目 录
第一部分 南开大学806运筹学历年考研真题 5
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题 5
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解 7
2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题 14
2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题 17
第二部分 南开大学其他学院运筹学历年考研真题 19
2012年南开大学商学院915运筹学考研真题 19
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题 23
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解 27
2010年南开大学商学院887运筹学考研真题 35
说明:
(1)2013年7月,南开大学对信息技术科学学院学科进行优化整合,分别组建计算机与控制工程学院和电子信息与光学工程学院。
(2)2004年和2015年南开大学信息技术科学学院的“运筹学”科目代码不详。
第一部分 南开大学806运筹学历年考研真题
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解
南开大学2011年硕士研究生入学考试试题
学院:034信息技术科学学院
考试科目:813运筹学(信息学院)
专业:运筹学与控制论
一、(35分)已知某工厂计划生产A、B、C三种产品,备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工,加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。试问:
(1)应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?
(2)若另有两种新产品D、E,生产单位D产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时,单位产品利润2.1千元;生产单位E产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时,单位产品利润1.87千元,请分别回答这两种新产品投产是否合算?
(3)若为了增加产量,可租用其他工厂的设备甲,可租用的时间是60小时,租金1.8万元。请问是否合算?
(4)增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?
答:(1)设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1,x2,x3单位。则可以得出数学模型:
添加人工变量x4,x5,x6利用单纯形法计算如下:
cj | 3 | 2 | 2.9 | 0 | 0 | 0 | ||
CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
0 | x4 | 304 | [8] | 16 | 10 | 1 | 0 | 0 |
0 | x5 | 400 | 10 | 5 | 8 | 0 | 1 | 0 |
0 | x6 | 420 | 2 | 13 | 10 | 0 | 0 | 1 |
3 | 2 | 2.9 | 0 | 0 | 0 | |||
3 | x1 | 38 | 1 | 2 | 5/4 | 1/8 | 0 | 0 |
0 | x5 | 20 | 0 | -15 | -9/2 | -5/4 | 1 | 0 |
0 | x6 | 344 | 0 | 9 | 15/2 | -1/4 | 0 | 1 |
0 | -4 | -0.85 | -0.375 | 0 | 0 | |||
已得最优解,即只生产A种产品,所得利润最大。
(2)增加新变量x7,x8,对应的c7=2.1,c8=1.87,约束矩阵增加两个列向量
其检验数为:
则判断出:产品D的投产不合算,产品E投产合算。
(3)即
最终单纯形表中
故租用设备甲合算。
(4)当增加乙的工时,
二、(15分)有A、B、C、D四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。已知这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备的启动费用,分别为100元和150元。现要求加工四种零件各3件,问应如何安排生产使总的费用最小?请建立该问题的线性规划模型(不需求解)。加工一个零件的费用(单位:元)
答:设i=1,2,3,4分别表示产品A、B、C、D;j=1,2表示设备甲、乙。
xij表示产品i在设备j上生产的个数,
则得线性规划模型如下:
其中
三、(25分)某工程公司在未来1—4月份内需完成三项工程:第一项工程的工期为1—3月份,总计需劳动力80人月;第二项工程的工期为1—4月份,总计需劳动力100人月;第三项工程的工期为3—4月份,总计需劳动力120人月。该公司每月可用劳力为80人,但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过60人。问该工程公司能否按期完成上述三项工程任务,应如何安排劳力?(请将该问题归结为网络最大流问题求解)
答:可以构建如下网络图(弧上数字为最大流量)。
其中,结点1、2、3、4分别代表1、2、3、4月份,结点5、6、7分别代表第一、二、三项工程。通过标号与调整,得到的最大流如下图所示。
该最大流问题有多重最优解,上图仅给出一种。
所以该公司能按期完成上述三项工程任务,安排劳力的方案可以为:1月份,安排60人做第一项任务、20人做第二项任务;2月份,安排60人做第二项任务;3月份,安排60人做第三项任务、20人做第一项任务;4月份,安排60人做第四项任务、20人做第三项任务。
四、(25分)某工厂设计的一种电子设备由A、B、C三种元件串联而成,已知三种元件的单价分别为2万元、3万元、1万元,单件的可靠性分别为0.7、0.8、0.6,要求设计中使用元件的总费用不超过10万元,问应如何设计使设备的可靠性最大?(请使用动态规划方法求解)
答:该题中元件A,B,C是串联在一起的,为保证可靠性,在条件允许的情况下,我们会将多个同种元件并联在一起。
如上图,就是将2件A,1件B,3件C先并联再串联在一起,
由于A,B,C的可靠性分别为0.7,0.8,0.6。
设采用m个A,n个B,1个C串联
该组合整体的可靠性为
约束条件为
且m,n,1都为正整数。
由动态规划的思路,我们先从单价高的B开始分类:
由于A,B,C至少都得有1件,故在10万元为限制的前提下,B最多2件。
选择2件B时,问题转化为
S.t
由于m与n必须都大于0,故此时必然选择1件A,2件B,此时可靠性为:
0.7×0.96×0.84=0.56。
选择1件B时,问题转化为
S.t
此时可以选择1件A,5件C;2件A,3件C;或者3件A,1件C。
同理计算可靠性分别为0.55,0.68,0.47。
故可靠性最大的组合为2件A,1件B,3件C,此时可靠性为0.68。
五、(25分)某公司兴建一座港口码头,只有一个装卸船只的位置。设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布,预计船只的平均到达率为3只/天,船只到港后如不能及时装卸,停留一日公司将损失1500元。现需设计该港口码头的装卸能力(即每日可以装卸的船只数),已知单位装卸能力每日平均生产费用为2000元,问装卸能力为多大时,每天的总支出最少?在此装卸能力之下,求:
(1)装卸码头的利用率;
(2)船只到港后的平均等候时间?
(3)船只到港后总停留时间大于一天的概率。
答:设装卸能力为
则
令
所以
(1)
所以码头的利用率为1-P0=2/3。
(2)
即船只到港后的平均等候时间是
(3)设船只到港后的总停留时间T,则T服从
分布函数为
六、(25分)已知A、B各自的纯策略及A的赢得矩阵如下表所示,求双方的最优策略及对策值。
答:在A的赢得矩阵中第4列优超于第2列,第1列优超于第3列,故可划去第2列和第3列,得到新的赢得矩阵
对于
对于
利用单纯形法求解第二个问题,迭代过程如下表所示。
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||
CB | YB | b | y1 | y4 | y5 | y6 | y7 | |
0 | y5 | 1 | [8] | 3 | 1 | 0 | 0 | 1/8 |
0 | y6 | 1 | 6 | 4 | 0 | 1 | 0 | 1/6 |
0 | y7 | 1 | 4 | 12 | 0 | 0 | 1 | 1/4 |
检验数 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | y1 | 1/8 | 1 | 3/8 | 1/8 | 0 | 0 | 1/3 |
0 | y6 | 1/4 | 0 | 1/2 | -3/4 | 1 | 0 | 1/2 |
0 | y7 | 1/2 | 0 | [21/2] | -1/2 | 0 | 1 | 1/21 |
检验数 | 0 | 5/8 | -1/8 | 0 | 0 | |||
1 | y1 | 3/28 | 1 | 0 | 1/7 | 0 | -1/28 | |
0 | y6 | 19/84 | 0 | 0 | -61/84 | 1 | -1/21 | |
1 | y4 | 1/21 | 0 | 1 | -1/21 | 0 | 2/21 | |
检验数 | 0 | 0 | -2/21 | 0 | -5/84 | |||
从上表中可以得到,第二个问题的最优解为:
由最终单纯形表的检验数可知,第一个问题的最优解为:
于是:
所以,最优混合策略为:
对策的值为
2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题
2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题
第二部分 南开大学其他学院运筹学历年考研真题
2012年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解
南开大学2011年硕士研究生入学考试试题
学 院:140商学院
考试科目:897运筹学(商学院)
专业:管理科学与工程
一、某厂生产A、B两种产品,需经过金工和装配两个车间加工,有关数据如表1所示.产品B无论生产批量大小,每件产品生产成本总为400元。产品A的生产成本分段线性:第1件至第70件,每件成本为200元;从第71件开始,每件成本为190元。试建立线性整数规划模型,使该厂生产产品的总利润最大。(本题共15分)
答:设x1,x2为产品A、B的个数,
则建立线性整数规划模型如下:
二、现有一个线性规划问题(p1)
maxz1=CX
其对偶问题的最优解为Y*=(y1,y2,y3,…,ym)。另有一线性规划(p2):
maxz2=CX
其中,d=(d1,d2,…,dm)T。求证:maxz2≤maxz1+Y*d(南开大学2011年研)
证:问题1的对偶问题为:
问题2的对偶问题为:
易见,问题1的对偶问题与问题2的对偶问题具有相同的约束条件,从而,问题1的对偶问题的最优解
令问题2的对偶问题的最优解为
因为原问题与对偶问题的最优值相等,所以:
三、某工厂计划生产甲、乙、丙3种产品,各产品需要在设备A、B、C上进行加工,其所需加工小时数、设备的有效台时和单位产品的利润表2所示。
请回答下面三个问题:(本题共20分,其中第一小题10分,后两小题各5分)
1.如何安排生产计划,可使工厂获得最大利润?
2.若每月可租用其他工厂的A设备360台时,租金200万元,问是否租用这种设备?若租用.能为企业带来多少收益?
3.若另外有一种产品,它需要设备A、B、C的台时数分别为2、1、4,单位产品利润为4万元,假定各设备的有效台时数不变,投产这种产品在经济上是否合算?
答:1.设生产甲、乙、丙三种产品各为x1,x2,x3单位.,则由题意得:
加入松弛变量后,利用单纯形法计算如下:
cj | 2 | 4 | 3 | 0 | 0 | 0 | ||
CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
0 | x4 | 600 | 3 | [4] | 2 | 1 | 0 | 0 |
0 | x5 | 400 | 2 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
0 | x6 | 800 | 1 | 3 | 2 | 0 | 0 | 1 |
2 | 4 | 3 | 0 | 0 | 0 | |||
4 | x2 | 150 | 3/4 | 1 | 1/2 | 1/4 | 0 | 0 |
0 | x5 | 250 | 5/4 | 0 | [3/2] | -1/4 | 1 | 0 |
0 | x6 | 350 | -5/4 | 0 | 1/2 | -3/4 | 0 | 1 |
-1 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | |||
4 | x2 | 200/3 | 1/3 | 1 | 0 | 1/3 | -1/3 | 0 |
3 | x3 | 500/3 | 5/6 | 0 | 1 | -1/6 | 2/3 | 0 |
0 | x6 | 800/3 | -3/5 | 0 | 0 | -2/3 | -1/3 | 1 |
-4/9 | 0 | 0 | -5/6 | -2/3 | 0 | |||
因此已得到最优解,即不生产产品甲,乙和丙的产量分别为200/3,和500/3单位。
获得最大利润
2.即
为企业带来收益300-200=100(万元)。
3.设这种产品产量为x7单位,则约束方程增加一列向量
在最终单纯性表为
故投产这种产品合算。
四、某科学试验可用1#、2#,3#三套不同仪器中的任一套去完成。每做完一次试验后.如果下次仍用原来的仪器,则需要对该仪器进行检查整修而中断试验:如果下次换用另外一套仪器,则需拆装仪器。也要中断试验。假定一次试验时间比任何一套仪器的整修时间都长,因此一套仪器换下来隔一次再重新使用时,不会由于整修而影响试验。设i#仪器换成j#仪器所需中断试验的时间为tij,如表3所示。现要做4次试验,问应如何安排使用仪器的顺序,使总的中断试验的时间最小?(本题共20分)
答:设A、B、C分别代表三套仪器1#、2#,3#,Ai表示在第i次实验中用仪器A,依此类推Bi、Ci,并设虚拟开始S和结束点D。则得如下网络图:
求总的中断试验的时间最小,即找最短路问题,利用Dijkstra算法计算如下:
(1)j=0,S0={S},P(S)=0
∵A1,B1,C1到S点距离相同,∴可同时标号。
则S1=(S、A1、B1、C1),
(2)j=1
则S2=(S、A1、B1、C1、A2、B2、C2)
(3)j=2
则S3=(S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3)
(4)j=3
则S4=(S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3、A4、B4、C4),最后标号D,则标号结束。
(5)比较T(A4)、T(B4)、T(C4),可得出,T(B4)最小,逆序追踪得使总的中断试验的时间最小的使用顺序是:
五、某农场考虑是否提早种植某种作物的决策问题,如果提早种,又不遇霜冻.则收入为45元:如遇霜冻,则收入仅为10万元.遇霜冻的概率为0.4。如不提早种,又不遇霜冻.则收入为35万元:即使遇霜冻.受灾也轻,收入为25万元,遇霜冻的概率为0.2,已知:
(1)该农场的决策者认为:“以50%的机会每45万元.50%的机会得10万元”和“稳获35万元”二者对其来说没有差别:
(2)该农场的决策者认为:“以50%的机会得45万元,50%的机会得35万元”和“稳获40万元”二者对其来说没有差别:
(3)该农场的决策者认为:“以50%的机会得35万元,50%的机会得10万元”和“稳获25万元”二者对其来说没有差别。
问题如下:
1.说明该决策者对风险的态度,按期望效用最大的原则,该决策者应做何种决策?
2.按期望收益最大的原则,该决策者又应做何种决策?
答:1.将最高收益45万元的效用定为10,记为
则决策者对风险的态度可以表示为:
令提早种的期望效用为
2.令提早种的期望收益为
六、某产品从仓库Ai(i=1,2,3)运往市场Bj=(j=1,2,3,4)销售,已知各仓库的可供应量、各市场的需求量及从A1仓库到B1市场路径上的容量如表4所示(表中数字0表示两点之间无直接通路),请制定一个调运方案使从各仓库调运产品总量最多。
答:该问题是求最大流问题,由题得网络图,其中S、D是虚拟开始和结束点,各路径最大容量如图所示,初始流量为0:
(1)标号过程
①首先给S标号(0,+∞),检查S,在弧(S,A1)上,
②任选一点A1进行检查,在弧(A1,B1)上,
③检查B1,在弧(B1,D)上,
(2)调整过程
由(1)知,
依据上述方法,重复标号及调整过程,直到不存在增广链为止,最终得最大流量图:
调运方案如下表所示:
B1 | B2 | B3 | B4 | 实际供出量 | |
A1 | 10 | 10 | 20 | ||
A2 | 10 | 5 | 15 | ||
A3 | 20 | 10 | 10 | 5 | 45 |
实际得到量 | 20 | 20 | 20 | 20 | 80 |
七、某公司生产两种小型摩托车,其中甲型完全由本公司制造,而乙型是进口零件由公司装配而成,这两种产品每辆所需的制造、装配及检验时间如下表5所示。
如果公司经营目标的期望值和优先等级如下:
P1:每周的总利润至少为3000元:
P2:每周甲型车至少生产5辆;
p3:尽量减少各道工序的空余时间,三工序的权系数和它们的每小时成本成比例。且不允许加班。请建立这个问题的运筹学模型(不用求解)。
答:设每周甲乙两种车生产数量分别为x1,x2,由表可知,两者每辆的生产成本是a和b。
则
按决策者所要求的,这个问题的数学模型为:
八、案例分析:需要多少个服务人员?
某商科技公司的MIS中心处理本公司信息系统的维护服务。公司其他部门职员打电话到信息中心进行咨询和服务请求,不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候,该职员就必须等待。该中心每小时平均接受到40个服务请求,服务请求的到达服从泊松分布。每个请求的平均服务时间是3分钟,且服从负指数分布。
信息中心服务人员每小时的平均工资是15元。公司职员每小时为公司创造的收益是25元。(如果该职员在等待或正在接受MIS维护服务,则这段时间内该职员不为公司创造任何收益)。
我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受MIS维护服务的平均职员数(不包括正在接收MIS维护服务地职员)以及平均等待时间(不包括接受MIS维护服务的时间)之间的关系,如下表6:
请分析下面两个问题:
1.如果公司经理希望职员等待MIS维护服务(排队等待和服务等待的平均时间)不要超过5分钟,则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员?
2.如果公司经理考虑聘用服务人员的成本以及因为等待或正在接受MIS维护服务造成的企业损失成本,使两者成本之和尽量小,则此时该信息中心需要雇佣多少个服务人员(本题共25分,其中第一小题10分,第二小题15分)
答:1.要求等待MIS维护服务时间小于等于5分钟,已知平均服务时间是3分钟,故服务时间是2分钟,约是0.0333小时。查表6可知,该信息中心最少需要聘用服务人员3人。
2.此问题属于M/M/C模型:
查表可知不同的c对应的Lq,Wq,从而得Ls,Ws,如下表:
c | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Ls | 35.77 | 1.389 | 0.674 | 0.540 | 0.509 |
Ws | 0.9389 | 0.072 | 0.054 | 0.051 | 0.0502 |
则总成本
c | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Ls | 35.77 | 1.389 | 0.674 | 0.540 | 0.509 |
Ws | 0.9389 | 0.072 | 0.054 | 0.051 | 0.0502 |
Z | 869.4325 | 47.5002 | 60.9099 | 75.6885 | 90.6388 |
经比较可知该信息中心需要雇佣3个服务人员时,其成本最少。
2010年南开大学商学院887运筹学考研真题
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/03569f184bfe04a1b0717fd5360cba1aa9118c5e.html
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