文档文库

手机版

投诉建议

首页 > 差分方程模型（讲义）

差分方程模型（讲义）

发布时间：2017-05-03 14:46:53 来源：文档文库

小中大

字号：

手机查看

差分方程模型

一. 引言

数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型

1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型

1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介

在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。

1. 差分方程的定义

给定一个数列52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png, 把数列中的前40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png项05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png37e6c98dc8af7e7a3b022fed4edb0b36.png关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。

2. 常系数线性齐次差分方程

常系数线性齐次差分方程的一般形式为

8ac9ae818d3f3a201bbc4192e5db35a2.png， (1)

或者表示为

96913bd9006303ad5ba3b41b088f479a.png (1’)

其中8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为差分方程的阶数，其中0b2c016d2da6c4ce3f3aef8ba0262ca8.png为差分方程的系数，且60de4a0bd57fc432e44bac4c3338a6ea.png1a22e9bcdc67f971ca0acf84428eb056.png。

对应的代数方程

482e4b22bac3fc9a94fa5757984f0294.png (2)

称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个根98ec3d887715704ab165cef40234c9ec.png称为(1)式的特征根。

2.1 差分方程的解

常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。

2.1.1 特征根为单根(互不相同的根)

设差分方程(1)有8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个单特征根(互不相同的根)98ec3d887715704ab165cef40234c9ec.png，则

bb5f9085c2b0fe708dbe75a160a3a47c.png

为该差分方程(1)的通解。其中fe048a0efa4beebeb5a2781e4657a84b.png为任意常数，且当给定初始条件

5bccf483b50f6a592d2af04846ed85fe.png，2b6559efc0a8da309a8139891f164082.png (3)

时，可以确定一个特解。

例1 在信道上传输三个字母a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png且长度为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的词，规定有两个0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。

解: 令67b68721103b5a16194f4b3e3ec222db.png表示允许传输且长度为为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的词的个数，19a2d7e8ed379d3a3f2fababf2786313.png，通过简单计算可得 e0ce096e5fca014cd8faeb6ae3d90a58.png，(a,b,c), 5d91bbb172f1e095dd0dd867b53af1f8.png(即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。

当42a99f302303652d12444954704a9e11.png时，若词的第一个字母是92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png或4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，则词可按377b14fab9fd09a0b3f17ce4f3d8488d.png种方式完成; 若词的第一个字母是0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，则第二个字母是92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png或4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，该词剩下的部分可按893ad1ac4a52020d72c3922584410908.png种方式完成。于是得差分方程

6539434b338af32d5c845a7c552f6a3c.png (e1339a6e5dbadc85bbd74abf807ffc3b.png)

其特征方程为

90545a626458a391d9760fd346831f57.png，

特征根为

f4abbdfc51fdef7ad92d68331737a7c9.png， c6fdf6341fcb71918c6c734164095d76.png

则通解为

6ba563468d5e8bab6ffd9638720df449.png， (e1339a6e5dbadc85bbd74abf807ffc3b.png)

利用条件e0ce096e5fca014cd8faeb6ae3d90a58.png，5d91bbb172f1e095dd0dd867b53af1f8.png求参数0bd1ecc6359ce275e3a626020b904c8c.png，ec6afd67ef6d50afbb01857b9eee7d59.png，即由

64117d32a804c6d7724e1fc5634afc51.png，

解得

f1dc848e7f0d75a25f4eeb17e67e0257.png， bef439dae8fcb5c3403637bd78c3e184.png

故得到原差分方程的通解为

5941e7524d5f8da52d7b76536e1f545b.png， (6164dd0128609a8d22edb57d169ec4c7.png)

2.1.2 特征根为重根

设07229b211c383be0b06fbb42de995262.png是8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png阶差分方程8ac9ae818d3f3a201bbc4192e5db35a2.png的2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png4b840c81fbb00e368d0d76c13c43ebe0.png个根，重数分别为115d2d88ac151af881bfbf603e69f357.png，且d5e9776b618065022b77850aa319a892.png，则该差分方程的通解为

7a17f837f78539a370cd36af4c722d1c.png

同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。

例2 设初始值为eb7e78e85b62546fc5c64ac1ce2cee92.png，解差分方程

bb89ef1ca182bef0beff45dc63eb894f.png， (51cb8d4b05858c25347258e841945e56.png)

解: 该差分方程的特征方程为

97f7abb8ee16c1fa943ae5d5aa4d0369.png，

解得其根为b94d4b990976e27b5e745d77a5f6103b.png，故通解为

842a7a6e0c7b930ee92558dc01baf274.png

代入初始条件eb7e78e85b62546fc5c64ac1ce2cee92.png，得

8854f433117fe61e77f42f66f0df820d.png，e391712333a075703a3de5f928edcfc3.png，875541a2e60b7a379c0d8c2dafb97974.png，9c7c036afb00167ee81c354b91be4228.png

故该差分方程的满足初始条件的解为

4a42e2a0311ba33a3e9eedc9a1c61b9b.png

2.1.3 特征根为复根

设8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png阶差分方程8ac9ae818d3f3a201bbc4192e5db35a2.png的一对共轭复根e3be10d28da5c8b2405a13af6eecbc21.png和相异的08a4dbbb59c84901606996b8432f9b44.png个单根4eb89ad660299ccbc8858a913e069ecc.png，则该差分方程的通解为

2508e69f0cb4e25b3723ec286ebd7355.png

其中9cbb9c8fabeff05f537b31269a3b93b2.png，d9213cea6b04110390163603a4d8b871.png。

同样由给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。

另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。

3. 常系数线性非齐次差分方程

常系数线性非齐次差分方程的一般形式为

cddd041692c819c840decbc165832cbd.png (4)

其中8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为差分方程的阶数，其中0b2c016d2da6c4ce3f3aef8ba0262ca8.png为差分方程的系数，且60de4a0bd57fc432e44bac4c3338a6ea.png1a22e9bcdc67f971ca0acf84428eb056.png，a8988ce0f88f5292aa28b6e49f114d45.png为已知函数。

在差分方程(4)中，令3e2bfe4cd647dfd9f8fcac0d78f2e565.png，所得方程

8ac9ae818d3f3a201bbc4192e5db35a2.png (5)

称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。

求解非齐次差分方程通解的一般方法：

首先求对应的齐次差分方程(5)的通解b38fe9dcdea8bbc41144ebb905716d1b.png，然后求非齐次差分方程(4)的一个特解cd606d44163f8de215486bf91d6a8626.png，则

2a8ad31a32ba81a81e518cc4393772f5.png

为非齐次差分方程(4)的通解。

关于求b38fe9dcdea8bbc41144ebb905716d1b.png的方法同求差分方程(1)的方法相同。对于求非齐次方程(4)的特解cd606d44163f8de215486bf91d6a8626.png的方法，可以用观察法确定，也可以根据a8988ce0f88f5292aa28b6e49f114d45.png的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。

4. 差分方程的平衡点及其稳定性

在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。

对于差分方程96913bd9006303ad5ba3b41b088f479a.png，若有常数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是其解，即有

8d22b9df3fdf974a286ff9d82c56b58d.png

则称0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是差分方程96913bd9006303ad5ba3b41b088f479a.png的平衡点，又对该差分方程的任意由初始条件确定的解e0435a8f416b1b988bab59df10081d9d.png，均有

37a89089c503eddb3c8903350fb762bd.png

则称这个平衡点0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是稳定的；否则是不稳定的。

下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。

4.1 一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

babed99f3571f21a792900876b2a367c.png， (6)

其中b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png为常数，且8c8c912b24ebc58de5fb0e4fb38bbe25.png。它的通解为

b59eba1837ca1c7579f636422c7a6e65.png (7)

易知c5af2cf2e3b074fd3288c2c06653dcad.png是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当

f57ad10a4f1a22cdc99c19b091beda91.png

时，c5af2cf2e3b074fd3288c2c06653dcad.png是方程(6)的稳定的平衡点。

4.2 二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式为

eafb7779a6d93405725ece6969a20ca2.png， (8)

其中word/media/image92_1.png为常数，当word/media/image93_1.png时，它有一特解

adede19a97b99b36b4a2bed3f35dd50d.png，

当1b2388c94fa4c633084a0b504586f17c.png，且e77151eabd5955b57018c4dbd0e51d60.png时，它有一特解

93b2aa3309d4c973d2f1eec67623f6ec.png，

不管是哪种情形，d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png是方程(8)的平衡点。设方程(8)的特征方程为

0efc32c23606514ac24f1abe80d68b19.png

的两个根分别为8cfcb7218f97a12cbece31bae8339a60.png，4ae9f343cc0e2737d57958b00b350f1e.png，则

① 当9b097b8a73295db69bccd0dbaa58ee1f.png是两个不同的实根时，方程(8)的通解为

2069662f37f76bf1d89bc6d2df7a6942.png；

② 当7806a0d7c3b8744d77c64dda5d2bfe7d.png是两个相同实根时，方程(8)的通解为

30f50231b94b253266eee3ce5c2acc5b.png

③ 当b478e5aad0a60b0dc9162ff74386338b.png是一对共轭复根时，方程(8)的通解为

c61971ee8b179106953b9959b5d3b7b2.png

易知，当且仅当特征方程的任一特征根fc12924fb691d3b3594385ee50a85309.png时，平衡点d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png是稳定的。

4.3 一阶非线性差分方程

一阶非线性差分方程的一般形式为

dc48d1d4eaef3dad3fa6ac0938adee1a.png (9)

其平衡点d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png由代数方程4ea69b9b692b39dd000e70830b90a77f.png解出。

为了分析平衡点d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png的稳定性，将方程(9)的右端284cdcc646dec8d4bf03acb68693bf4b.png在d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png点作泰勒展开，只取一次项，得到

d8d024270e362de48f1a7423e75d5b07.png (10)

(10)是(9)的近似线性方程，d282fd3350bb3ec2d1e940574e8fd42d.png是(10)的平衡点，根据一阶常系数线性差分方程(6) babed99f3571f21a792900876b2a367c.png的稳定性判定的相关结论，得：

① 当53d84d2dfbf1ebc158d24684707867f9.png时，方程(9)的平衡点是稳定的；

② 当b0c230b7a051725248e61c584018194f.png时，方程(9)的平衡点是不稳定的。

三．差分方程建模实例

1．贷款买房问题

某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：

1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？

2) 假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?

1.1 确定参变量：用7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png表示月份，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png表示第n个月欠银行的钱，4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png表示月利率，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png表示每月还钱数，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png表示贷款额。

1.2 模型的建立与求解

1) 模型的建立

由上表可得相邻两个月的递推关系式

d4e8c0d7312d4451a46f78efcaaa474f.png

1.3 模型的求解：

(1) 差分方程求解方法

先求其特解。令82fee85c084b8492ed63653c46a530ec.png，则97cb387c4ccbd9c16a883943a3db220c.png，得特解为ec1665624e2da7839aaa816e36e16b29.png。

再求对应齐次方程19145c7a9d8a3fde364e2e9d5dd2df70.png的通解。对应的特征方程为

ab50b551066f57e79e1ed70ef5abd0e5.png，

得9cf70c83abaaf451795a2a47d6e1acd3.png。齐次方程的通解为：aad5f5fef5960185fc3b526ec9383c54.png

因此原方程的通解为：

c250dca3a681dfe3d7aeba9facc8a40d.png

又因为0e1176caf07d2ed21c19fc899be7e7df.png时b7c68bda9b7b0e51354b12e5ae4da692.png，得7f5c126e23beeb423a5e819ce62c3881.png

故

0af92fdce0bba086a2c825e808fe4039.png

(2) 递推法：

22d4595835c36f07564c5eec4f5946f0.png

令

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png=60000，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png =300，4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png=0.01

得

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png元

因此，该居民每月应偿还632元。又632<700，所以该居民可以去买房。

2．借贷问题

中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：

(借款额为一万元) 单位：元

试问他们是怎样算出来的？

借贷问题的数学模型

一. 符号说明

以贷款期限20年为例:

借贷额----------------b5d5f40a979faa7b005f9efc4b4f49db.png;

贷款期限-------------为N年;

月利率----------------b29f0e9a64b293e2d632866eea2a9c26.png;

“月均还款额”-------表示每月还款额是相同的，记为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png;

还款总额------------记为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png.

二. 建立模型

一开始借款b5d5f40a979faa7b005f9efc4b4f49db.png，一个月后欠银行本利为713080e7359a58b48206708de25fd4b5.png，但为了减少欠款，还了9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png元，因而ebd3e78ad83bbdd563da10f7fda0d05e.png，第8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png个月情况也是这样的，即

d84491bdaf7a1d687bf1a198f4f0d7de.png

注意到了第N个月已经不欠银行的钱了，即b2e859ff1c3f516b209c55ef74466f74.png，因此，我们得到以下的数学模型:

76cca6e7601387e38925d754b7ae43b4.png

三. 数学模型的求解

首先求出用已知量表出的表达式。由

92387cb6c9d8dc560820727e487a2d07.png

可以猜想，并用数学归纳法证明:

e8e1150c9d458452fb4c46a5c9960dc6.png

由等比数列前8c02c58aa7116aac9fde3a08effe5fa3.png项的求和公式知:

b4d1dd924bdf8130642895080a1eef30.png

再由b2e859ff1c3f516b209c55ef74466f74.png ，得到:

fc39a0583c9e29dfccd829a327cf217b.png

把已知量带入，就得到表中的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png。

3．生物种群数量问题

一．问题的提出

种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为5cd9d34e34bbaba1a7b30f0853631a90.png，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的比记为：b625d61db4b9c05a303d5654267baca6.png，其中4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png相当于e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时的增长率，称为固有增长率，记当前 (即3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a.png时)种群数量为0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png，时刻e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png种群数量为fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png。若利用统计数据可知5cd9d34e34bbaba1a7b30f0853631a90.png，4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png，则

1）设fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。

2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。

二. 问题分析与模型建立

1. 由于7f0562b7361b94feb27ee472a1cbc253.png为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png到3bd9b219722859e07d26f1832582aa38.png时间内种群数量的增量为

cef0965627f32be879c5d7c5a338e39a.png (1)

又由于f1fa0d057091b27583b033c76d4d857f.png而当61ca4b3feecd74166611029cb7b44fa4.png时增长率应为零，即1e46130a76ee267b9909c58c5cc7767d.png，所以3c2cfe5ad5e6844918cf73252fa0bf69.png，则

9dc54487ce16d36bc64e69c496746501.png，

把它代入方程(1)得:

9cc269b1e6bd0517582f94e7b8294a69.png (2)

此方程两边同除3e302e8ece140542d8507f9dddc071fb.png，并令0889bb3316099072d2e1f66384b5d64b.png，加上初始条件f3fdf850ada5c6674dd6ef1c6345773b.png可得未来任意时刻种群数量所满足的数学模型为：

2ef0f0140e0c85ba9e1a6108931d2fb3.png (3)

2. 由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngebc6eaa3f4dc414d38a0efb219024f99.png，e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png视为整数及9dc54487ce16d36bc64e69c496746501.png代入方程(1)得：

b0569baa32055718af4a797be403e4bb.png (4)

加上初始条件f3fdf850ada5c6674dd6ef1c6345773b.png得任意时刻e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png种群数量所满足的离散型数学模型为

c367841fc7a166fec209e22ec1fe62f5.png

通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png种群的数量。

三．模型求解

1．利用ce5dcee0dbc496743f68d2911b7cd05b.png求解方程(1)，可得任意时刻e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png种群数量为

d054e4076d566df80765f07460fc6fca.png

ce5dcee0dbc496743f68d2911b7cd05b.png源程序为：

1f49ee5abf18b536d827a97b2339e738.png

2．根据方程(2)，只要给出初值0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png就可以很容易进行递推而得到任意时刻e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png种群的数量。

四．结果分析

1．上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或9a2126552a9de60d20d95a47f85a16fd.png模型，它有着广泛的应用。例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。

2．一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。

4. 人口的控制与预测模型

一．问题的提出

常见的两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.

下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。

二．模型的建立与求解

设0deec241dcdb0c5cdc934f58f6872b02.png为第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年年龄为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的人口数量，2bee74ce6026f00813829a8d0a12a560.png，即忽略百岁以上的人口。如果知道了第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第43c98a64bcde4857b095743482e04281.png年各年龄组的人口数。

首先引入8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口的死亡率和8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的含义和记号如下：

8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口的年死亡率：

d45644567b7e24fa55dd0c0d9f14e04d.png

8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁妇女的年生育率：

d9210ec042c12a4febe3d0f91868f023.png

第43c98a64bcde4857b095743482e04281.png年a31a860e7a59c7616c1515ec3ae652a6.png岁的人口数就是第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口数扣除它在该年的死亡人数，即

48350baf8808a0b2c37f0c6df9624c14.png，

令d618064e5cb9d88e852a36ab0298bd29.png称为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递推公式

134ebf88a0db0878b16d614ba6681cf5.png

来表示。再考虑到零岁的人数

613537cade0e811496dff195485cbce3.png，

其中e2d5df666ede58111d1b95c22717bd79.png为第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁的妇女人数，14a52f1bbbf72cfc4bf1d79c68e79bee.png为第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口的女性比(占全部8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁人口数)，82b934c28f13cc4de0261fbcadf68534.png就是第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模型是：

0d84a0a41174209592eae15d84546b05.png (1)

根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之间，即当84d4971ad6952198c559df4423f321a3.png和937094e31f1fa3e71efca142ca11000d.png时，f81c9cc76324a1f9d96b7a5b274062c4.png，令

0e5a24be1e6d10a8eb08a03af13b8807.png

407f4f91eded3d2c84d35d085fbf0905.png

则人口模型（1）的矩阵形式为

fb2e4948303254154ff7a1e241f905fb.png (2)

其中d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png称为莱斯利（Lwslie）矩阵.当第6d523d2156a1f903c9cd55ab12627d5f.png年的人口状况已知时，从式(2)就可以推得第e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png年的人口为

bd3fc3278a7448f731e41b645c1eeea5.png.

5. 市场经济中的蛛网模型

在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。

(1) 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?

(2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?

下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。

3.1 模型的假设和符号说明

① 记第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png时段商品数量为67b68721103b5a16194f4b3e3ec222db.png，价格为0aac89cc5848912240b16f540cc5a674.png，1b75c9bc3a9452aa809854e6be2389cd.png。

这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类可以是一个饲养周期。

② 在7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png时段商品的价格0aac89cc5848912240b16f540cc5a674.png取决于数量67b68721103b5a16194f4b3e3ec222db.png。设55959715ea181ffc8d21f5cf11bc0ada.png。它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。

因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图1中用一条下降的曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png表示，8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png称为需求曲线。

③ 在40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png时段商品的数量f53241bca9ab95ed510049ebcd7cfbe7.png由上一时段的价格0aac89cc5848912240b16f540cc5a674.png决定，用12298db288a1a0fce7c9427318bb6e61.png表示。它反映生产者的供应关系，称为供应函数。

因为价格越高，生产量越大。供应函数在图1中用一条上升的曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png表示，b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png称为供应曲线。

图1 商品供求关系曲线

3.2 模型的建立与求解

设需求曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png和供应曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png相交于点2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png，在13899aa46204b02713a854702142955d.png附近取函数8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png和b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png的线性近似，即

需求曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png：

b8ec59f8e507a0db4e60a115af45a6fc.png， 2f1a56b8a7c853f595b45ff32b69f680.png (11)

供应曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png：

3a6e3899a46a3bd81ab0957fa21336c4.png， 120c51b38d4eff27100e4cb22f8fa5fa.png (12)

由式(11)(12)消去0aac89cc5848912240b16f540cc5a674.png，得到一阶线性差分方程

1ff78b7221ee2e6726e33c9142fecddc.png，1b75c9bc3a9452aa809854e6be2389cd.png (13)

因此0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png是其平衡点，即13899aa46204b02713a854702142955d.png是平衡点。对式(13)进行递推，得

2724b9bf59434c1cf635bca72edcf26e.png，1b75c9bc3a9452aa809854e6be2389cd.png

由此可得，平衡点稳定的条件是：6bd4ee628b0ecfffdac30790aac9324d.png；不稳定的条件是：a9f7c9d6932e4072965a302c69bd74cd.png。

下面用图形解释此模型。

若对某一个8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png有d95fedbb08415b20b4605fb8bb9da3c7.png，则由(11)式得，当6df0f0b95dfbdf270802f66f693aa1f4.png时64ec0a6df94e296debbdd47085645460.png，从而b4b63bd328d2e204e02fcd3344646291.png，即商品的数量和价格将永远保持在2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png点。但是实际生活中的种种干扰使得6336ab8df9ee696615cb9bad9c760ca2.png不可能停止在2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png上。不妨设f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png偏离0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png(见图2，图3)，我们来分析随着7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的增加，6336ab8df9ee696615cb9bad9c760ca2.png的变化情况。

图2 13899aa46204b02713a854702142955d.png点是稳定的

数量f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png给定后，价格f7b4a9a272539da17df482a540896746.png由曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png上的47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png点决定，下一时段的数量8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png由曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png上的2d145e3684093dda8dbfe869afa543f9.png点决定，这样得到一序列的点58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png，44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png，0bc0e5216caf17b837ad69f0e5d11383.png，a16ac4c80e43518ef4c1680c727ac4ca.png，…,在图2上，这些点将按照箭头所示方向趋向2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png，表明2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定。

但是如果需求函数和供应函数由图3的曲线所示，则类似的分析发现，市场将按照58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png，44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png，0bc0e5216caf17b837ad69f0e5d11383.png，a16ac4c80e43518ef4c1680c727ac4ca.png，…，的规律变化为远离2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png，即2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。

图3 13899aa46204b02713a854702142955d.png点是不稳定的

图2和图3中折线231b27cc792779a50ce795ab6088e9c7.png形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png和供应曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平，b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。

下面来解释此模型的实际意义。

① 首先来考虑参数5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png的含义。

需求函数8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png的斜率ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png(取绝对值)：表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；

供应函数b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png的斜率dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png：表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应增加量。

ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png会比较小。

dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png会比较大；反之，若他们目光长远，则dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png会比较小。

② 根据5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。

当供应函数b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png的斜率dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png固定时，ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。

当需求函数8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png的斜率ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png固定时，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。

反之，当5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。

③ 经济不稳定的解决方案

当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是76530800500af0a1639fd00b136f419f.png；不管曲线b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过剩部分，于是f540181b2f5e934f23cc6927f5160c54.png，不管曲线8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png如何，也总是稳定的。

3.3 模型的改进和推广

如果生产者的管理水平更高一些，他们再决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值

557be86ca7cd216eee024bc8292dfa59.png

于是供应函数为

0ff0e4d0868e42e68458beb6828ceb00.png

在13899aa46204b02713a854702142955d.png点附近取线性近似时，式(12)表示为

供应函数b3805cbf8de75ad25b08d7c70a348118.png:

4cee696f160682ef1e06604750a6f7f2.png，120c51b38d4eff27100e4cb22f8fa5fa.png (14)

又设需求函数仍由式(11)表示，则由(11),(14)得到

e7463589a6f0fe8474ea2620822587e2.png，1b75c9bc3a9452aa809854e6be2389cd.png (15)

(15)式是二阶线性差分方程。13899aa46204b02713a854702142955d.png点稳定的条件可由特征方程

0d9943b7967dac354c2c93762614e857.png

的根19b66b76e6b2beae25f10abb082183af.png确定。

结论：若方程的特征根均在单位园内，即19f4efe1ef6705abab9879b7ee6a73a8.png，则13899aa46204b02713a854702142955d.png为稳定点。

① 当13be30dcee8e294511705d820354e98d.png时，显然有

07e86ca923d4bf04b628096e9d047876.png，

从而6b7111ccdfa357e9c1cb330c2b2483ad.png，故此时13899aa46204b02713a854702142955d.png是不稳定的。

② 当d85ae1ddf7c4ccdb461d22287da5e9e8.png时，特征方程有两个共轭复数根

a585b24feb1ccf2f7d6ec474e1c32cf9.png

此时

d356b93429e92e72ab099edffbf42c2c.png

要使13899aa46204b02713a854702142955d.png为稳定点，只需9de42019b9fa02f87c3ae2bd16118277.png，即有

cf01117f442a65486af587b0daa7bc9d.png

这与原有模型中13899aa46204b02713a854702142955d.png点稳定的条件6bd4ee628b0ecfffdac30790aac9324d.png相比，保持经济稳定的参数5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png的范围放大了(5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png的含义未变)。可以想到，这是生产经营者的生产管理水平提高，对市场经济稳定起着有利影响的必然结果。

专题训练题：

养老金计划

养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10%。参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入c264bdb22a754961ef6021b6c1914161.png元，30岁~39岁每月存入c5550be7b87cf24698427e4bdb08d21b.png元，40岁~49岁每月存入944c727db44d10805dcae4c2b166c241.png元，50岁~59岁每月存入8f0966b133fd7b2653401ceb34432369.png元。参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，一直领取20年。试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄的计划参加者的月退休金。