概率论与数理统计的理工类第四版简明版1-3章的课后答案详解

1.1 随机事件

习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.

1.2 随机事件的概率

1.3 古典概型

1.4 条件概率

1.5 事件的独立性

复习总结与总习题解答

习题3. 证明下列等式：

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量

习题1随机变量的特征是什么？

解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2试述随机变量的分类.

解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.

习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：

             X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

则X取每个值的概率为

   P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

   P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

   P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.

2.2 离散型随机变量及其概率分布

习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.

解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得

                 λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.

习题2

设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,

试求(1)P{12≤X≤3};   (3)P{X>3}.

解答：(1)P{12

(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

              =115+215+315=25;

(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.

习题4

一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.

P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,

所以X的分布律为

习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：

求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.

解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：

   P{3X>60}, 即P{X>20},

   P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.

就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.

习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：

(1)X的概率分布；             (2)P{X≥5};

(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?

解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;

(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;

(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足

  P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于

      P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,

故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得  m≈4.85≈5,

因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.

习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.

解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.

X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,

X=1表示投中一次，其概率为          p2=P{X=1}=0.6.

则随机变量的分布律为 

习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.

解答：

设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为

P{X=0}=C73C103=35120,     P{X=1}=C73C31C103=36120,

P{X=2}=C71C32C103=21120,    P{X=3}=C33C103=1120.

X的分布律为

习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.

解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.

设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为

    P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.

习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.

解答：以X记纺锭断头数,  n=800,p=0.005,np=4,

应用泊松定理，所求概率为：

    P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)

                 ≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.

习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.

解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即

              λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,

∴P{X=0}=e-2,

∴p=(e-2)4=e-8.

2.3 随机变量的分布函数

习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.

解答：离散.

由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.

习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数.

解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).

其次，F(x)单调不减且右连续，即

         F(0+0)=F(0)=0,  F(1+0)=F(1)=1,

且       F(-∞)=0,F(+∞)=1,

所以F(x)是随机变量的分布函数.

习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,

试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.

解答：由题意知X的分布律为：

所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.

F(x)的图形见图.

习题4设离散型随机变量X的分布函数为    F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,

试求：(1)X的概率分布；    (2)P{X<2∣X≠1}.

解答：(1)

(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.

习题5设X的分布函数为

           F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,

求P{0.4≤1.3},P{X>0.5},P{1.7≤2}.

解答：P{0.4≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,

P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,

P{1.7≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.

习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.

解答： F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x≥a

 2.4 连续型随机变量及其概率密度

习题1设随机变量X的概率密度为

f(x)=12πe-(x+3)24(-∞∞),则Y=¯∼N(0,1).

解答：应填3+X2.

由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).

习题2已知X∼f(x)={2x,0其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).

解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,

P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.

当X≤0时，F(x)=0;

当0时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;

当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

            F(x)={0,x≤0x2,0≥1

习题3设连续型随机变量X的分布函数为

  F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1概率密度函数F(x).

解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,  ∴A=1;

又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,      ∴B=-1.

(2) P{-1

(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.

习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度

                 f(x)={100x2,x≥1000,其它,

某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.

解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为

    P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx

               =-100x∣150+∞=100150=23,

从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为  p=(2/3)3=8/27.

习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.

解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数

              n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,

所以         P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.

习题7

设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?

解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).

(1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即  P{X≤c}=1/2,

亦即Φ(c-32)=12, 所以          c-32=0, 故c=3.

(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即              P{X≤d}≤0.1.

于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.

习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？

解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).

设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1, 即

                  1-P{X

所以1-F(x)=0.1, 即  1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.

查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此  x-400060≈1.28, 即x=4077件，

就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.

习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.

解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).

设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而

             P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,

即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.

因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.

习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：

(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？

(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？

解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42). 

哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.

(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,

所以有60分钟时应走第二条路.

(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,

       P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075

所以只有45分钟应走第一条路.

 2.5 随机变量函数的分布

习题1已知X的概率分布为

试求：(1)a;    (2)Y=X2-1的概率分布.

解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,

   ∴a=1/10.

(2) 

习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.

解答：因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,

所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815

故Y的分布律列表表示为

习题3

设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0), 试求随机变量Y的密度函数.

解答： fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,

当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.

习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).

解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,

f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得

       f(x)={fX(lny)∣ln′y,1其它={1y,1其它.

习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.

解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).

    FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)

         =P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,

所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是

     fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.

习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.

解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32, 是单调函数，所以

    fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95

          =910πe-81100(y-37)2.

总习题解答

习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.

解答：设Ak为取到整数k,   P(Ak)=ck,      k=1,2,⋯,20.

因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1， 所以c=1210, 

  P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.

习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,

(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.

解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故

(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;

(2)P{X≥3}=1-P{X<3} 

   =1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]

  ≈0.998;

(3)因X∼b(10,0.7), 而 k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,

故最可能命中7炮.

习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.

解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为

                     2500×120元=30000元.

设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).

因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}

                      =∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k

                     ≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,

由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.

(2)P{保险公司获利不少于100000元}
   =P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}
   =∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,

即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.

   P{保险公司获利不少于200000元}
   =P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}
   =∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,

即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.

习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.

解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即

       P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),

因n=300很大，p=0.03又很小,

                  λ=np=300×0.03=9,

可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故

        P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,   (查泊松分布表)

且同时向总机要外线的分机的最可能台数

               k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.

习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：

(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；

(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.

解答：(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.

习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为

试求：(1)q的值；    (2)X的分布函数.

解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1,

∴     {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,

解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：

(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数

                F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.

习题9设连续型随机变量X的分布密度为

                   f(x)={x,0≤12-x,1≤20,其它,

求其分布函数F(x).

解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;

当0≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;

当1≤2时，

          F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt

              =0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;

当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1, 故

           F(x)={0,x≤212x2,0≤1-1+2x-x22,1≤21,x>2.

习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：

                   f(x)={19xe-x3,x>00,其它,

试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.

解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有

             F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3

故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0, 所以

         P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)

                  =1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,

    P{6≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.

习题11

已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-1≤a+1}.

解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1, 而

    ∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx

               =c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,

所以ce-λa=1, 从而c=eλa. 于是

    P{a-1≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx

                       =-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.

注意，a-1而当x时，f(x)=0.

习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0其它, 计算P{X≤0.2∣0.1≤0.5}.

解答：根据条件概率;有

P{X≤0.2∣0.1≤0.5}=P{X≤0.2,0.1≤0.5}P{0.1≤0.5}

                      =P{0.1≤0.2}P{0.1≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx

                      =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.

习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.

解答：因为K∼U(0,5), 所以  fK(k)={1/5,0其它,

方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0, 即 K2-K-2≥0,

亦即(k-2)(K+1)≥0, 解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.

习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，

(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？

(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.

解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1

故F(x)不是分布函数.

(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,

可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.

从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.

习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？

解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件

P{X>90}=12/526≈0.0228,

P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;

又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得

90-μσ=2 ①

同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,

故Φ(60-μσ)≈0.1578.

因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得

μ-60σ≈1.0 ②

联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).

某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：

方法1：

P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010

=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,

因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.

方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),

P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,

P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,

反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.

习题17

假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).

(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；

(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.

解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,

∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;

当t<0时，F(t)=0,

∴    F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,

X服从指数分布(λ=0.1);

(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;

(3)F(5)-F(3)≈0.13.

习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.

(1)试求设备寿命超过1的概率 ；

(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .

解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为

fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),

P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,

P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,

P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,

由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.

(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.

习题19设随机变量X的分布律为

试求Y=X2的分布律.解答：

所以

注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.

习题20设随机变量X的密度为

                 fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.

解答：由Y=2X+3, 有             y=2x+3,x=y-32,x′=12,

由定理即得         fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.

习题21设随机变量X的概率密度

fX(x)={e-x,x>00,其它,

求Y=eX的概率密度.

解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,

β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.

类似上题可得

fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1∞0,其它

={1/y2,1∞0,其它.

习题22设随便机变量X的密度函数为   fX(x)={1-∣x∣,-1其它,

求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.

解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，

    FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}

         =P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx

         =2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,

从而Y的分布函数为    FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它

Y的概率密度为

    fY(y)={1y-1-1,1其它.

第三章 多维随机变量及其分布

 3.1 二维随机变量及其分布

习题1设(X,Y)的分布律为

求a.

解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得   a=2/9.

习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

  (1)P{a≤b,Y≤c};解答：P{a≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).

习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (2)P{0≤b}; 

解答：P{0≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).

习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (3)P{X>a,Y≤b}.

解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).

习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：  (1)P{12

解答：P{12

   P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：  (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.

习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (3)F(2,3).

解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.

习题4设X,Y为随机变量，且   P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.

解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}   =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

                  =47+47-37=57.

习题5(X,Y)只取下列数值中的值：  (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.

解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：

    {X=-1,Y=0},  {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：

(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}  =0+16+512=712,

同样可求得  P{Y=13=112,P{Y=1}=13,

关于的Y边缘分布见下表：

习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0其它,

(1)确定常数k;             (2)求P{X<1,Y<3};  (3)求P{X<1.5};          (4)求P{X+Y≤4}.

解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1, 确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,

所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.

(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.

习题8已知X和Y的联合密度为    f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,

试求：(1)常数c;  (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).

解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.

(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;

设0≤x≤1,0≤y≤1, 有    F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.

设0≤x≤1,y>1, 有    F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.

最后，设x>1,0≤y≤1, 有     F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.

函数F(x,y)在平面各区域的表达式       F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>

习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为       f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,

求边缘概率密度fY(y).

解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy ={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx  ={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.

习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为    f(x,y)=1200πex2+y2200,

求P{X≤Y}.

解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知

          P{X≤Y}=P{X>Y}, 故       P{X≤Y}=12.

3.2 条件分布与随机变量的独立性

习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为

(1)求Y的边缘分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};

(3)判定X与Y是否独立？

解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.

   P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7   P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.

(2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,  P{y=1∣x=0}=13.

(3)已知P{x=0,y=0}=715, 由(1)知P{y=0}=0.7, 类似可得  P{x=0}=0.7.

因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立.

习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为

(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.

解答：(1)边缘分布律为

对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.

(2)当Y=51时,X的条件分布律为   P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.

列表如下:

习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;

(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.

解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为

故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为

(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为

习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={3x,0其它, 求：

(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.

解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0其它,

  fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0其它.

(2)对∀y∈(0,1),  fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y其它,

对∀x∈(0,1),  fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0其它.

习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布，P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.

表(a)

表(b)

解答：由X与Y相互独立知   P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),

从而(X,Y)的联合概率分布为

亦即表

    P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

    P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

                 =1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

                 =1-112-16=34.

习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.

解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是           fX(x)=12πe-x22，  fY(y)=12πe-y22

因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是         f(x,y)=12πe-12(x+y)2.

习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞∞),

问：X与∣X∣是否相互独立？

解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有         P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},

而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有    P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},

⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0

⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.

3.3 二维随机变量函数的分布

习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为              f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,

(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.

解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy

         ={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0

         \under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,

由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然     f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,

所以X与Y不独立.

(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.

当{x>0z-x>0 即 {x>0x时，f(x,z-x)≠0, 所以

当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.

于是，Z=X+Y的概率密度为          fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.

习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.

解答：据题意，X,Y的概率密度分布为         fX(x)={1,0其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,

由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为   fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy

         =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.

由0得z-1可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;

当z>0时，  fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,

即     fZ(z)={0,z≤01-e-z,0≤1e1-z-e-z,z>1.

习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0∞,0,其它.

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.

解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.        ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，

所以b=11-e-1，从而           f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0∞,0,其它.

（2）由边缘概率密度的定义得         fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0其它，

          fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0∞,0,其它

（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故         FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，

其中    FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0，所以        FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0≥1.

同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0∞,0,y≤0，因此     FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.

习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试明： P{a≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.

解答：设min{X,Y}=Z,则   P{a≤b}=FZ(b)-FZ(a),

   FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}   =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}  =1-[P{X>z}]2,

代入得 P{a≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)

     =[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.

 复习总结与总习题解答

习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：

X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.

解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：

P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,

P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,

(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：

P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,

P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,

习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),

求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.

解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有

P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1, P{X1=0}=1-e-1,

同理 P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2, P{X2=0}=1-e-2,

因为 P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，

P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,

P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,

P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,

故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：

习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.

解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.

P{X=0,Y=0}=P{∅}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,

P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,

P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70 , P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,

P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,

P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,

P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,

所以，(X,Y)的联合分布如下：

习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：

解答：由题设X与Y相互独立，即有 pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,

又由独立性，有 p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16

故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.

从而p⋅2=12. 类似的有 p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.

将上述数值填入表中有

习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：

求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).

解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,

∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;

③当x≥2,-1≤y<0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;

④当1≤x<2,y>0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;

⑤当x≥2,y≥0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1;

综上所述，得(X,Y)联合分布函数为

F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.

(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：

FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,

同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为

FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.

习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2≥R,

求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r

解答：(1)因为 1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2

=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,

所以有c=3πR3.

(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2πR3[R-x2+y2]dxdy

=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).

习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,

求fX(x)和fY(y).

解答: max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,

所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 {0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},

即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它 所以

fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,

fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.

习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.

解答：应填α+β=13;29;19.

由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故 16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.

又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而 α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},

=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29, β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}

=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴ β=19.

习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,

(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};

(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.

解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.

∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.

(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.

(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu

={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它 ={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.

(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.

(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.

(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}

=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.

习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.

解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}

=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);

当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}

=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立

习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.

解答：关于X的边缘分布为

关于Y的边缘分布为

由于X与Y独立，则有p22=p2⋅p⋅2 得 b=(b+19)(b+49) ①

p12=p1⋅p⋅2 得 19=(a+19)(b+49) ②

由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有

a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.

易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.

因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.

习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为

且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？

解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：

由已知P{X1X2=0}=1, 即等价于P{X1X2≠0}=0, 可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.

再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,

从而得p00=0.

(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.

习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,

(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？

解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;

当-R≤x≤R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.

于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.

由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.

(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)

注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有

fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为

fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它. 同法可得 X=x时Y的条件概率密度为

fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.

由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.

习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.

解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.

(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有

F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有

F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;

当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.

利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为

fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.

习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求

U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.

解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为 fX(x)={1,0其它, fY(y)={1/2,0其它,

于是，①X与Y的分布函数分别为 FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,

从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,

故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0≤u<20,其它.

②同理，由 FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]

=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),

得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,

故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0其它.

注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).

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