2018-2019学年福建省厦门外国语学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）[精品]

2018-2019学年福建省厦门外国语学校九年级（上）

期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．一元二次方程（﹣1）＝0的根是（　　）

A．1 B．0 C．2和1 D．0和1

3．将抛物线y＝2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y＝2+2 B．y＝2﹣2 C．y＝（+2）2 D．y＝（﹣2）2

4．如图，AB为⊙o直径，，则下列说法错误的是（　　）

A．∠CBD＝90° B．∠CBA＝∠ABD

C．∠ACB＝90° D．

5．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原的图案重合，那么n的值可能是（　　）

A．45 B．60 C．90 D．120

6．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（　　）

A．33° B．57° C．67° D．66°

7．关于的一元二次方程a2+b＝0（a≠0）的一根为＝2018，则关于的方程a（+2）2+b（+2）＝0的根为（　　）

A．2020 B．2018 C．2017 D．2016和﹣2

8．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（　　）

A．5m/s B．10m/s C．20m/s D．40m/s

9．已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝a2+4a+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）

A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9

10．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（　　）

A．12.75 B．13 C．13.33 D．13.5

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　 　．

12．将抛物线y＝2﹣4+3写成顶点式为　 　．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为　 　．

14．若二次函数y＝22﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a　 　b（填“＜”或“＝”或“＞”）．

15．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是　 　°．

16．在直角坐标系Oy中，对于点P（，y）和Q（，y′），给出如下定义：

若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．

请问：若点P在函数y＝﹣2+16（﹣5≤≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是　 　．

三、解答题

17．（8分）解方程：2+2＝3

18．（8分）如图，在平面坐标系Oy中，点A的坐标为（1，0），点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90°得到点C．

（1）直接写出点B和点C的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．

19．（8分）关于的一元二次方程2﹣（+3）+2+2＝0有一个根小于1，求的取值范围．

20．（8分）如图，在⊙O中，＝，求证：∠B＝∠C．

21．（8分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．

（1）y与之间的函数关系式为　 　（不需写自变量的取值范围）；

（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？

22．（10分）已知二次函数y＝2﹣6m+9m2+n（m，n为常数）

（1）若n＝﹣4，这个函数图象与轴交于A，B两点（点A，B分别在轴的正、负半轴），与y轴交于点C， 试求△ABC面积的最大值；

（2）若n＝4m+4，当轴上的动点Q到抛物线的顶点P的距离最小值为4时，求点Q的坐标．

23．（11分）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，E是上一点，连接AE，作OG∥AE交CE于点G．

（1）求证：BE＝EG；

（2）判断AE与CG的数量关系，并证明．

24．（11分）若实数a，b满足a+b＝1时，就称点P（a，b）为“平衡点”．

（1）判断点A（3，﹣4）、是不是平衡点；

（2）已知抛物线y＝2+（p﹣t﹣1）+q+t﹣3（t＞3）上有且只有一个“平衡点”，且当﹣2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．

25．（14分）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，

（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是　 　（填写序号即可）；

（2）判断∠A和∠BEC的数量关系，并证明；

（3）点N是BD的中点，连接MN，若MN＝2，求BE的值．

参考答案

一、选择题

1．解：A是中心对称图形，符合题意．

B、C、D不是中心对称图形，不符合题意；

故选：A．

2．解：（﹣1）＝0，

＝0或﹣1＝0，

所以1＝0，2＝1．

故选：D．

3．解：抛物线y＝2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2﹣2．

故选：B．

4．解：∵，

∴∠CBA＝∠ABD，

∵，

∴，

∵AB为⊙o直径，

∴∠ACB＝90°，

故B，C，D选项结论正确，A选项结论错误；

故选：A．

5．解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，

故n的最小值为120．

故选：D．

6．解：连结CD，如图，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

而∠DBC＝33°，

∴∠D＝90°﹣33°＝57°，

∴∠A＝∠D＝57°．

故选：B．

7．解：∵关于的方程：a（+2）2+b（+2）＝0，且关于的一元二次方程a2+b＝0（a≠0）的一根为＝2018，

∴+2＝2018或+2＝0，

解得＝2016或﹣2．

故选：D．

8．解：h＝﹣5t2+v0•t，其对称轴为t＝，

当t＝时，h最大＝﹣5×（）2+v0•＝20，

解得：v0＝20，v0＝﹣20（不合题意舍去），

故选： C．

9．解：∵y＝a2+4a+c（a＜0）的对称轴为＝﹣＝﹣2，开口向下，

∴在对称轴的右边函数y随的增大而减小，

∵3＜﹣2，

∴﹣2＜m＜3，

∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），

在对称轴的右边函数y随的增大而增大，

∴﹣7＜m＜﹣2，

故m不可能为﹣9，

故选：D．

10．解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l＝at2+bt+c中得：

，

解得：，

∴l＝0.15t2﹣4t+27，

∵0.15＞0，

∴l有最小值，

当t＝﹣＝≈13.33时，该地影子最短；

故选：C．

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11．解：根据两个点关于原点对称，

∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；

故答案为（2，﹣3）．

12．解：y＝2﹣4+3＝（2﹣4+4）﹣4+3＝（﹣2）2﹣1．

∴抛物线的顶点式为y＝（﹣2）2﹣1．

故答案为：y＝（﹣2）2﹣1．

13．解：∵∠B＝110°，

∴∠ADE＝110°．

故答案为：110°．

14．解：y＝22﹣5的对称轴为＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．

对于开口向上的函数，距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．

故答案为＜．

15．解：

连接OE，

∵∠ACB＝90°，AB为半圆的直径，

∴E、A、C、B四点共圆，

∴∠ACP＝3°×20＝60°，

∴∠AOE＝2∠ACP＝120°，

即第20秒点E在量角器上对应的读数是120°，

故答案为：120．

16．

解：依题意，y＝﹣2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），

∵﹣16≤y′≤16，

当y′＝16，代入y′＝，得：＝4，

当y＝﹣16，代入上式得：＝4，

故答案为：a＝4．

三、解答题（本大题共9题，共86分）

17．解：原方程整理得2﹣3+2＝0，

（﹣2）（﹣1）＝0，

∴﹣2＝0或﹣1＝0，

∴1＝2，2＝1．

18．解：（1）如图所示，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

（2）设抛物线解析式为y＝a（﹣1）（﹣3）（a≠0），

把（0，3）代入得：3a＝3，

解得：a＝1，

∴抛物线解析式为y＝2﹣4+3．

19．解：△＝[﹣（+3）]2﹣4（2+2）＝2﹣2+1＝（﹣1）2≥0，

即该方程有实数根，

∵2﹣（+3）+2+2＝（﹣2）（﹣﹣1）＝0，

∴1＝2，2＝+1，

∵方程有一根小于1，

∴+1＜1，解得：＜0，

∴的取值范围为＜0．

20．证明：∵在⊙O中，＝，

∴AB＝CD，

∴∠AOB＝∠COD，

∵OA＝OB，OC＝OD，

∴在△AOB中，∠B＝90°﹣，

在△COD中，∠C＝90°﹣，

∴∠B＝∠C．

21．解：（1）y＝（4﹣）（4+2）＝﹣22+4+16，

故答案为：y＝﹣22+4+16；

（2）根据题意可得：﹣22+4+16＝16，

解得：1＝2，2＝0（不合题意，舍去），

答：BE的长为2米．

22．解：（1）若n＝﹣4，则y＝2﹣6m+9m2﹣4，

当＝0时，y＝9m2﹣4，

∴C（0，9m2﹣4），

∵这个函数图象开口向上，与轴交于A，B两点（点A，B分别在轴的正、负半轴），与y轴交于点C，

∴9m2﹣4＜0，

当y＝0时，2﹣6m+9m2﹣4＝0，

1＝3m+2，2＝3m﹣2，

∴A（3m+2，0），B（3m﹣2，0），

∵3m+2﹣（3m﹣2）＝4，

∴AB＝4，

∴S△ABC＝AB•|yC|＝×4•（﹣9m2+4）＝﹣2m2+8，

∵﹣2＜0，

∴当m＝0时，△ABC的面积最大为8；

（2）若n＝4m+4，则y＝2﹣6m+9m2+4m+4＝（﹣3m）2+4m+4，

∴P（3m，4m+4），

当动点Q到抛物线的顶点P的距离最小值为4时，则Q为（3m，0）且4m+4＝±4，

解得m＝﹣2或m＝0，

∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．

23．（1）如图1，证明：作OH⊥OG，交CE于H，连接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴＝，

∵AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，

∴OC＝OB＝AB，

连接BC，BG，

∴＝，

∴＝，

∵∠BCG＝∠BAE，

∴△BCG∽△BAE，

∴∠CGB＝∠AEB＝90°，

∵∠CEB＝45°，

∴△BGE三等腰直角三角形，

∴BE＝EG；

（2）解：作OH⊥OG，交CE于H，连接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴＝．

24．解：（1）由题意可知：A不是平衡点，B是平衡点；

（2）设抛物线的平衡点为（a，1﹣a），

把（a，1﹣a）代入y＝2+（p﹣t﹣1）+q+t﹣；

∴化简后可得： a2+（p﹣t）a+q+t﹣4＝0，

由于有且只有一个平衡点，

∴关于a的一元二次方程中，△＝0，

∴化简后为q＝（p﹣t）2+4﹣t，

∴q是p的二次函数，对称轴为＝t＞3，

∵﹣2≤p≤3，

∴q随p的增大而减小，

∴当p＝3时，q可取得最小值，

∴（3﹣t）2+4﹣t＝t，

∴解得：t＝4±，

∵t＞3，

∴t＝4+．

25．解：（1）如图1，连接OA，OD，OE，

由旋转知，旋转角为∠BOC＝∠AOD＝∠COE，

故答案为③；

（2）∠A＝∠BEC，

理由如下：

如图2，连接BM，OE，

设∠A＝α，

在Rt△ABC中，点M是AC中点，

∴MA＝MB＝MC＝AC，

∴∠A＝∠ABM＝α，

∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，

∵点M和点O关于直线BC对称，

∴∠BOC＝∠BMC＝2α，

∵OC＝OB＝OE，

∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，

∴∠BEC＝∠BOC＝α

∴∠A＝∠BEC；

（3）如图3，连接BM并延长至点F，使BM＝MF，连接FD，

∵∠A＝α，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，

∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，

由（2）知，∠BEC＝α，

∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，

∵BC＝CE，

∴∠CBE＝∠CEB＝α，

∵MB＝MC，

∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，

∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，

∴∠MBE+∠BED＝180°，

∴BF∥DE，

∵BF＝2BM，AC＝2BM，

∴BF＝AC，

∵AC＝DE，

∴BF＝DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴DF＝BE，

∵BM＝MF，BN＝ND，

∴MN＝DF，

∴MN＝BE，

∴BE＝2MN＝4．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/12da9a1abdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be8f8.html