1.3.3 函数的最大(小)值与导数
明目标、知重点
1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会求某闭区间上函数的最值．
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．
4．极值与最值的意义：
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．
[情境导学]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．
探究点一 求函数的最值
思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
小结 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：
1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．
2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．
3．比较大小，确定结论．
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，
f(π)＝π－.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0<a<3时，
f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？
解 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，
①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；
②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，
从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
③当－1<a<0，即－<a<0时，
f(x)在上单调递增；
在上单调递减，
则f(x)max＝f＝－a3.
综上所述：f(x)max＝
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．
例3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，
∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，
∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪训练3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1 (x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，
∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
[呈重点、现规律]
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
一、基础过关
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B. C. D.
答案 B
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.
3．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
答案 A
解析 令y′＝＝＝0.
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x
y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，
所以ymax＝.
4．函数y＝在定义域内( )
A．有最大值2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值2，最小值－2
D．无最值
答案 C
解析 令y′＝＝＝0，
得x＝±1.
由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－B.
C．－D.或－
答案 C
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减函数，f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)．
6．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是______．
答案 ＋
解析 y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝y＝|x＝＝＋.
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
二、能力提升
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝
＝.
当0<t<时，y′<0，可知y在此区间内单调递减；
当t>时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．
10．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.
当x＝0时，f(x)的最大值为3.
11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴，∴.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上f′(x)＞0，
∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即f(x)最小值为－7.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解 (1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，
所以b＝d＝2；
因为f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝kex(2x＋2)－x2－4x－2，
则F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)，
由题设可得F(0)≥0，故k≥1，
令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，
①若1≤k
从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)<0，
当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立，
故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；
③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，
从而当x∈[－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述k的取值范围为[1，e2]．
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