蝴蝶效应之谜—走进分形与混沌读后总结

蝴蝶效应之谜——走进分形与混沌读后随笔

第1篇 美哉分形

1.1有趣的分形龙

（1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；

（2）越来越复杂的图形表现出一种“自相似性”；

（3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。

1.2简单的分形

皮亚诺和space filling curve

科赫曲线（雪花）；分形（fractals）

1.3分数维及其计算方法

在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，即空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需变量的数目。

德国数学家豪斯多夫（F. Hausdorff）1919年给出了维数的新定义。

用自相似定义的维数可以如此简单而直观的理解：首先将图形按照的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数，也叫豪斯多夫维数，即

1.4再回到分形龙

1.5大自然中的分形

分形具有以下特征：

（1）分形具有自相似性。

（2）分形具有无穷多的层次。

（3）分形的维数可以是一个分数。

（4）分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。

生成分形的三种方法

简单的线性迭代法；线性迭代与随机过程相结合；非线性迭代法。特例，一种很重要的与随机过程有关的分形：扩散置限凝聚。（闪电、石头裂纹等）

1.6分形之父的启示

本华 曼德勃罗（B. Mandelbrot）。曼德勃罗集（非线性迭代）

1.7魔鬼的聚合物——曼德勃罗集 朱利亚集

1.8朱利亚的故事

西方谚语“在木匠看来，月亮也是木头做的”。即每个人都用自己的方式来理解世界。

分形龙网址[OL]http://www.tianfangyetan.net/cd/java/fractals.html

曼德勃罗集和朱利亚集网址[OL] http://www.tianfangyetan.net/cd/java/iterfrac.html

第二篇 奇哉混沌

2.1拉普拉斯妖

混沌理论是研究一个动力系统的长期行为。

混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，使得决定论与概率论，这两大长期对立、互不相容、对于统一的自然界的描述体系之间的鸿沟正在逐步消除。

有人将混沌理论、相对论与量子力学同列为20世纪的最伟大的三次科学革命

2.2洛龙茨的迷惑

瑞利数；对初值的敏感依赖性；混沌

2.3奇异吸引子

系统对时间的变化称为动力系统的研究。相空间

吸引子是一个系统的最后归属。三种情况：固定点、极限环、准周期（面包圈）

2.4蝴蝶效应

整数维数的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期运动解，分数维数的吸引子（奇异吸引子）是相关于非线性系统的非光滑的混沌解。

分形是混沌的几何表述

2.5超越时代的庞加莱（Henn poincare，1854-1912）

庞加莱猜想、不定点定理等

2.6三体问题及趣闻

希尔 庞加莱 限制性三体问题 校对与修改后发现了同宿交错网

2.7生态繁衍和混沌

逻辑斯蒂方程（logistic，一维离散方程即可） 马尔萨斯人口论

2.8从有序到混沌

倍周期分岔现象是系统出现混沌的先兆，最终会导致有序到无序，稳态向混沌的转变。具有自相似性（边度不变性：即用放大镜将细节部分放大若干倍后，它仍与整体具有相似的结构）和普适性等特征。

2.9混沌魔鬼“不稳定”

连续系统需要三维；离散系统一维即可。

稳定：对初值变化不敏感；不稳定：对初值变化太敏感。

李雅普诺夫指数

洛龙茨吸引子[OL]http://www.tianfangyetan.net/cd/java/Lorenz.html

三体问题演示程序[OL]http://alecjacobson.com/programs/threebody-chaos/(没找到)

分形音乐网站[OL]https://docs.google.com/leaf? Id=(没找到)

http://www.youtube.com/watch? v=uHg_g-3Yeow&feature=related(没找到)

第三篇 分形天使处处逞能

3.1分形音乐

莫扎特的音乐对小孩加强注意力和提高创造力有几大的好处，都符合黄金分割律。

3.2分形艺术

3.3分形用于图像处理

3.4人体中的分析和混沌

健康的生理状态应该是混沌的。分形维数随分子的进化而增大。线粒体为1.2；病毒及其宿主，原核和真核为1.5；哺乳类核酸分子为1.7。混沌是衡量生物体制进化的一个定量指标。

第四篇 天使魔鬼一家人

4.1万变之不变

倍周期分岔现象的普适性：、

定性方面：到处都有倍周期分岔现象，之后便是混沌；

定量方面：分岔的速度，普适常数。费根鲍姆发现的，一个小计算器

4.2再回魔鬼聚合物

4.3混沌游戏产生分形

确定性的混沌，毕竟还是微分方程的解（deterministic chaos）

混沌是随机过程和觉得规律的结合。

分形分为三类：

（1）科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、分形龙等，线性迭代产生；

（2）曼德勃罗集 朱利亚集，非线性复数迭代产生；

（3）奇异吸引子，有洛龙茨方程或三体运动方程等非线性微分方程组产生。

4.4混沌和山西拉面

史蒂芬 斯梅尔“马蹄映射”

第五篇 混沌魔鬼大有作为

5.1单摆也混沌

几种常见的“通向混沌之路”简介

（1）倍周期分岔道路

系统通过周期不断加倍的方式逐步过渡到混沌。实验室中研究混沌时经常观察到的、最基本的通向混沌之路。

（2）准周期道路

系统的周期运动发生变化的情形，后来的周期并不总是一定要变成原来周期的倍数。特别是当非线性扰动中有其他频率的分量时，若干个周期不同的信号便叠加起来。如果这些信号周期的最小公倍数不存在，则叠加后的信号为准周期信号。由于准周期信号的不断产生而最终导致混沌的现象，称作准周期通向混沌的道路。

（3）阵发性混沌道路

系统参数变化时，原来的规则运动逐渐被一种随机的、突发性的冲击所打断。这种无规律的额突发冲击越来越广阔、越来越频繁。系统以这种通过混乱的间歇加入，而逐渐转变为完全混沌状态的过程，称为“突发混沌之路”。在自然界、社会经济、股市涨落中，经常有此类现象发生。湍流的形成过程中经常伴随着“突发混沌”现象。

（4）椭圆环面破裂道路

从单摆的混沌实验，就观察到这种现象。满足小幅度条件下的单摆，相空间轨迹如图的椭圆。之后，转到模式加入，椭圆曲线逐渐变形、破裂，再后来，破裂越来越多，发生的越来越频繁，还可以观测到相空间轨迹呈现出包含精细结构的自相似性质。最后，走向混沌。如图。

通向混沌还有其他途径，特别是在高维模型中，还有更丰富的发展模式。

5.2混沌电路

5.3股市大海找混沌

生物混沌和经济混沌的本质都是大群粒子的集合运动，与布朗运动理论中把股市中的人看成一个单粒子有本质区别。

洛龙茨等系统的混沌可看做是具有均匀频谱的白混沌，而金融和经济学中的混沌缺表现为一种色混沌。

5.4混沌在CDMA通信中的应用

频分多址FDMA 时分多址TDMA 码分多址CDMA

扩频通信之母——赫蒂 拉玛尔（女明星）伪随机码 从钢琴出发找到的灵感。

第六篇 一生二，二生三，三生万物

6.1三生混沌

周期三即混沌的故事 李天岩 约克 沙可夫斯基

6.2自组织现象

非线性科学不仅研究从有序到混沌的转换，也对从无序中如何产生有序感兴趣，设计生命的产生和进化。有3个方向自组织理论、孤立子、细胞自动机。

熵的大小表示由大量粒子构成的系统的紊乱程度（无组织程度），是一个系统失去了信息的度量。

普里戈金认为，自组织现象的条件包括：

①系统必须开放，是耗散结构系统；

②远离平衡态，才有可能进入非线性区；

③系统中各部分之间存在非线性相互作用；

④系统的某些参量存在涨落，涨落变化到一定的阈值时，稳态成为不稳定，系统发生突变，便可能呈现出某种高度有序的状态。

激光是一种时间有序的自组织现象。

6.3孤立子的故事（应用很广）

罗素发现孤立子。

孤立子是物质色散效应和非线性畸变合成的一种特殊产物。（相互抵消，保持原来的速度、方向、形状）

色散：不同频率的波一不同的速度传播。

非线性畸变：流体分子间存在的非线性效应。（KdV方程）

光纤通信，孤立子大展宏图，超长距离、超大容量、稳定可靠。

6.4生命游戏

DNA分子的自我复制机制，细胞自动机。（康维仿真）生命游戏是二维的细胞自动机。

生存定律B3/S23。

6.5木匠眼中的月亮

西方谚语“在木匠看来，月亮也是木头做的”。即每个人都用自己的方式来理解世界。

万物之本是计算。——史蒂芬 沃尔弗 拉姆，Mathematica软件计算机开发科学家。？？？

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索......

《蝴蝶效应之谜——走进分形与混沌》张天蓉编著 清华大学出版社

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0a3089d8f80f76c66137ee06eff9aef8951e4841.html