游戏和比赛中的概率问题

发布时间：2014-04-19 16:15:09 来源：文档文库

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游戏和比赛中的概率问题

作者：凌惠明

来源：《新高考·高三数学》2012年第05期

很多同学都喜爱玩游戏或观看体育比赛，而以游戏或体育比赛为研究背景的数学问题既能激发同学们的学习兴趣，又有益于培养应用的思想意识，提高分析问题和解决问题的能力.在近几年的高考数学试题中，以游戏或体育比赛为素材的概率问题屡见不鲜，下面举一些实例说明概率知识在游戏或体育比赛中的应用.

一、利用概率对游戏或比赛的结果进行预测

例1 某人写下一个数A 1，然后投掷硬币，如得正面，则把A 1乘以2后减去12；如得背面，则把A 1除以2后加上12，这样可以得到一个新数A 2.对A 2仍按此规则进行，又可以得到一个数A 3.再按此规则得到一个数A 4.若 A 1＝64 ，则A 4不小于128的概率为（）

●解

画树状图，如图1，可以看出，基本事件共有8个，其中满足A 4≥128的事件有3个.故所求的概率为38. 选 B .

例2 甲、乙两支足球队，苦战90分钟，比分为1∶1.现决定各派5名队员，每人踢1个点球来决定胜负，假设两支球队派出的队员的点球命中率均为0.5.

（1）对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是多少？

（2）甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为多少？（结果保留三位小数）

●解（1） P 1＝4×0.5 2×0.5 3＝0.125.

答：对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是0.125.

（2） P 2＝［ C 0 5×(1-0.5） 5］ 2＋［ C 1 5× 0.5× （1－0.5） 4］ 2 ＋…＋［ C 5 5× 0.5 5 ］ 2＝ 12 10 ［（ C 0 5） 2 ＋（ C 1 5） 2＋…＋（ C 5 5） 2］＝ C 5 10 2 10 ≈0.246.

答：甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为0.246.

二、利用概率对比赛的可靠性进行预测

例3 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，于是竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）

●解基本事件总数为 C 7 14 ，而有效分中没有受贿裁判的评分的事件数为 C 7 12 ，所以有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 C 7 12 C 7 14 ＝313.

三、利用概率选择游戏或比赛的规则

例4 第48届世乒赛前夕，为训练队伍，国家队与上海队相约举行对抗赛，从以往的比赛看，国家队队员对抗上海队队员取胜的概率均为0.6.现双方商定，提出了两种比赛方案： ① 双方各出3人分3组同时对抗；② 双方各出5人分5组同时对抗.两种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利的一方.如果方案由上海队选择，问上海队会选择哪一种方案？

●分●析只要认识到本题本质上是独立重复试验的概率问题，解题规律也就较容易掌握了.

●解设两种方案中，上海队获胜的概率分别为P 1 和P 2 ，

则P 1＝ C 2 3×0.4 2×（1－ 0.4） + C 3 3×0 4 3＝ 0.288+ 0 064=0 352，P 2＝ C 3 5× 0.4 3×（1－0.4） 2 + C 4 5×0 4 4× （1-0 4） + C 5 5×0 4 5＝ 0.230 4 + 0 076 8 + 0 010 24 =0.317 44，