015个氮分子，
3.310
7
g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强．
[解]由pnkT
n
N3
3.310
2110
15
N1N2N3
V
7

9.93310
15
16
6.0210410
15
23

23
则p
N1N2N3
V
kT
99.3310
3
2.510
1.3810
4330.25Pa
8-5有2103m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75102J．（1）试求气体的压强．
（2）设有5.41022个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度．[解]（1）理想气体的内能EN
i2
kT（1）NV
kT（2）
2
理想气体的压强pnkT
由（1）、（2）两式可得p（2）由EN
i2
2E5V

26.751052102E

3
1.3510Pa26.7510
2
22
5
kT则T
5kN51.3810
23
5.410
362K
8-2

又w
32
kT
32
1.3810
23
3627.510
21
J
8-6一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为
510
6
mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总
转动动能是多少?总动能是多少?
[解]由理想气体状态方程p
N
pVkT
510
6
NV
kT得
5
1.013101010300
6
6
7601.381032
32
23
1.6110
12
个
所以总的平均动能为：
EtN
32kT
pVkT
32kT
pV
510
1.01310760
1.01310760
5
5
1010
6
110
8
J
将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为：
ErN
22kT
pVkT
kTpV
510
6
1010
6
0.66610
8
J
总动能EkEtEr1.666108J
8-7某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试求：（1）质子的平均动能是多少电子伏?（2）质子的方均根速率是多少?
[解]质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能
E
32kT
32
1.3810
23
10
8
/1.60210
19
1.2910eV
4
质子的方均根速率为：
vp
2
3kTmp

31.3810
23
10
8
1.67310
27
1.5710
6
ms

8-8容器内某理想气体的温度T273K，压强p1.00103atm,密度为1.25g/m3,求：（1）气体分子的方均根速率；
（2）气体的摩尔质量，是何种气体?
（3）气体分子的平均平动动能和转动动能；（4）单位体积内气体分子的总平动动能；（5）气体的内能．设该气体有0.3mol．[解]（1）由pVRT所以
v
2

3kTm

3p


31.0010
3
1.01310
3
5
1.2510
493ms
（2）气体的摩尔质量
8-3

MmolN0mN0
kTp

6.0210
23

1.2510
3
1.3810
3
23
273
5
1.00101.01310
0.028kgmol
所以该气体是N2或CO（3）气体分子的平均平动动能

32kT
32
1.3810
23
2735.6510
21
J
气体分子的转动动能
2
22
kT1.3810
23
2733.7710
21
J
（4）单位体积内气体分子的总平动动能
En1
pkT
32kT
32p
32
1.0010
3
1.01310
5
1.5210
2
Jm
3

（5）该气体的内能
E0.3Emol0.3
i2
RT0.3
52
8.312731.7010J
3

8-9容积为10103m3的容器以速率200ms匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子．
[解]由能量守恒定律知又因Ek
M
12
Mv
2
Ek
MM
2
i2
2
RT
MM
mol
27
52
RT
4
mol
所以T由p
NVkTNV
kT
mol
5R
v
mv5k

3.3510410
23
51.3810
1.94K
p
MkTmV

5010
3
1.3810
27
23
1.94
3
3.35101010
4.010Pa
4

8-10一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）?
[解]由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和1mol水蒸气的内能E1
62
RT3RT
12
mol氧气．设温度为T，
8-4

1mol氢气的内能E2
12
5212
RT52RT
54RT34RT
mol氧气的内能E3
所以EE2E3E1所以内能增加的百分比为
EE1
100%25%

8-11求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比．[解]根据题意，由麦克斯韦分布定律
N
m4N2kT
32
e

mv
2
2kT
vv
2
又vp
2kTm
NN

v

vp
2
所以
4

vp
3
evv
2
4v
vp
e
2
v

vp
2
vvp

v0.02vpv在vp附近，vvpv
p100p100

vp

vp
NN

4

e
1
0.021.66%

8-12速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义：（1）f(vdv；（2）Nf(vdv；（3）

v2
v1
（4）f(vdv；

v2
v1
（5）Nf(vdv；

v2
v1
vf(vdv．
[答]f(v表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比．
（1）f(vdv表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；
（2）Nf(vdv表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数；
（3）

v2
v1
或者说该分子速率在v1~v2间隔f(vdv表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，
内的分子数占总分子数的百分比；
（4）（5）

v2
v1v2
Nf(vdv表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数；
vf(vdv无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平
v1
均值的贡献．
8-5

8-13由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当v>2v0时，f(v0，求：（1）常数a；
（2）速率大于v0和小于v0的粒子数；
（3）分子的平均速率．
[解]（1）由归一化条件知曲线下的面积
S32
12
v0av0a1
所以
v0a1得到a
23v0

12
13
13
（2）v<v0时，曲线下的面积S1v>v0时，曲线下的面积S2（3）v
23
v0
v0a
，所以粒子数为N1
23N
N
，所以粒子数为N2
vf1vdv
0
2v0
vfvdv
0v
2v0
0
vf2vdv
由图知f1v
av0
vf2va
所以v
0
v0
v
2
av0
dv
v
2v0
0
avdv
av03
2

3a2
v0
2
116
av0
2
119
v0
8-14容积为30103m3的容器中，储有20103kg的气体，其压强为
50.710Pa．求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率．
3
[解]设容器内气体分子总数为N，则有N
MN
kTpV
pVkT

该气体分子质量为m最概然速率为vp
2kTm

2kTpVM
kT

M

2pVM

250.7103010
2010
3
33
3.9010ms
2
平均速率为v
8kT

8kTpV

8pV

850.7103010
3.142010
3
3
3
mMkTM
4.4010ms
2
方均根速率
v
2
3kTm

3kTpVM
kT

3pVM

350.7103010
2010
8-6
3
33
4.7810ms
2

8-15质量为6.21014g的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为
1.40cm/s．
（1）计算阿佛加德罗常数．
（2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率．
[解]（1）由方均根速率公式
v
2

3RTM
mol
得到M
mol

3RTv
2

阿佛加德罗常数为N0
M
mol
m8RT

3RTvm
2

38.31300
1.410
2
2
6.210
17
6.1510
23
/mol
（2）v
M
3RTM
1.60
RTMRTM
molmol

mol
而
v
2
1.73

mol
所以v
1.601.73
v
2
1.601.73
1.4010
2
1.2910
2
ms
8-16由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值．(xebxdx
v
2
1

2
12b
．
0
m
[解]由麦克斯韦分布律fv4
2kT1
所以
v

32
e

mv
2kT
v
2

1v
fvdv
0


1
0
m4v2kT
32
m
e2kTvdv4
2kT

2
mv
2
32
2kT
2m
2mkT
12


8-17大气压强随高度的变化规律为pp0exp(
M
mol
gh
RT
．拉萨海拔约3600m，设大
气温度为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是
2910
3
kg/mol．海平面处大气压为1atm．
2910
3
9.83600
[解]拉萨大气压强为p1e
8.31300
atm0.664atm

8-18实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760mmHg计，温度取273K）．
[证明]因为大气压强随高度变化规律为p1p0exp

Mgh
RT
mol
8-7

升高h后大气压为p2p0exp

M
mol
ghh

RT
所以
Mmolgh
pp2p1p0exp
RT

7601exp

3
expMmolgh
RT
1
29109.810
8.31273

10.95mmHg


8-19重力场中粒子按高度的分布为nn0emgh
/kT
．设大气中温度随高度的变化忽略
不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半．
[解]由pnkT知，当大气压强减为原来的一半时，nn02由nn0emgh即h
8-20试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率．取分子的有效直径为3.51010m，空气平均摩尔质量为29103kg/mol．
[解]平均自由程

12dn
2
/kT
得，emgh
/kT

12

ln2kTmg

ln2RTM
mol
g

ln28.313002910
3
9.8
6080m

kT2dp
2

1.3810
23
273
23.143.510
10

2
1.01310
5
6.8410
8
m
平均碰撞频率
z
2dvn
2
2d
2
8RT
M
10

pkT
8.312732910
3
mol
23.143.510

2
1.60
1.013101.3810
23
5

6.5410s
9
1
273

8-21一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为v0，平均碰撞频率为z0，平均自由程为0．若温度升高为4T0时，求v、z和各是多少?
[解]平均速率v
8RT
M

mol
故当T4T0时，v2
8RT0
M
2v0
mol
8-8

平均碰撞频率zd2vn
因为容器体积不变，分子数密度不变，所以zd2vn2d2v0n2z0平均自由程
12dn
2

由于n不变，所以0
8-22设气体放电管中气体分子数密度为n．电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计．求电子与气体分子碰撞的平均自由程．
[解]因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效半径为
d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为
2
1d2
Zvndvn
42
所以平均自由程为
vZ

4
dn
2

8-23在质子回旋加速器中，要使质子在1105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为3.51010m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动．
[解]空气分子的有效直径为31010m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为d2
2
按题意，要求在体积Vd2ll1105km最多有一个分子才能满足条件，所
2
以单位体积内空气分子数为n
4
1V

4
dl
2

23
所以空气压强为pnkT
dl
2
kT
41.3810300
3.143.510
10

2
10
8
4.3110
10
Pa
8-24真空管的线度为102m，其中真空度为1.33103Pa，设空气分子的有效直径为
310
10
m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率．
[解]由pnkT知
8-9

n
pkT

1.33101.3810
23
3
300
3.2110
17
3/m
平均自由程
12dn
2

1
23.14310
102

3.2110
17
m7.79m
而真空管的线度为102m，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为102m．
平均碰撞频率由
v
8RT
1
vZ
知
88.313003.142910
3
Z


M
mol

10
2
4.6810s
41

8-10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1a04b333f111f18583d05ac4.html

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