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任意三角形射影定理

发布时间：2020-05-27 来源：文档文库

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任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： △ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b·cosC＋c·cosB， b＝c·cosA＋a·cosC， c＝a·cosB＋b·cosA。注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB/sinA =acosB+(asinB/sinAcosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0cb298711b2e453610661ed9ad51f01dc28157b9.html