第五章 刚体力学
一、选择题
图5-7
[ C ] 1、(基础训练2)一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮,绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2),如图5-7所示.绳与轮之间无相对滑动.若某时刻滑轮沿逆时针方向转动,则绳中的张力
(A) 处处相等. (B) 左边大于右边.
(C) 右边大于左边. (D) 哪边大无法判断.
【提示】逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外,由于(m1<m2),实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向内,所以,由转动定律可得:
(或者:列方程组: ,解得:,因为m1<m2,所以β<0,那么由方程,可知,)
[ B ] 2、(基础训练5)如图5-9所示,一静止的均匀细棒,长为L、质量为m0,可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动,转动惯量为.一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为,则此时棒的角速度应为
(A). (B). (C). (D)
【提示】把细棒与子弹看作一个系统,该系统所受合外力矩为零,所以系统的角动量守恒:,即可求出答案。
图5-11
[ C ] 3、(基础训练7)一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动,如图5-11射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度ω
(A) 增大. (B) 不变.
(C) 减小. (D) 不能确定.
【提示】把三者看成一个系统,则系统所受合外力矩为零,所以系统的角动量守恒。设L为一颗子弹相对于转轴O的角动量的大小,则有
,
[ C ] 4、(自测提高2)将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上,现在在绳端挂一质量为m的重物,飞轮的角加速度为β.如果以拉力2mg代替重物拉绳时,飞轮的角加速度将
(A) 小于β. (B) 大于β,小于2β. (C) 大于2β. (D) 等于2β.
【提示】
(1)挂一质量为m的重物(如图A):设飞轮的半径为R,转动惯量为J,列方程组
,解得:
(2)以拉力F =2mg代替重物拉绳时(如图B),有:
,得:
比较即可得出结论。
[ A ] 5、(自测提高7)质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上.平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动,转动惯量为J.平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时,则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
(A),顺时针. (B),逆时针.
(C),顺时针. (D),逆时针.
【提示】将小孩与平台看成一个系统,该系统所受外力矩为零,所以系统的角动量守恒:
得:
二、填空题
1、(基础训练8)绕定轴转动的飞轮均匀地减速,t=0时角速度为,t=20s时角速度为,则飞轮的角加速度 - 0.05 rad/s2 ,t=0到 t=100 s时间内飞轮所转过的角度 250rad .
【提示】(1)飞轮作匀减速转动,据,可得出:
(2)
2、(基础训练9)一长为l,质量可以忽略的直杆,可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动,在杆的另一端固定着一质量为m的小球,如图5-12所示.现将杆由水平位置无初转速地释放.则杆刚被释放时的角加速度β0=,杆与水平方向夹角为60°时的角加速度=.
【提示】根据转动定律: 求解。
(1) 杆刚被释放时:,,得:
(2) 杆与水平方向夹角为60°时:,,得:
3、(基础训练10)如图所示,P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点,PQ=QR=RS=l,则系统对轴的转动惯量为 50ml2
【提示】根据转动惯量的定义,得:
4、(基础训练12) 如图5-14所示,滑块A、重物B和滑轮C的质量分别为mA、mB和mC,滑轮的半径为R,滑轮对轴的转动惯量J=mC R2.滑块A与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦,绳的质量可不计,绳与滑轮之间无相对滑动,则滑块A的加速度a =
【提示】受力分析如图。分别对A、B、C列方程:
,联立求解,即得答案。
5、(自测提高12)一根质量为m、长为l的均匀细杆,可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动.已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ,则杆转动时受的摩擦力矩的大小为=
【提示】在细杆上距离转轴为x处取一小线元dx,dx所受到的摩擦力矩的大小为,
则杆受到的摩擦力矩的大小为.
三、计算题
1、(基础训练16)一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为,设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即 (k为正的常数),求圆盘的角速度从变为 时所需时间.
解:已知 ,
根据 , 得 ;
分离变量并积分: ,得
2、(基础训练18)如图5-17所示,质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘,同轴地粘在一起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转动惯量为9mr2/2,大小圆盘边缘都绕有绳子,绳子下端都挂一质量为m的重物,求盘的角加速度的大小.
解:设两物体的加速度的正方向及滑轮的角加速度的正方向如图所示。受力分析如图所示。分别对重物和滑轮列方程,得
联立解得:
3、(自测提高15)如图5-23所示,转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动,它们的质量分别为mA=10 kg和mB=20 kg,半径分别为rA和rB.现用力和分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动.为使A、B轮边缘处的切向加速度相同,相应的拉力FA、FB之比应为多少?(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为和)
图5-23
解:根据转动定律 (1)
(2)
其中
要使A、B 轮边缘处的切向加速度相同,应有:
(3)
由(1)、(2)式有 (4)
由(3)式有
将上式代入(4),得
4、(自测提高16)如图5-24所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和l.轻杆原来静止在竖直位置.今有一质量为m的小球,以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度.
解:将杆与两小球视为一刚体,水平飞来小球与刚体视为一系统.由角动量守恒,得
(逆时针为正向)
其中
联立解得:
图5-25
5、(自测提高17)如图5-25所示,一质量均匀分布的圆盘,质量为,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,如图5-25所示。求:(1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度.(2) 经过多少时间后,圆盘停止转动.(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解:(1)设为碰撞后瞬间盘所获得的角速度,由系统的角动量守恒定律得:
,
解得
(2)圆盘的质量面密度,在圆盘上取一半径为r,宽为dr的小环带,小环带的质量为此环带受到的摩擦阻力矩为
,
则圆盘受到的摩擦力矩为
根据转动定律,得,
可解得
四、附加题
(基础训练17)在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上,有一人静止站立在距转轴为处,人的质量是圆盘质量的1/10.开始时盘载人对地以角速度ω0匀速转动,现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动,如图5-16所示. 已知圆盘对中心轴的转动惯量为.求:(1) 圆盘对地的角速度.(2) 欲使圆盘对地静止,人应沿着圆周对圆盘的速度的大小及方向?
解: (1) 设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时,圆盘对地的绕轴角速度为ω,则人对地的速度为
①
人与盘视为系统,所受对转轴合外力矩为零,系统的角动量守恒.
②
将①式代入②式得: ③
(2) 欲使盘对地静止,则式③必为零.即
得:
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反,即与盘的初始转动方向一致.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/0a475f300912a21614792934.html
文档为doc格式