2019年中科大创新班初试数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试 数学试题及解析

2019中国科学技术大学创新班考试数学试题

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注意事项

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.

4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・

一.填空题(每题5分，共40分)

1. 平面区域|x+2j|+|3x + 4j|<5的面积是 ,

2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。,2引的所有根之和 .

3. 设点如,0),则zUSC面积的最小值为 .

4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。是参数，则¥ +,的最大值为

5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。得苑q关于y

轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为 ..

,, 1 X Z 2019 •

6. 若、匕％ =?(^1(”詞则澎= •

7. 设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是 .

8. 己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl {18,36,54},则

Xl +工2 +石 +*4

二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，

1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.

三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.

四、（20分）

设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽） = p,（cos&）.

（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.

1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析

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1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 .

1・答案:25

解析：

画岀可行域如图，Sg = 4S函=4哼= 25。

2 .答案：6〃 解析：

sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。,2刀］

所求和为6;r

3 .设点血0),旳,1)+，負* e 4,则M£c面积的最小值为

3・2习-1

3 .答案： 2

如图点C

Sy = S'w + - S*s =卜 + 证"

= -x+-^+-U-^3

2 4、G 4y[x 2

4. x = 3+cosl r-y

答案：36

13-23-1

—=

2

.=4 + cos［；+'丿则伊+ y-丿皿宓

.v-3 = cos^ + rj=> (x-3)2+(.y-4)2 =1

由几何意义疽+尸《36

5.给定一个定角们设鸟0,0）将说顺时针旋转。得到枝，苑与夕轴对称的称

为0£+1，求丛19坐标。

5 .答案：画出图可以看出周期性，从］9 =（一cos。厂sin。）

x 2019

2("+lL+l'则行"

5迫

2020

1 1 时 1、 1 1 1

歸析.X..I A； n(n + l) n n + 1

,鄂,1 2019

8 2020 2020

7 . -一~为纯虚数，则 lz2 + z+3| = .

Z +1 I Imin

7.答案:：匝

3

解析；由几何意义注意z-1与z + 1的夹角，z的轨逐为单位圆上对应岌数,所以

k + z + * = Rp + z + 3、= |z +1 + = |4 cos e - 2i sin e + l|min

=J(4cos0 + 1)2 +4sil? 8min = J12COS，O + 8cQS& + 5min =

8 .己知 x1,x2,x3,xA ,且{xfxyxt)l 4)= (18,36,54},求 xl+x2+x3+xi.

答案：14

解析：假设不< x2 < x3 < x4

贝 Ik/?沔=18,石工3、4 = 36,玉工2工4 = 36,x2x3x4 = 54.

=> xlx2x3x4 = ¥18x36x36x54 =108 => x, = 2,x2 = 3,x3 = 3,x4 = 6 9 .

易知：四面体4BCD是一个对棱相等的四面体 置入到长方体即可.假设其边长为a,b,c.

a2 +b2 = 16,d2 + c2 — 25, c2 + a2 =36.

3崩,710 3710 TZ 15^6

2 2 2 仙8 4

解析：令Z,(x)=£W

Jt=o K!

用数学归纳法证明为奇数时e、＞九(x) o x N 0, ”为偶数时/ ＞九(x) = x ＞ 0

”为1 时 e* >l + x 成立，n为。时 e、>l<=>x>0, ex < 1 <=> x < 0 5 分

①n为奇，ex >/^(x)ox^0 n + 1 为偶，令g(x)= ex-/,+1(x)

g(o) = 0,g'(x) = e、-_Ci(x)= e，-九(x)> 0(m 0时)

所以x> 0,g'(x)> 0,g(0)= 0n g(x)> 0 ,x< 0,g'(x)> 0,g(0)=0=>g(x)<0 5 分

(2) n为偶e* >儿(x) = x>0, e、<A(x)=x<0

”+1 为奇 g(x) = ex -九+i(x) g(0)= 0, gr(x) = ex-fn(x)

/

x>。时，g'(忏f 0 x<0时，g攵)="-九(煎。

g(o) = o,所以 g(x)>0, g(0)= 0,^fVAg(x)<0 10 分

11.解析：(1)用数学归纳法：cos0 = cos0, cos20 = 2cos%-4 2分

假设当n = k, k + 1结论成立，

当 n=k+2 时候：cos[(k + 2)0] = 2cos0cos[(fc +1)0]-cos(k。)

.•m = A + 2命题也成立，且最髙次系数为(背景：切比雪夫多项式)………8分

(2) P(x)为刀次多项式，至多刀个解cos成=0 = 成=2々+三

2

0 = — •—, • , 均为 cos m Q = 0 的解,. 8 分

2n 2n 2n

且互不相同 Z. P(x) = 2"-1 (x -cos — ^)(x 一 cos—^)***(x-cos ——-才)

2n 2n 2n 2 分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0d2b27600042a8956bec0975f46527d3240ca6f1.html