三角形内角平分线的性质定理的证明
1、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例.
2、证明 已知：如图，
. 求证：
.
方法一：利用平行线作等比代换.
证明：作DE//BC，DE交AC于点E，则.
，
又，∴
，于是DE=EC.
∴
方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.
如图，作BE//DC，BE交AC的延长线于点E，则，
，
.
又，得
，于是 BC=CE， 则
.
方法三：进行逆推分析，若在AC的延长线上作一个CE=BC，则只要BE//DC.
延长AC到点E，使CE=BC，连接BE，则.又
，
，∴
，于是 BE//DC. 则
=
.
证法4：如图20.改变△ADC的一个内角的大小，把它改造为△AEC，使之与△BDC相似并作等量代换.
第一种情况：当时，不妨设
，
，以AC为一边，在
的同侧，作
，AE与CD的延长线交于点E.又
，∴△ACE∽△BCD.
则，而
. ∴AE=AD，于是
，即
.
第二种情况：当AC=BC时，∵，∴AD=BD ∴
.
方法五：这是把有一组角相等的一组三角形都改造成直角三角形，从而证明相似，进而作等比代换.
请同学们动手试一试！
方法六：这个面积法的关键是，把一组有关的三角形△ACD和△BCD的面积，用两种方式各表达一次，写成了等式.
请同学们动手试一试！
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