K12学习2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.8 曲线与方程真题演练集训 理 新人

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.8 曲线与方程真题演练集训 理 新人教A版

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.

所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，

从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积为

S＝|MN||PQ|＝12.

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．

2．[2016·湖北卷]一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点， AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

①　　　　　　　　　　②

(1)求曲线C的方程；

(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且||＝||＝1，

所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，

且

即且t(t－2x0)＝0.

由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，

于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－.

代入x＋y＝1，可得＋＝1，

故曲线C的方程为＋＝1.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.

②当直线l的斜率存在时，

设直线l：y＝kx＋m，

由消去y，可得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，

即m2＝16k2＋4.(*1)

又由可得P；

同理可得Q.

由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，

可得S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|

＝|m|＝.(*2)

将(*1)代入(*2)，得

S△OPQ＝＝8.

当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；

当0≤k2<时，S△OPQ＝8＝8.

因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，

所以S△OPQ＝8≥8，

当且仅当k＝0时等号成立．

所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.

综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

课外拓展阅读

参数法求轨迹方程

[典例]　已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，则点M的轨迹为________．

[审题视角]　(1)点M的运动是由点A的运动引起的，而A的变动又和OA的斜率有关．(2)若OA的斜率确定，A的坐标确定，M的坐标也确定，所以可以选OA的斜率为参数．

[解析]　设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为y＝kx，

显然k≠0，则直线OB的方程为y＝－x.

由得点A的坐标为，

同理可得，点B的坐标为(4pk2，－4pk)．

从而知当k≠±1时，

kAB＝＝.

故得直线AB的方程为y＋4pk＝(x－4pk2)，

即y＋4p－x＝0，①

直线OM的方程为y＝－x.②

可知点M的坐标同时满足①②，

由①及②消去k，得4px＝x2＋y2，

即(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，

当k＝±1时，容易验证点M的坐标仍适合上述方程．

故点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，

其轨迹是以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆．

[答案]　以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆

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